隨機恒幅載荷下結構疲勞累積損傷的概率模型

高建雄，安宗文，寇海霞

(蘭州理工大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

隨機恒幅載荷下結構疲勞累積損傷的概率模型

高建雄，安宗文，寇海霞

(蘭州理工大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

概率疲勞累積損傷理論是產品可靠性評估與疲勞壽命預測的核心問題，其焦點是瞬時累積損傷及臨界損傷的概率分布特性。從應力與疲勞壽命的基本關系(即S-N曲線方程)出發，根據應力的概率密度函數推導出疲勞壽命的概率密度函數；基于Miner理論建立了一種適用于疲勞可靠性分析的概率疲勞累積損傷模型；通過具體實例對所建模型的有效性進行驗證和分析。結果表明：該模型能夠很好的反映外因(載荷特性)及內因(材料疲勞性能參數)對產品累積損傷分布規律的影響，為產品的可靠性設計及疲勞壽命預測提供了理論依據。

累積損傷；疲勞壽命；可靠性；S-N曲線；概率分布

工程結構或機械設備的疲勞破壞是材料內部疲勞損傷逐漸累積的結果。隨著載荷循環次數的增加，材料內部的損傷逐漸累積，當累積的損傷達到某一臨界值時，結構或構件便發生疲勞破壞。疲勞累積損傷理論研究的是循環載荷作用下結構或構件的損傷累積規律及疲勞破壞準則，它對于產品疲勞壽命的預測而言是十分重要的[1]。

對于疲勞累積損傷理論的研究經歷了漫長的過程，早在1924年Palmgren就首先提出了疲勞累積損傷與應力循環次數成線性關系的假設，隨后于1945年Miner又將此理論公式化，于是便形成了著名的Palmgren-Miner線性疲勞累積損傷理論(簡稱Miner理論)[2]。自Miner理論被提出以來，針對其不足，國內外許多學者開展了大量的研究，在過去的幾十年中相繼提出了多種疲勞累積損傷理論[3]。根據累積損傷規律的不同，可將現有的疲勞累積損傷理論分為兩大類：線性疲勞累積損傷理論[4-7]和非線性疲勞累積損傷理論[8-11]。

對于這些現有的累積損傷模型，有的是宏觀的或唯象的，其雖然形式簡單，使用方便，但對損傷變量的定義缺乏明確的物理含義，或模型的建立缺乏基礎性的理論依據；有的則是微觀的或物理的，其雖然具有較好的數學或力學基礎，但模型過于復雜，且須進行大量的疲勞試驗才能確定模型參數，使其目前難以在工程上推廣。因此，迄今為止，還沒有一個統一的、實用的、能夠較好揭示疲勞損傷內在演化機理的累積損傷模型。相對來說，Miner理論由于其形式簡單，使用方便，且大量試驗統計事實表明：Miner理論能夠較好地預測結構或構件在循環載荷作用下的均值壽命。所以，盡管在過去的幾十年中相繼提出了多種疲勞累積損傷理論，但Miner理論仍然是工程界廣泛采用的抗疲勞設計準則[12]。

然而，由于各種隨機因素(如材料微觀結構、制造工藝、載荷和服役環境等)的影響，致使疲勞累積損傷伴隨著固有的分散性。而Miner理論是基于“確定性”基礎之上的，它沒有考慮由于材料和載荷等的不確定性對瞬時累積損傷造成的分散性。

事實上，金屬材料的疲勞損傷主要屬于機械損傷，造成損傷的外因主要是應力幅，而導致損傷的內因是材料本身的固有屬性[8]。因此，本文利用應力與壽命之間的映射關系，推導出隨機恒幅載荷下結構疲勞壽命的概率分布，并基于傳統的Miner理論建立了適用于結構可靠性評估及疲勞壽命預測的疲勞累積損傷的概率模型。

1 產品疲勞壽命的分布特征

1.1S-N曲線

產品疲勞壽命預測的前提是擁有必要的疲勞試驗統計數據(包括材料的、載荷的及各種影響因素的)，其中S-N曲線最為關鍵。S-N曲線作為疲勞壽命預測的基礎，其描述的是循環應力S與失效循環數(疲勞壽命)N之間的對應關系。材料S-N曲線最常用的是冪函數表達式[13]：

SmN=C

(1)

