基于CKF的非線性船體變形慣性測量方法

徐博，王藝菲，單為

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

基于CKF的非線性船體變形慣性測量方法

徐博，王藝菲，單為

(哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

船體變形的精確測量對于優化大型船體結構設計、不同部位的剛度設計以及提高艦船傳遞對準精度都有很現實的意義，而基于慣性傳感器的角速率匹配法是測量船體變形的研究熱點。針對大型船體中慣性測量單元存在大安裝誤差角的情況，建立非線性的船體變形模型以及光纖陀螺的漂移模型，采用CKF濾波方法進行估計；理論推導了UKF與CKF兩種非線性濾波的估計精度，并進行了理論比較分析與仿真驗證。結果表明隨著航向安裝誤差角從30°增加到50°，靜態誤差角和動態誤差角的估計精度始終保持在20″以內。與UKF相比，隨著系統非線性程度的增強，CKF的性能優勢更加明顯。

船體變形；光纖陀螺；角速率匹配法；非線性模型；容積卡爾曼濾波

現代艦船的多個部位裝有相應的攻防設備和導航系統等，這些設備的姿態、位置及運動參數等信息是由艦船中心的航姿設備來提供的，為了保證各子系統之間協調工作時的精度，精確的測量出船體變形是非常有必要的[1]。為了準確測量船體變形，國外在20世紀50年代，在研究中將不規則海浪視為由無數頻率的正弦海浪疊加而成[2]。美國軍用飛機采用應變補償方法[3]。柳愛利[4]提出了一種將慣性測量單元安裝在某戰位點。吳偉等[5]提出了一種將陀螺漂移進行同步積分的方法。慣性船體變形測量領域取得了一定進展，但是目前絕大多數對船體變形角的估計研究仍局限于線性模型。朱昀炤[6]等利用粒子濾波對船體大角度變形進行測量，但是粒子存在退化現象，很難在實際中應用。容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter，CKF)具有算法實現簡單、濾波精度高、收斂性好等優點，正逐漸成為當前及未來研究非線性估計問題的熱點和有效方法。作者將CKF濾波與慣性測量匹配相結合，推導了大角度變形情況下的非線性船體變形測量模型，對無極卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)和CKF濾波方法的估計精度進行了理論分析和對比，并在此基礎上進行了仿真驗證。

1 船體變形角的非線性模型

將兩套慣性測量單元(inertial measurement unit，IMU)如圖1所示安裝在船體上。圖中表明了變形角η與安裝誤差角φ、靜態變形角φ和動態變形角θ之間的關系。圖中還簡要表明了中心IMU與局部IMU間的相對位置關系。

變形角的存在將會造成中心IMU處的載體坐標系oxmymzm與局部IMU處的載體坐標系oxsyszs失調，由oxsyszs到oxmymzm的方向余弦陣C，可由oxsyszs依次繞橫軸、縱軸和豎軸旋轉三次得到。由此可得

(1)

圖1 IMU安裝位置圖Fig.1 Installation drawing of IMU

設中心IMU測得的絕對角速度在坐標系oxmymzm上的投影為ω1，局部IMU測得的絕對角速度在oxsyszs上的投影為ω2。

由于船體變形的存在，兩套光纖陀螺測量單元輸出角速率間的關系式：

(2)

因此兩套光纖陀螺測量單元的輸出角速率之差為

(3)

式中：C為坐標系oxsyszs相對于坐標系oxmymzm的坐標變換陣。由于此時矩陣C中各角度均包含了較大安裝誤差角，因此它們均為較大角度，所以矩陣C便不能進一步近似。此時，系統模型的量測方程便為非線性。同時也可以看出，隨著安裝誤差角度的增加，系統的非線性程度增強。

根據船體變形角產生的原因，可將變形角分為靜態變形角和動態變形角兩部分。靜態變形角主要是因船體因熱脹冷縮以及老化作用等產生的，它是一個緩慢變化量。由于變化周期比較長，可將靜態形變形角視為一個不隨時間變化的常數，因此設靜態變形角為φ，則有：

