數學史滲透到“近世代數”教學的探索研究

胡俊美　張紅梅　郭秀英　趙士欣　郭志芳

摘 要 數學史與數學教育的有機融合是近世代數教學改革的一個新視角，本文以群論為例，闡述了數學史融入群論教學的必要性，從實踐層面提出了數學史融入到群論教學的主要途徑，說明了數學史在揭示數學本質、啟發學生思維以及培養學生探索創新能力上的重大作用。

關鍵詞 近世代數 群論 數學史

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.01.052

1 群論教學現狀

美國學者比德維爾曾說：“課堂中，我們學習數學時常常會將自己置身于一座孤島之中，每天一次去島上領略數學，深入研究那些純粹、潔凈、邏輯嚴謹、脈絡清晰，毫無雜質的角落。我們認為數學是封閉的、呆板的、毫無情感的，且一切已經發現好了的。它完全存在于課本或教師的頭腦中，只需去挖掘與吸收”。①

這是對傳統數學課堂的精辟論述，群論課堂也是如此，教材和教師很少關注數學知識的發現背景與形成過程，而把更多的精力投入到知識點的連貫性與邏輯上，使學生感覺定義或定理的出現非常突兀，更不知道其緣何出現，有何作用。群論以高度抽象化和符號化的特點令許多學生望而生畏，甚至產生厭煩心理。

在群論教學中滲透數學史知識，介紹數學知識產生的歷史背景能夠提高學生學習興趣，明確學習動機；追溯數學概念和思想方法的發展演變過程有助于加強學生對相關知識點的理解掌握，培養其邏輯思維能力和推理能力；介紹數學家的奇文軼事能夠活躍課堂氣氛，激發學生探索精神與創新精神。

2 群論概念中數學史的滲透

教材中數學概念大都是直接給出的，以群的概念為例，張禾瑞的《近世代數基礎》中這樣定義群：②

一個不空集合G對一個叫做乘法的代數運算來說作成一個群，假如

I. G對于這個乘法來說是閉的；

II. 結合律成立：a（bc）=（ab）c，對于G中任意三個元a，b，c都對；

III. 對于G中任意兩個元a，b來說，方程ax=b和ya=b在G中都有解。

這個定義簡潔而抽象，早已失去了群概念的本來面目，學生更不知道它是如何出現的，此處教師可介紹群論的三個來源，③即經典代數、數論和幾何。

2.1 經典代數

19世紀以前，代數學的主題一直是解方程。大約在公元前1600年，巴比倫人找到了二次方程的求根公式；1540年左右，意大利人費羅、菲奧爾，特別是塔爾塔利亞和卡爾達諾的工作為三次和四次方程的根式解畫上了圓滿的句號。在接下來兩個世紀的時間里，代數學的中心任務一直都是求五次及五次以上方程的根式解，這就是拉格朗日在1770年的論文中所做的工作。拉格朗日通過考慮方程根的有理函數開辟了置換理論研究的先河，雖然他只是談到了置換，并沒有考慮置換的“演算”（比如沒有考慮它們的合成及封閉性），但可以說他的工作中已經表現出群（作為置換群）的概念的雛形。而置換群與代數方程之間的關系的完全描述是伽羅瓦在1830年左右給出的，這一工作在若爾當的鴻篇巨著《置換與代數方程專論》才得到整理與發展，進而置換群這個具體群成為群論的主要研究對象。

2.2 數論

有限阿貝爾群主要來源于數論中的計算問題，很長時間以來一直表現得比較隱晦。然而隨著置換群理論的發展，它們對抽象群概念的形成起到了重要的推動作用。1761年，歐拉的冪剩余理論的論文是早期阿貝爾群思想的源泉。1801年，高斯的《算術研究》問世，他的冪剩余和割圓方程理論包含了關于循環群的深刻定理。特別地，在研究整系數二元二次型時，他把具有同一判別式的二元二次型按照一定等價關系加以分類，而這些等價類的集合在某種乘法之下構成有限阿貝爾群。盡管高斯本人并沒有提出阿貝爾群的概念，不過，這是群的概念的數論來源。此后，經過狄利克雷、庫默爾、克羅耐克等人的努力最終得到顯阿貝爾群的概念，并在此基礎上逐漸形成一套獨立的理論。

2.3 19世紀60年代，置換群向幾何學上的推廣產生了變換群的概念，特別是運動群

此處只是簡單介紹群的概念的三個來源，使學生體會到數學概念的產生并非一蹴而就，很多經歷了幾代數學家數十年，甚至上百年的努力才逐漸形成，經歷了從具體到抽象的蛻變。在學完群的概念之后，有興趣的同學可以查閱相關的原始文獻，從中尋找發現群的雛形，激發其探索意識和創新意識，培養其研究能力。