式中：m和C為材料疲勞性能參數。

1.2 疲勞壽命分布特征

對于產品疲勞壽命分布類型的選擇或擬合而言，傳統上大多采用粗放的、非精確的概率統計方法(例如，對數正態分布、Weibull分布等)，其統計學的假設與檢驗也未必十分嚴格[14]。事實上，對于由特定材料制成的結構或構件，疲勞壽命的分布特征是由其在服役周期內所承受的載荷唯一確定的，疲勞壽命N可以看作是在載荷激勵S作用下的響應。因此，根據產品的載荷分布特征來推斷其疲勞壽命的分布特征不失為一種有效途徑。

本文僅考慮隨機恒幅載荷下產品的壽命分布問題。所謂隨機恒幅載荷，指的是載荷為恒幅循環應力，應力幅服從某一概率分布[15]，如圖1所示。在圖1中，S為一隨機變量，對應的概率密度函數為fS(s)，代表應力幅值的概率分布；S1，S2和S3是S中的三個載荷樣本，分別代表三種不同幅值下的恒幅循環應力。

在應力S作用下，疲勞壽命N的分布特征fN(n)與應力S的分布特征fS(s)之間存在一種類似于函數映射關系的紐帶(如圖2所示)，這種映射關系可用S-N曲線方程表示。因此，根據隨機變量函數的概率密度函數與其自變量的概率密度函數之間的關系，便可由應力S(激勵)的分布特征fS(s)確定出疲勞壽命N(響應)的分布特征fN(n)。

圖1 隨機恒幅循環載荷示意圖Fig.1 Schematic diagram of uncertain cyclic load

圖2 應力分布與壽命分布的關系Fig.2 Relationship between stress distribution and fatigue life distribution

設應力S的累積分布函數為FS(s)，在應力S作用下，疲勞壽命N的概率密度函數與累積分布函數分別記為fN(n)和FN(n)。由隨機變量分布函數的定義可知，疲勞壽命N的累積分布函數FN(n)可表示為

(2)

式中：Pr{·}表示概率。

由S-N曲線的冪函數表達式可得

(3)

將式(3)代入式(2)，可得FS(s)與FN(n)之間的關系：

(4)

對式(4)兩邊求導，可得fS(s)與fN(n)之間的關系：

(5)

式(5)便是隨機恒幅載荷下產品疲勞壽命的概率密度函數表達式。從式(5)可以看出，疲勞壽命N的分布特征隨著應力S(外因)的分布特征及材料疲勞性能參數C和m(內因)取值的不同而變化。該模型用簡潔的數學表達式闡述了外因(應力)及內因(材料疲勞性能參數)對產品疲勞壽命分布規律的影響，克服了傳統采用的概率統計方法在壽命分布擬合過程中產生的誤差。

2 概率疲勞累積損傷模型

Miner理論是一個確定性模型，它與實際疲勞問題存在的分散性不符，不能滿足疲勞可靠性設計的要求。因此，建立一個適用的概率疲勞累積損傷模型對產品的疲勞可靠性評估至關重要。

本文基于Miner理論，建立了隨機恒幅載荷作用下產品的概率疲勞累積損傷模型。具體過程如下：

1) 一個循環造成的損傷D(1)。

(6)

式中：N為應力S作用下產品的疲勞壽命，此處它是一個隨機變量，其累積分布函數FN(n)與概率密度函數fN(n)分別由式(4)和式(5)確定。

2)n個循環造成的損傷D(n)。

產品在疲勞載荷作用n后造成的損傷D(n)稱為瞬時累積損傷：

(7)

式中：n為載荷循環次數，是一個確定量。

理論和試驗結果表明，瞬時累積損傷D(n)是個隨機變量，它由內在分散性(材料疲勞性能參數)和外在分散性(載荷特性)共同決定。根據隨機變量分布函數的定義，瞬時累積損傷D(n)的累積分布函數FD(d)可表示為

(8)

將式(7)代入式(8)，可得疲勞壽命N的累積分布函數FN(n)與瞬時累積損傷D(n)的累積分布函數FD(d)之間的關系：

(9)

對式(9)兩邊求導，可得疲勞壽命N的概率密度函數fN(n)與瞬時累積損傷D(n)的概率密度函數fD(d)之間的關系：

(10)

將式(5)代入式(10)可得：

(11)

