數(shù)學(xué)分析教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)建模思想

支 路，徐美進，吳金霞

(遼寧工業(yè)大學(xué)，遼寧錦州121000)

0 引言

數(shù)學(xué)分析是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課之一，其中所體現(xiàn)的微積分思想更是各學(xué)科不可或缺的理論基石，有著最為廣泛的應(yīng)用．對于剛?cè)雽W(xué)的新生來說，數(shù)學(xué)分析課程中的諸多分析性質(zhì)、分析思想往往難以融會貫通，這樣一來勢必會減弱學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進而影響學(xué)習(xí)效果．在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)中將數(shù)學(xué)建模方法融入進來，通過對實際問題的分析，可使學(xué)生對理論的實際應(yīng)用有直觀、深入的認識，有利于學(xué)生掌握理論知識，提高數(shù)學(xué)實踐能力．另外，將數(shù)學(xué)建模方法融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，還可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．因此，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中突出建模思想是十分必要的．

1 通過實際問題引入數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念大多來源于生活實際，因此從實際問題入手引入數(shù)學(xué)概念[1]，既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能為數(shù)學(xué)建模思想的融入提供機會．分析具體的問題，并把其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思想，再找出解決方法，最后引入數(shù)學(xué)概念，這個過程本身就是一次數(shù)學(xué)建模[2]．

如在離散與連續(xù)的概念教學(xué)中[3]，可舉芝諾悖論中的例子：一個物體從空間中的一點運動到另一點，可以看做是從線段的一端到達另一端，這意味著該物體必須通過空間中無窮多的點，而在有限的時間內(nèi)，物體不可能通過空間中無窮多的點．要解釋它，科學(xué)家們前仆后繼用了兩千多年的時間，雖然還有諸多理論不夠完善，但至少體現(xiàn)了人類追求真理、不畏險阻的科學(xué)精神．解決芝諾悖論的功勞不能算在某一個人的頭上．從牛頓(Newton)、萊布尼茲(Leibniz)建立微積分，直到20世紀初葉柯西(Cauchy)、 魏爾斯特拉斯(Weierstrass)、狄利克雷(Dirichlet)、康托 (Cantor)、 愛因斯坦(Einstein)和勒貝格(Lebesgue)的數(shù)學(xué)研究，都為此做出了實質(zhì)貢獻．而悖論本身所體現(xiàn)的本質(zhì)問題正是有限與無限、離散與連續(xù)等分析課程中的理論基石．

又如在講授零點定理的概念時，可結(jié)合“椅子四腿著地模型”進行教學(xué)：在不平的地面上放把椅子，一般情況下只有三只腳著地，然而只需要挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，椅子被放穩(wěn)了．這個現(xiàn)象很平常，看來似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)，但實際上它卻可以用數(shù)學(xué)語言予以表述，并用數(shù)學(xué)方法來證實．解決它的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)語言表示四只腳同時著地的條件與結(jié)論．

首先設(shè)定地面沿任意方向無間斷，為空間連續(xù)曲面．如圖1所示，A、B、C、D為四個椅腳，繞中心(正方形)旋轉(zhuǎn)之后位置變化，用旋轉(zhuǎn)角度θ表示椅子旋轉(zhuǎn)后的位置，再用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離．當(dāng)距離都為0時，表示椅腳著地了．由于正方形具有中心對稱性，因此只要設(shè)兩個距離函數(shù)即可，記A、C與地面距離之和為f(θ)，B、D與地面距離之和為g(θ)，顯然f(θ)、g(θ)≥0．由于f,g都是連續(xù)函數(shù)，且f(θ)、g(θ)至少有一個為0，因此當(dāng)θ=0時，不妨設(shè)g(θ)=0，f(θ)>0，于是原問題就歸結(jié)為如下命題：

命題已知f(θ),g(θ)是θ的連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f(θ)·g(θ)=0，且g(0)=0,f(0)>0，則存在θ0，使g(θ)0=f(θ)0=0．

將椅子旋轉(zhuǎn)90°，AC與BD位置互換，由g(0)=0,f(0)>0可知g(π/2)>0，f(π/2)=0．令h(θ)=f(θ)-g(θ)，則h(0)>0,h(π/2)<0，由f,g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)，由零點定理，必存在θ0(0<θ0<π/2)使h(θ0)=0，g(θ0)=f(θ0)，由g(θ0)·f(θ0)=0，所以g(θ0)=f(θ0)=0． 這個例子非常直觀，運用零點定理巧妙地解決了問題．

