存在基數約束的投資組合效率評價方法

周忠寶，金倩穎，曾喜梅，吳 乾，劉文斌,2

(1. 湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

存在基數約束的投資組合效率評價方法

周忠寶1，金倩穎1，曾喜梅1，吳 乾1，劉文斌1,2

(1. 湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

采用數據包絡方法(DEA)評價投資組合效率的前提是有效前沿面為連續凹函數，然而存在基數約束的投資組合有效前沿面可能是非凹且不連續的函數，直接運用DEA方法對其進行評價是不合理的。本文首先給出了存在基數約束的投資組合效率的定義，考慮到其有效前沿面是由有限個連續凹函數分段構成的，提出了一種分段點搜索算法，構建分段DEA模型來評價投資組合效率。仿真分析表明，隨著樣本量的增加，本文提出的搜索算法得到的樣本分段點逼近于真實分段點，分段DEA前沿面逼近于真實前沿面，DEA效率與真實效率相關性逐漸增大，從而說明了本文方法的可行性和有效性。

投資組合效率；基數約束；有效前沿面；分段點搜索方法；數據包絡分析

1 引言

在現代金融研究領域，投資組合優化和評價是一個熱點問題[1-3]。1952年，美國經濟學家Markowitz提出的均值-方差(Mean-Variance Model)模型[4]，開創了現代投資理論的新紀元，該理論現已發展為現代投資組合理論的核心[5-6]。

經典的均值-方差模型存在著諸多不足，其中很重要的就是實際投資組合中資產數量是存在限制的(基數約束)。Chang等學者在經典均值-方差模型中引入投資組合所含資產數量限制，從而建立考慮基數約束的均值-方差模型(Cardinality Constrained Mean-Variance Model)[7]。Fieldsend和Matatko和Anagnostopoulos等學者基于經典的均值-方差模型建立了多目標基數約束投資組合優化模型，并通過實例說明了多目標引入的重要性[8-9]。由于考慮基數約束的投資組合優化問題是混合整數二次規劃問題，真實前沿面的解析解難以獲得。目前求解基數約束問題的方法主要分為兩類，一種是采用放松約束條件或者目標函數來逼近原問題從而得到解析解，另一種是采用啟發式算法解決基數約束問題。Li Duan等學者[10]提出一種拉格朗日和Contour-Domain切割方法 。Gao Jianjun和Li Duan[11]結合基數約束問題的幾何特點，將目標函數進行了放松并得到了不同放松形式下的解析解。Zheng Yiaojing等[12]提出用分段線性DC函數逼近基數約束函數從而將原問題分解為一系列凸的子問題。Cheng和Gao[13]構建了基數約束均值-CVaR投資組合優化模型，并提出采用加權l1-范數方法找到問題的近似解。TianYe等[14]人構建了正的錐約束來轉化原規劃問題，并用數值算例證明了得到的最優解優于已有方法得到的解。郝靜和張鵬[15]提出用離散近似迭代法求解具有基數約束的多階段投資組合模型的最優投資策略，并證明了其收斂性。Chang等[16]考慮了不同風險測度(均值-方差、半方差、均值絕對偏差及方差和偏度)下的基數約束問題，并用遺傳算法進行求解。Woodside-Oriakhi等學者[17]對利用啟發式算法求解基數約束投資組合問題的文獻進行了梳理。作為一個NP困難的問題，考慮基數約束的投資組合前沿面仍然難以獲取，即使采用啟發式算法，也存在計算復雜和局部最優解等問題，因而基于真實前沿面直接對投資組合進行評價是一個難題。

投資組合效率評價模型可以分為兩類：Diversification模型[18]和DEA(DataEnvelopmentAnalysis)模型[19]，兩者的基本思想都是基于投資組合與前沿面的距離來計算投資組合效率。但Diversification模型是非線性模型，計算復雜，實際應用不便。而DEA是由Charnes等學者提出的一種基于樣本數據的非參數方法[16]，是線性模型，計算簡單。Liu等學者[20]關于DEA的應用調查發現，在金融，經濟，教育等領域中應用甚是廣泛。Murthi等學者[20]應用DEA模型評價了考慮交易成本的投資組合效率，提出投資組合DEA效率指數DPEI。Galagadera和Silvapulle[22]運用DEA方法，利用最小初始投資和多個時間段的平均收益和標準偏差評估了投資組合效率。Daraio和Simar[23]用標準偏差、費用比率、投資周轉率和規模作為輸入指標，預期回報作為輸出指標進行了實證研究。ZhaoXiujuan等學者[24]分析了系統風險，非系統風險，投資期限和超額收益率，并構建了二次約束DEA模型評價投資組合效率。GuoJian等[25]運用DEA模型評估了走高時期的投資基金效率。DingHui等學者[26]研究了存在保證金限制的投資組合效率評價問題。周忠寶等學者[27-29]采用DEA模型對考慮交易成本的單階段和多階段投資組合進行了評價。楊宏林等學者[30]探索了基于DEA方法的價值與動量混合策略股票資產組合選擇及效率評價問題。LiuWenbin等學者[3]系統地研究了DEA應用于投資組合效率評價的理論基礎，以及考慮交易成本和交易量等市場摩擦和多種風險測度下的投資組合評價問題。用DEA方法逼近投資組合前沿面適用于連續凹函數的情形，然而考慮基數約束的投資組合前沿面可能是非凹且不連續的，因而不能直接運用DEA方法評價投資組合的效率。

