END序列下非參數回歸模型估計的相合性與完全收斂性

邢韻

(湖北大學數學與統計學學院,湖北 武漢 430062)

END序列下非參數回歸模型估計的相合性與完全收斂性

邢韻

(湖北大學數學與統計學學院,湖北 武漢 430062)

研究誤差為END序列的非參數回歸模型未知函數估計量的極限性質.并利用END序列的Cr不等式,Rosenthal不等式以及權函數相關性質, 證明其弱相合性與完全收斂性.

非參數回歸模型;END序列;相合性;完全收斂性

0 引言

設p是一個正整數,A是Rp上的緊集,考慮下面的非參數回歸模型:

Yni=g(xni)+εni,i=1,2,…,n

(1)

其中g(·)是定義在緊集A上的未知函數,xi∈A(i=1,2,…,n)為已知的固定設計點列, {εni,1≤i≤n,n≥1}為END變量序列.假定對每個n,{εn1,εn2,…,εnn} 與{ε1,ε2,…,εn}為 同分布的.定義g(x)的加權回歸函數估計為:

(2)

其中Wni(x)=Wni(x,x1,x2,…,xn)為僅依賴于固定設計點列的可測的加權函數.

上述的估計最初是由Georgiev提出來的,之后就有許多學者對其進行相關的研究.Georgiev等[1]研究了在獨立情形下gn(x)的相合性與漸近正態性,Fan[2]和Hu等[3]研究了Lp混合情形下gn(x)的相合性、正態性和平均相合性,Liang等[4]討論了誤差為NA情形下gn(x)的相合性,劉婷婷等[5]研究了誤差為AANA時的gn(x)的p階平均相合性和一致p階平均相合性. 本文中研究隨機誤差為END情形下gn(x)的相合性與完全收斂性.

設{Xn,n≥1}是隨機變量序列,X為一非負隨機變量,C>0為常數, 若對任意的x>0,n≥1, 都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x),則稱{Xn,n≥1}是被X隨機控制的.本文中約定:an=O(bn)表示anCbn,其中C表示與n無關的正常數,并且在不同的地方可以表示不同的值,IA表示示性函數,C(g)表示gn(x)在A上的連續點. 另外,||x||記為點x在Rp中的歐氏模,g(·)在緊集A上連續.

在非參數回歸模型(1)中,對任意固定的x∈A,有關權函數Wni(x)=Wni(x,xn1,xn2,…,xnn)的假設如下:

1 相關定義與引……

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