2 課外作業(yè)中適當(dāng)加入基本的數(shù)學(xué)建模問題

在不影響正常教學(xué)進度的情況下，為使學(xué)生逐漸增強對具體問題的分析能力，并能根據(jù)問題主動尋求解決方法，可在課外作業(yè)中適當(dāng)加入基本的數(shù)學(xué)建模問題，與知識點有機地結(jié)合起來，以適應(yīng)學(xué)生能力增長這一循序漸進的過程．比如在講解重心問題時，教師可在課后給出一些平面直角坐標(biāo)系下的離散點坐標(biāo)，讓學(xué)生根據(jù)坐標(biāo)和所學(xué)公式判定重心(鞏固課堂知識)，再逐步加權(quán)(增加附加條件)．每當(dāng)條件增加后，就要進一步優(yōu)化重心公式，以適應(yīng)新的要求，最終確立重心坐標(biāo)．這種階段性思維，正是理科教學(xué)的精髓，對學(xué)生的邏輯構(gòu)建至關(guān)重要．再比如在條件極值的教學(xué)中，教師可以嘗試選取一些多年的經(jīng)濟指標(biāo)數(shù)據(jù)，應(yīng)用最小二乘法進行回歸分析，這一方法很有實際意義，可靈活運用在多方面，也有利于學(xué)生發(fā)散性思維的形成． “學(xué)以致用”，通過平時的練習(xí)，學(xué)生逐步養(yǎng)成主動思維的習(xí)慣，更好地實現(xiàn)對所學(xué)知識的認識與應(yīng)用．這一點對學(xué)生學(xué)習(xí)能力與自信心的提高，無疑是巨大的幫助．

3 將數(shù)學(xué)建模思想逐步融入到數(shù)學(xué)分析考核中

目前，數(shù)學(xué)分析課程考試方法改革正在進行，在保證期中、期末兩次考試的基礎(chǔ)上，每學(xué)期又增加平常考核兩次，由此可見這門課程的重要性．在三個學(xué)期的數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中，可以考慮安排一次難度適中的數(shù)學(xué)建模測試，或者在階段測試中設(shè)置一些簡單的建模應(yīng)用問題，以便教師了解學(xué)生對之前所學(xué)數(shù)學(xué)建模的掌握情況，尤其是對數(shù)學(xué)分析各知識點間靈活運用的能力情況．通過這樣的考核，能體現(xiàn)出理科基礎(chǔ)課程的重要性，會促使學(xué)生對數(shù)學(xué)分析這門課程更加重視，學(xué)習(xí)效果自然會大幅度提升．

4 在業(yè)余時間建立數(shù)學(xué)建模小組

建立數(shù)學(xué)建模小組對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程的幫助是直接的，越早建立對成員能力的提高影響越大．通過三個學(xué)期的數(shù)學(xué)分析教學(xué)，教學(xué)方式的改變使得學(xué)生能夠提前了解建模思想．在課余時間，學(xué)生通過小組成員的共同努力，集思廣益，討論分析建模問題，并且逐步形成分工明確的建模小組．?dāng)?shù)學(xué)建模小組的建立，不但使學(xué)生對分析課程的理解更加深入，而且使學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力能得到提高，更重要的是建立起一種良好的學(xué)習(xí)機制，培養(yǎng)學(xué)生的團隊意識和合作精神，為參加學(xué)校、國家的建模競賽打下良好的基礎(chǔ)，更為今后步入社會、迎接新的挑戰(zhàn)邁出堅實的一步．

5 結(jié)語

現(xiàn)如今，很多基本的數(shù)學(xué)分析方法已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用在科學(xué)分析的各個領(lǐng)域，數(shù)學(xué)正以其空前的廣度和深度向其他科技領(lǐng)域滲透．作為理科基礎(chǔ)性課程的數(shù)學(xué)分析，其傳統(tǒng)的教學(xué)方式必須打破．“授人以魚不如授人以漁”， 借助數(shù)學(xué)建模思想可以實現(xiàn)對知識點的全方位認知，這對學(xué)生的專業(yè)能力以及獨立思考能力的提高都有著積極意義．因此，數(shù)學(xué)分析教學(xué)中應(yīng)突出數(shù)學(xué)建模思想，既要體現(xiàn)在課堂上，也要體現(xiàn)在課下，以提高數(shù)學(xué)分析教學(xué)效果．