(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性

余超群

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性

余超群

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

借助(α,β)混合序列加權(quán)和的極大值矩不等式,采用截尾的方法討論(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性,并獲得(α,β)混合序列加權(quán)和的Marcinkiewicz-Zygmund型強(qiáng)大數(shù)定律.

(α,β)混合序列;Marcinkiewicz-Zygmund型強(qiáng)大數(shù)定律;完全收斂性;加權(quán)和

0 引言

(α,β)混合序列的定義由Bradley[1]給出,并研究了絕對(duì)正則條件下(α,β)混合序列的中心極限定理.邵啟滿[2]進(jìn)一步研究 (α,β)混合序列的極限性質(zhì).陸傳榮等[3]于1997年建立了(α,β)混合序列協(xié)方差的界,在此基礎(chǔ)上, 沈燕[4]給出了(α,β)混合序列的矩不等式,得到(α,β)混合序列的收斂定理.趙琦[5]利用Kolmogorov不等式得到(α,β)混合序列 的三級(jí)數(shù)定理,在較弱的條件下,進(jìn)一步研究了(α,β)混合序列的部分和與乘積和的強(qiáng)大數(shù)定律和加權(quán)和的完全收斂性.在本文中,我們借助(α,β)混合序列加權(quán)和的極大值矩不等式,采用截尾的方法討論(α,β)混合序列加權(quán)和的完全收斂性,并獲得(α,β)混合序列加權(quán)和的Marcinkiewicz-Zygmund型強(qiáng)大數(shù)定律.

設(shè){Xn,n≥1}是隨機(jī)變量序列,X為一非負(fù)隨機(jī)變量,C>0為常數(shù), 若對(duì)任意的x>0,n≥1, 都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x),則稱{Xn,n≥1}是被X一致控制的.本文約定:C,C1,C2總表示正常數(shù), 且在不同的地方可以表示不同的值.

1 引理

引理1[6]設(shè){Xn,n≥1}是被隨機(jī)變量X一致控制的序列,則對(duì)?α,b>0有

E|Xn|αI(|Xn|≤b)≤C1[E|X|αI(|X|≤b)+bαP(|X|>b)]

(1)

E|Xn|αI(|Xn|>b)≤C2E|X|αI(|X|>b)

(2)

其中C1,C2都是正常數(shù).

其中C為僅依賴于α,β和λ(·)的常數(shù).

2 主要結(jié)果及證明

(3)

若存在一常數(shù)q>max{α,2(pα-1)/(2α-1)},使得E|X|q<∞,則對(duì)?ε>0,有

(4)

(5)

(6)

因?yàn)閝>2(pα-1)/(2α-1),由Markov不等式和(6)式可得

(7)

(8)

并由(3)式和H?lder不等式,對(duì)于1≤k

(9)

(10)

因此,結(jié)合(5)式,(7)式和(10)式有(4)式成立.定理證畢.

(11)

(12)

首先,我們將證明

(13)

當(dāng)1/……