本文基于存在基數約束的投資組合優化模型，根據其有效前沿面定義了投資組合效率。由于考慮基數約束的投資組合真實前沿面解析解難以獲得，難以直接應用效率的定義對投資組合進行評價，因而本文研究了基于分段DEA模型的評價方法。首先，本文提出了一種樣本分段點搜索算法，以逼近真實分段點；其次，基于樣本分段點對投資組合進行分組，由于每個分段的有效前沿面是連續凹函數，據此提出了分段DEA前沿面來逼近真實前沿面，進而用DEA效率逼近真實的投資組合效率。仿真結果表明，本文提出的方法可以有效地評價考慮基數約束的投資組合效率。

2 考慮基數約束的投資組合效率定義

2.1 考慮基數約束的投資組合優化模型

如果限制投資組合中證券的數量不超過K，則可構建如下收益導向的考慮基數約束的均值-方差投資組合優化模型：

(1)

對應的風險導向投資優化模型可表示為：

(2)

其中，sign()為符號函數，當xi≠0時|sign(xi)|=1，當xi=0時sign(xi)=0。

2.2 考慮基數約束的投資組合效率定義

圖1 投資組合效率

上述定義適用于投資組合有效前沿面為連續凹函數的情形，當考慮基數約束的限制時，投資組合真實前沿面函數可能出現不連續的情況(如圖2所示)，此時如果采用風險導向，可能出現投資組合在前沿面上無法投影的情況，進而無法計算投資組合效率。

圖2 考慮基數約束的投資組合效率

在上述情況下，盡管分段點或者突變點處期望收益出現較大變動，風險的取值仍然是連續的，這意味著對于任一投資組合，在收益導向下，始終能夠得到前沿面上的投影點，因此總可以定義收益導向的投資組合效率：

在考慮基數約束的限制時，由于投資組合前沿面可能出現不連續的情形，因而在評價時需要注意導向的選取。考慮到風險的取值始終是連續的，采用收益導向的投資組合效率評價總是可行的，因而本文研究中均采用收益導向。

3 考慮基數約束的投資組合效率評價方法

LiuWenbin等學者[3]的研究表明，當投資組合前沿面是連續凹函數時，可以采用基于數據的DEA模型來評價投資組合效率，當投資組合數量趨于無窮時，DEA前沿面依概率收斂于真實前沿面。然而，考慮基數約束的投資組合有效前沿面可能是不連續的非凹函數，因而依據上述研究直接運用DEA模型進行評價是不可行的。

盡管考慮基數約束的投資組合有效前沿面可能不是連續的凹函數，但顯而易見該有效前沿面是由多個連續凹函數分段構成的，這為運用DEA模型評價考慮基數約束的投資組合提供了一個思路：首先找出分段點，然后在每一段內采用DEA模型進行評價。然而，由于考慮基數約束的投資組合優化模型非常復雜，找到真實分段點仍然非常困難，因此本文提出了一種分段點搜索算法，根據樣本分段點來逼近真實分段點。

樣本分段點搜索算法：

1)對所有樣本點依據風險大小進行排序，得到樣本序列(σi,ri)(i=1,2,…,n)，其中σi為非降序列(σi≤σi+1,i=1,2,…,n-1)；

如圖3所示，若kAO

圖3 樣本分段點判定方法

Liu等學者[3]的研究表明，當前沿面為連續凹函數時，隨著投資組合數量趨于無窮，前沿面上任一點的任意鄰域內總存在投資組合樣本點[3]。由于考慮基數約束的投資組合有效前沿面在每一段內滿足連續凹函數的條件，因而對于分段前沿面上任一點，當樣本量足夠大時，其任意鄰域內總存在投資組合樣本點。相應地，容易證明，當樣本量足夠大時，在任一真實分段點的任意鄰域內總存在樣本分段點，從而樣本分段點逼近于真實分段點。