(4)

式中：i分別表示x、y、z軸，所以：

(5)

根據兩套IMU之間存在安裝誤差角，通常情況下為一固定常值，模型可表示為

(6)

式中：i分別表示x、y、z軸，m為某一定值。由于它也是一個不隨時間變化的量，因此可將它歸類到靜態變形角中。

船體動態變形角θ可用一個二階馬爾可夫過程描述。動態變形角自相關函數為

(7)

與此對應的變形濾波器可以寫成：

(8)

陀螺漂移由常值漂移和隨機漂移組成，它的存在是變形角測量誤差的重要來源之一，因此有必要對其進行建模。

常值漂移是受恒定干擾產生的按某一規律持續的漂移量，可視為受白噪聲驅動的一階馬爾可夫過程：

(9)

式中：ωε為一階馬爾可夫過程白噪聲。因為漂移相關時間T比較長，所以IMU漂移可視為常數。因此：

(10)

隨機漂移是頻帶相當寬的隨機過程，一般用長時間測試的方差及相關函數表示，一般IMU隨機漂移的自相關函數[10]為

(11)

式中：i=x,y,z，τ為相關時間，μi為不規則系數，表征漂移的復雜度。σi表征IMU漂移離散程度的均方差。上述IMU隨機漂移的自相關函數對應的濾波器模型為

(12)

式(9)和式(12)就是IMU的誤差模型。

(13)

即非線性系統的狀態方程可以化簡為

(14)

式中：A為狀態矩陣，B為噪聲輸入矩陣，w(t)為系統噪聲序列。A、B陣的具體形式表示為

式中：

其中：

因此，根據式(3)和式(14)構成了船體變形的非線性模型。

2 非線性慣性測量匹配法模型濾波

針對非線性系統模型，應用最廣泛的是擴展卡爾曼濾波(extendkalmanfilter，EKF)，但是對于高階項的計算不僅很繁瑣，而且容易出現計算錯誤，尤其是針對維數比較高的系統。

因此，針對船體變形的非線性模型，尤其在大安裝誤差角存在的情況下，傳統的EKF濾波性能會大大下降。本節針對非線性模型給出CKF和UKF兩種非線性濾波理論算法，然后基于泰勒展開對估計精度進行理論分析，并進行仿真驗證。

2.1 基于泰勒展開式的CKF和UKF的估計精度

(15)

因此，CKF預測的f(X)的均值為

(16)

(17)

(18)

由于對稱性，它的奇階矩為零，因此有：

(19)

(20)

(21)

式中ξ為各分量之間的交叉項。從而CKF預測的f(x)的均值為

(22)

由推導CKF估計精度的過程可類似求得UKF的估計精度為

(23)

2.2CKF與UKF估計精度比較分析

對于積分公式來說，應該滿足權值為正這一基本條件，定義穩定因子表示為

(24)

當I>1時，積分公式會引入大量的截斷誤差，由上面推導式可看出，要想比較兩種方法的濾波精度只需要比較nk-1和(n+λ)k-1的大小。對于真實均值的四階矩，為了補獲大部分信息，UKF濾波過程中選擇n+λ=3，其中n為狀態變量維數，λ為微調因子。

當n<3時，nk-1<(n+λ)k-1，即UKF的濾波精度高于CKF；

當n=3時，nk-1=(n+λ)k-1，即UKF的濾波精度和CKF相當；

當n>3時，通過上文引入的穩定因子來分析，對于UKF，λ=3-n<0，權值ω0=1-n/3<0，ωi=1/2(n+λ),(i=1,2,…,2n)，根據上式定義的穩定因子得：

(25)

由IUKF的表達式知，IUKF與狀態維數n為線性關系，隨著n的線性增加，積分的數值估計中出現很大的誤差，積分公式精度變差。

對于CKF濾波，當n為任何數時，其權值ωi=1/2n>0，所以穩定因子IUKF：

(26)