3 群論內容中數學史的滲透

在介紹某一理論后，教師往往會輔以一些習題加深學生對知識點的理解，但深入淺出地介紹它們在現代數學以及其他學科的應用更能提高學生的學習興趣。以“同構”為例，它是以公理化的形式給出來的，學生利用定義能夠判斷兩個群是否同構，但同構在群論中起著什么作用呢，此時可以引入20世紀最偉大的數學成果之一——有限單群分類。③

我們知道，素數是只有平凡因子1和它本身的數。算術基本定理指出，每個正整數都可以唯一表示成素數的乘積。這說明了素數是構成正整數乘法的“原子”或者“積木塊”。事實上，在群論中也存在類似的素數，這便是有限單群。一旦了解所有有限單群，就能通過群的擴張對所有有限群的性質、結構等進行行之有效的分析與研究，于是對有限單群的研究便成為理解有限群的重要橋梁。然而有限單群的數量浩如煙海，不可能對其進行一一考察，一種化繁為簡、化無窮為有窮的方法就是用同構進行分類。2004年，分類最終完成，每個有限單群都屬于且只屬于下面一種類型：（1）素數階循環群Zp（p為素數）；（2）5次及5次以上的交錯群An；（3）李型單群；（4）26個散單群。這就是著名的有限單群分類定理，亦稱龐大定理。第一，證明時間長久：1832-2004年，歷時170多年。有限單群分類的歷史可以追溯到19世紀30年代，經過漫長的發展時期之后，在上個世紀80年代的時候有人曾宣布分類已經完成，但是事實證明，在一些必要的環節上存在漏洞，而這一漏洞的彌補直到2004年才由阿什巴赫爾和史密斯發表出來。第二，參與者眾多：幾百位專家。來自全球幾十個國家的幾百位群論學家直接參與了有限單群分類的工作，其中有一百多位群論學家的論文是有限單群分類定理不可或缺的組成部分。第三，篇幅巨大，文章數多：有限單群分類定理的證明長達10000到15000頁，它們以不同的形式和風格遍布在500多篇文章中，而且即使這500多篇文章也是從有限單群的近2000篇文章中精心挑選出來的，其中許多結果的證明長達一、二百頁。

通過介紹群論中的最新發現成果和研究進展，不僅能提高學生學習興趣，還能使他們從思想上擺脫學習無用論，課堂內容只不過是應付考試的錯誤思想，提高科研意識與拼搏意識。

4 數學史人物的楷模作用

在群論的發展演化過程中，一些核心人物起著決定性作用，他們或者是某一領域的集大成者，或者是某一研究思想和方法的奠基人，體現著當時數學活動的主流，在講授數學內容時可穿插介紹數學家的生平軼事。

如英年早逝的挪威數學家阿貝爾21歲時終結了幾個世紀以來的古老難題，即嚴格證明出一般五次方程沒有根式解，在提交自己研究成果幾次遭到擱淺，一貧如洗，病魔纏身的情況下仍堅持工作，享年27歲。無獨有偶，天妒英才，法國數學家伽羅瓦的生命火花只綻放了21年，其“伽羅瓦理論”的發表久經挫折，沒有得到同時代人的理解，但有人說伽羅瓦的去世，使數學工作的發展推遲了數十年。瑞士的歐拉堪稱歷史上最多產的數學家，一是子女眾多，共育有13人，二是論文和著作眾多，在61歲雙目失明的情況下，其后長達12年的時間里他發表的作品并沒有間斷，在代數、數論、物理、天文、航海等多個研究領域做出了重大貢獻。

通過在課堂講解這些故事，不僅能夠使學生了解數學家的生平、工作，拓展知識面，還能使其獲得啟發和靈感，激勵自己努力學習。

5 結論

數學史是幫助學生認識數學、熱愛數學、理解數學和研究數學的重要載體，因此在當下教師主要著眼于多媒體與板書相結合、建立網絡教學互助平臺等這些外在內容的同時，要加強學生對知識本質的把握，實現數學史的傳播媒介作用，充分發揮數學史“為數學而歷史、為歷史而歷史、為教育而歷史”的三重功能。⑤

本文由國家自然科學基金項目（11501379）、河北省高等學校科學技術研究項目（QN2015244，QN2016011，QN2016140）、河北省教育廳社科研究2016年度基金項目（SD161045）資助

注釋

① J. K. Bidwell， Humanize Your Classroom with the History of Mathematics[J]， The Mathematics Teacher，1993.86（6）：461-464.

② 張禾瑞.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，2010.

③ H. Wussing. The Genesis of the Abstract Group Concept： A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory[M].translated by A. Shenitzer， Cambridge， Massachusetts， London： The MIT Press，1984.

④ 胡俊美.有限單群分類的歷史研究[D].石家莊：河北師范大學，2009.

⑤ 張紅梅，劉會茹，曹志軍.略論數學史研究的意義[J].科學大眾，2008（4）：49.