在確定了樣本分段點之后，就可以將所有的樣本按照樣本分段點劃分組別，在每一組內采用DEA模型進行評價。需要注意的是，本文假設不存在無風險資產，因而在組內進行評價時采用BCC模型，當存在無風險資產時可以用FG-DEA模型[26]或CCR模型[17]進行評估。

maxφ

λj≥0,j=1,…,m

(3)

需要特別指出的是，雖然基數約束下不同分段內的DEA模型在形式上跟其他DEA模型相同，但是投資組合樣本數據中已經包含了基數約束等限制條件，而且其對應的投資組合優化模型和有效前沿面并不相同。

4 仿真分析

選取了2012年1月至2015年8月的中國A股市場5只股票的月收益率數據，由于個股的月收益率數值較小，本文以股票收益率的百分數為基準計算得到的期望收益率分別為6.0851、2.3036、2.0161、2.6819、0.8631，協方差矩陣如表1所示。

表1 協方差矩陣

為便于比較不同樣本量下本文所提出的方法的實際效果，樣本量m為100、500和1000。基數限制K=3和K=4時不同樣本量對應的DEA前沿面和真實有效前沿面的比較如圖4和圖5所示。從圖中可以看出，隨著樣本量的增加，樣本分段點逼近于真實分段點，相應的分段DEA前沿面逐漸逼近于真實前沿面。

圖4 分段前沿面比較(K=3)

圖5 分段前沿面比較(K=4)

需要特別指出的是，從圖中可以看出，當樣本量比較大時，通過搜索算法得到的樣本分段點的數量可能多于真實分段點，然而這并不影響投資組合效率的評價結果，原因在于，對于某一分段有效前沿面，因為其為連續凹函數，可以將其看作多個分段連續凹函數，采用收益導向的投資組合效率評價模型并不會影響最終結果。

基于真實前沿面和基于DEA模型計算的投資組合效率及其排名的相關系數如表2所示。由表2可知，隨著投資組合樣本量的增加，相關系數也逐漸增大，表明采用本文提出的方法評價投資組合績效是切實可行的。

表2 相關性分析

5 結語

本文基于考慮基數約束的投資組合優化模型，定義了投資組合效率和真實分段點，提出了根據真實分段點對投資組合進行分段評價的思想。由于真實分段點難以計算，本文給出了一種樣本分段點搜索算法，該算法能有效地逼近真實分段點。在確定樣本分段點后，構建了DEA模型對每個分段內的投資組合進行效率評價。本文提出的方法是一種基于樣本數據的效率評價方法，實用性很強，計算方便。仿真實例表明，隨著樣本量的增加，本文提出的搜索算法得到的樣本分段點逐漸逼近真實分段點，分段DEA前沿面逼近于真實前沿面，且計算得到的DEA效率與基數約束下投資組合效率相關性越來越大，從而表明本文提出的方法切實有效。

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Performance Evaluation of Portfolios with Cardinality Constraints

ZHOU Zhong-bao1， JIN Qian-ying1， ZENG Xi-mei1， WU Qian1， LIU Wen-bin1,2

(1.School of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE, England)

Using Data Envelopment Analysis (DEA) to evaluate the performance of portfolios requires that the portfolio efficient frontier is continuous and concave. However, the efficient frontier on considering cardinality constraints may not be continuous or concave. Obviously, the direct use of DEA to evaluate the performance of portfolios with cardinality constraints is not reasonable. In this case, the definition of portfolio efficiency is provided. Since the efficient frontier with cardinality constraints is a piecewise concave function, a numerical searching algorithm is put forward to obtain the sample segment points, which are used to group portfolios under cardinality constraints. The DEA model is then used to evaluate the performance of portfolios in each group. The simulation example indicates that, with the increase of sample size, the sample segment points converge to the real segment points, the DEA frontiers converge to the efficient frontier with cardinality constraints, the correlations between DEA efficiencies and portfolio efficiencies are becoming larger, which all indicate the feasibility and effectiveness of the proposed approach.

portfolio efficiency; cardinality constraints; efficient frontier; segment points search method; data envelopment analysis

1003-207(2017)02-0174-06

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.02.019

2015-10-05；

2016-06-07

國家自然科學基金面上項目(71371067)；國家自然科學基金重點項目(71431008)

金倩穎(1993-)，女(漢族)，浙江義烏人，湖南大學工商管理學院，在讀博士，研究方向：金融工程與風險管理、系統優化與決策，E-mail：qianyingjin@hnu.edu.cn.

C931;F830

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