由以上分析可以看出，當狀態變量的維數大于3維時，CKF的濾波精度會高于UKF。

3 基于CKF的船體變形測量仿真

仿真條件設置如下：假設艦船橫搖、縱搖、航向三個方向的搖擺周期分別為8、6、10s，搖擺幅度最大分別為4°、2°、3°。初始位置為北緯45.779 6°，東經126.670 5°，初始航速為沿北向10m/s,陀螺常值漂移均為0.005 (°)/h，隨機漂移均取0.01 (°)/h。動態變形角主頻取為0.16Hz。采樣周期為0.1s，仿真時間為600s。由于航向安裝誤差角較大，忽略航行靜態變形角。縱向、橫向靜態變形角分別為0.5°、0.8°，航向(含安裝誤差角)依次為30°、40°、50°，仿真結果如圖2所示。

圖2 基于CKF的靜態變形角估計誤差曲線Fig.2 CKF-based estimation error curve static deformation angle

由仿真結果可以看出：

1)航向(含安裝誤差角)靜態變形角由30°增至40°再增至50°，靜態變形角三個方向估計精度均出現了下降，相應收斂速度也下降。其中，縱向方向變化最小，精度始終保持在15″以內。而橫向和航向下降幅度基本相當，精度最終達到20″以內。

2)在安裝誤差角角度增加過程中，動態變形角橫向估計精度有所下降，但最終也穩定在15″以內。縱向和航向精度變化不明顯，基本穩定在10″以內，但收斂時間均有所加長。

4 基于CKF濾波與UKF濾波的仿真

本節針對前文的非線性模型，分別進行了基于UKF和CKF的變形測量仿真與分析，并對仿真結果進行了對比。仿真條件設置如下：假設艦船橫搖、縱搖、航向三個方向的搖擺周期分別為8、6、10s，搖擺幅度最大分別為4°、2°、3°。初始位置為北緯45.779 6°，東經126.670 5°，初始航速為沿北向10m/s,陀螺常值漂移均為0.005 (°)/h，隨機漂移均取0.01 (°)/h。主頻取為0.16Hz。采樣周期為0.1s，仿真時間為600s。縱向、橫向、航向靜態變形角分別為0.5°、0.8°，航向(含安裝誤差角)為30°，總變形角UKF、CKF估計誤差曲線如圖3所示。

圖3 總變形角UKF、CKF估計誤差曲線Fig.3 UKF, CKF total deformation angle estimation error curves

由仿真結果可以看出：

1)在縱向和橫向，總變形角的估計精度CKF最終達到10″以內，而UKF最終達到15″以內，CKF估計精度高于UKF；收斂速度CKF也要顯著快于UKF。

2)在航向方向，總變形角的估計精度，CKF稍好于UKF，最終達到15″以內，而且估計誤差曲線的平穩性也要好于UKF，但是收斂速度優勢不明顯。

為使比較更有說服力，現針對同一模型，分別用CKF和UKF進行了50次蒙特卡洛仿真，統計收斂時間和估計精度。其中收斂時間是以總變形角縱向、橫向和航向分別達到0.5′、1′、1′的時間為基準，估計精度是以總變形角在第600s時的估計精度為基準。收斂時間和估計精度統計圖如圖4、5所示。

圖4 UKF、CKF各50次濾波收斂時間情況統計Fig.4 UKF, CKF 50 times filter convergence time

圖5 總變形角UKF、CKF各50次濾波估計精度統計Fig.5 UKF, CKF 50 times the total distortion angle estimation precision filter

由仿真結果可以看出：

1)在縱向上，CKF的收斂時間均值在15s內，所有散點值也都在30s以內。UKF的收斂時間均值在75s以內，所有散點值在100s以內。CKF濾波在縱向上的收斂時間有明顯優勢。

2)在橫向上，CKF的收斂時間均值在75s內，所有散點值也都在100s以內。UKF的收斂時間均值在210s以內，所有散點值在250s以內。可以看出，CKF的收斂時間是少于UKF的。而且，在縱向上的優勢要好于橫向。

3)在航向上，CKF的收斂時間均值在75s內，所有散點值也都在100s以內。UKF的收斂時間均值在90s以內，所有散點值在150s以內。CKF的收斂時間的散點圖和UKF的差距不大，但從二者收斂時間的均值可以看出，CKF的收斂時間還是快于UKF的。

4)在縱向上，CKF的估計精度均值在2.5″內，所有散點值也都在5″以內。UKF的估計精度均值在5″以內，所有散點值在10″以內；在橫向上，CKF的估計精度均值在2.5″內，所有散點值也都在5″以內。UKF的估計精度均值在8″以內，所有散點值在15″以內；在航向上，CKF的估計精度均值在5″內，所有散點值也都在10″以內。UKF的估計精度均值在8″以內，所有散點值在15″以內。由此看見CKF的估計精度在三個方向上都高于UKF。

5 結論

本文建立了基于慣性測量匹配法的非線性模型，CKF非線性濾波方法的估計精度，并進行了一系列的仿真，同時與UKF濾波進行了理論對比和仿真對比。仿真結果表明：

1)安裝誤差角增加時，靜態變形角和動態變形角的收斂時間有所增加，收斂精度有所降低，但仍在15″以內。表明CKF濾波對非線性模型的估計是有效的。

2)UKF濾波與CKF濾波相比，CKF估計精度高，收斂過程較為平穩，且收斂速度快。

3)CKF和UKF的50次蒙特卡洛仿真的結果，明確可以看出，CKF濾波收斂時間75s以下，UKF濾波收斂時間100s以上，200s以下；CKF濾波的收斂精度是UKF濾波的收斂精度的一半。由以上結論可以看出，對于非線性船體變形的CKF濾波有更好的估計效果。

[1]GAO Wei, ZHANG Ya, WANG Jiangguo. A strapdown interial navigation System/Beidou/Doppler velocity log integrated navigation algorithm based on a cubature Kalman filter[J]. Sensors, 2014, 14(1): 1511-1527.

[2]柳愛利, 戴洪德. 基于慣性傳感器輸出匹配的艦船變形估計方法[J]. 傳感技術學報, 2011, 24(1): 145-148. LIU Aili, DAI Hongde. Deformation estimation of warship based on the match of inertial sensors′output[J]. Chinese journal of sensors and actuators, 2011, 24(1): 145-148.

[3]仝佩. 基于水彈性力學理論的船體動態形變角研究[D]. 長沙: 國防科學技術大學, 2011: 26-31. TONG Pei. Research of dynamic distortion on a ship based on the theory of hydro-elasticity[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2011: 26-31.

[4]聶琦. 非線性濾波及其在導航系統中的應用[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工程大學, 2008: 1-5. NIE Qi. Nonlinear filtering and its application in navigation system[D]. Harbin: Harbin Engineering University, 2008: 1-5.

[5]ARASARATNAM I, HAYKIN S. Cubature Kalman filters[J]. IEEE transactions on automatic control, 2009, 54(6): 1254-1269.

[6]LIPTON A H. Alignment of inertial systems on a mobile base[R]. Moscow: Nauka, 1971: 126-132.

[7]WANG Bo, XIAO Xuan, XIA Yuanqing, et al. Unscented particle filtering for estimation of shipboard deformation based on inertial measurement units[J]. Sensors, 2013, 13(11): 15656-15672.

[8]MOCHALOV A V, KAZANTSEV A V. Use of ring laser units for measurement of moving object deformations[C]//Proceeding of SPIE 4680, Second International Conference on Lasers for Measurement and Information Transfer. St. Petersburg, Russia: SPIE, 2002: 85-92.

[9]朱昀炤, 汪順亭, 繆玲娟, 等. 船體變形測量技術綜述[J]. 船舶工程, 2007, 29(6): 58-61. ZHU Yunzhao, WANG Shunting, MIAO Lingjuan, et al. Review of measuring technique for ship deformation[J]. Ship engineering, 2007, 29(6): 58-61.

[10]呂玉紅. 船用捷聯系統傳遞對準方法及實驗研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工程大學, 2010: 25-36. LYU Yuhong. Research of the transfer alignment method and experiment base on ship strap-down navigation system[D]. Harbin: Harbin Engineering University, 2010: 25-36.

[11]WU Wei, CHEN Sheng, QIN Shiqiao. Online estimation of ship dynamic flexure model parameters for transfer alignment[J]. IEEE transactions on control systems technology, 2013, 21(5):1666-1678.

[12]吳偉, 秦石喬, 楊云濤, 等. 船體變形測量中激光陀螺誤差的抑制機理[J]. 中國慣性技術學報， 2014, 22(5): 665-670. WU Wei, QIN Shiqiao, YANG Yuntao, et al. Error suppression mechanism for ring laser gyro in ship deformation measurement[J]. Journal of Chinese inertial technology, 2014, 22(5): 665-670.

[13]WU Yuanxin, HU Dewen, WU Meiping, et al. A numerical-integration perspective on Gaussian filters[J]. IEEE transactions on signal processing, 2006, 54(8): 2910-2921.

[14]MU Jing, CAI Yuanli. Iterated cubature kalman filter and its application[C]//Proceeding of the 2011 IEEE International Conference on Cyber Technology in Automation, Control, and Intelligent Systems. Kunming: IEEE, 2011: 33-37.

[15]柳明, 劉雨, 蘇寶庫. 改進的UKF在慣導平臺誤差模型辨識中的應用[J]. 控制與決策, 2009, 24(1): 129-132, 136. LIU Ming, LIU Yu, SU Baoku. Application of improved UKF in error model identification of inertial navigation platform[J]. Control and decision, 2009, 24(1): 129-132, 136.

CKF-based inertial measurement methods to determine nonlinear hull deformation

XU Bo，WANG Yifei，SHAN Wei

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150006, China)

Accurate measurement of the deformation of a hull structure is of real significance in efforts to optimize large hull designs, maximize the stiffness of different parts, and improve the alignment and transfer precision of ships. Methods that measure hull deformation based on inertial angular rate sensor matching are a current research hot-spot. In the case of large misalignment angles for large hull inertial measurement units, a non-linear hull deformation model and a drift model of FOG were established using the CKF filtering method for estimation. The estimation accuracies of two nonlinear filtering methods, i.e., UKF and CKF, were then theoretically derived, compared, and simulated. Results showed that as the heading misalignment angle is increased from 30° to 50°, the estimation accuracies of the static and dynamic error angles remain within 20". Compared with that of UKF, the performance advantage of CKF becomes more apparent following enhancement of the degree of non-linearity of the system.

hull deformation; fiber optic gyroscope; angular rate matching method; nonlinear model; cubature Kalman filter(CKF)

2016-01-14.

日期：2016-11-16.

國家自然科學基金項目(61203225)；黑龍江省自然科學基金項目(QC2014C069)；黑龍江省博士后科研啟動資金(LBH-Q15032)；海洋工程國家重點實驗室開放課題(1616).

徐博(1982-)，男，副教授，博士生導師； 王藝菲(1991-)，女，碩士研究生.

王藝菲，E-mail：huihui199108@126.com.

10.11990/jheu.201601056

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161116.1613.006.html

TN713+1

A

1006-7043(2017)02-0247-06

徐博，王藝菲，單為. 基于CKF的非線性船體變形慣性測量方法[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017, 38(2): 247-252. XU Bo，WANG Yifei，SHAN Wei. CKF-based inertial measurement methods to determine nonlinear hull deformation[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(2): 247-252.