式(11)便是隨機恒幅載荷下的概率疲勞累積損傷模型。由式(11)可知，瞬時累積損傷D(n)的概率分布特征是內在分散性(材料疲勞性能參數C和m的不同取值)和外在分散性(應力S的概率分布)的綜合體現。該模型用清晰的數學表達式闡述了外因(應力)及內因(材料疲勞性能參數)對產品瞬時累積損傷分布規律的影響，克服了傳統Miner理論的不足。

3) 臨界損傷Dcr。

目前，對于臨界損傷Dcr的統計特性有兩種觀點：一種觀點認為Dcr是一個確定量，即Dcr=1；另一種觀點認為Dcr是一個隨機變量，即服從某一概率分布。事實上，對于兩級或者很少幾級的加載情況，試件發生疲勞破壞時的臨界損傷值Dcr偏離1很大。例如在實際工程中，對于承受兩級加載的材料，在高—低加載情況下其臨界損傷Dcr<1，而在低-高加載情況下其臨界損傷Dcr>1，即是所謂的“鍛煉”效應[16]。材料的“鍛煉”效應說明將臨界損傷Dcr看作一個隨機變量似乎更加合理。其中文獻[12]認為臨界損傷Dcr是一個均值為1，變異系數與疲勞壽命變異系數近似相等的隨機變量。鑒于此，本文假設臨界損傷Dcr服從均值為1，變異系數CDcr由正態分布表示：

(12)

式中：CN為疲勞壽命的變異系數，μN和σN分別為疲勞壽命的均值與方差：

(13)

(14)

至此，隨機恒幅載荷下的概率疲勞累積損傷模型建立完畢。其中，瞬時累積損傷D(n)的概率分布特征由式(11)確定，臨界損傷Dcr服從均值為1，變異系數由式(12)確定的正態分布。

3 實例分析

以機械工業中常用的齒輪材料20CrMnTi鋼的接觸疲勞試驗為例，對本文所建模型的有效性進行驗證和分析。試驗條件及試驗數據如下[17]：

1) 試驗條件：矩形試樣，920℃加熱滲碳直接油淬，200℃回火2h，空冷；JPM-1型試驗機進行，滑差率5%。

2)P-S-N曲線參數估計結果如表1所示。

3)P-S-N曲線如圖3所示。

表1 20CrMnTi鋼P-S-N曲線參數估計

圖3 20CrMnTi鋼P-S-N曲線Fig.3 P-S-N curves of 20CrMnTi steel

3.1 20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命分布

設應力S服從均值μ=245 3MPa，標準差σ=20MPa的正態分布。以表1中存活率P=0.50的S-N曲線(C=1.160 4×1054，m=14.044 9)為例。在應力S作用下，由式(5)可得存活率P=0.50時20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命概率密度函數：

(15)

根據式(15)，可得20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命概率密度函數曲線，如圖4所示。

從圖4可以看出，在應力S作用下，20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命N服從如圖4所示的偏態分布。事實上，當應力S(外因)的概率分布特征或材料疲勞性能參數C和m(內因)的取值發生變化時，20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命概率密度函數曲線也將發生相應的變化。也就是說，20CrMnTi鋼試樣的疲勞壽命分布特征是由外因(載荷特性)及內因(材料疲勞性能參數)共同決定的，而不拘泥于傳統方法所采用的對數正態分布或Weibull分布等。

圖4 20CrMnTi鋼試樣疲勞壽命概率密度函數曲線Fig.4 Probability density function curve of fatigue life of 20CrMnTi steel specimen

3.2 20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的分布特性

同樣，以表1中存活率P=0.50的S-N曲線(C=1.160 4×1054，m=14.044 9)為例。在應力S作用下，由式(11)可得20CrMnTi鋼試樣瞬時累積損傷D(n)的概率密度函數：

(16)

由式(16)可知，瞬時累積損傷D(n)的概率密度函數fD(d)隨著載荷作用次數n的變化而變化。例如，當n分別取0.5×106、1.0×106、1.5×106、2.0×106時，20CrMnTi鋼試樣瞬時累積損傷D(n)的概率密度函數曲線如圖5所示。

從圖5可以看出：1)當載荷作用次數n為某一確定值時，20CrMnTi鋼試樣的瞬時累積損傷D(n)是一個隨機變量，且服從某一特定的概率分布，滿足疲勞累積損傷規律的隨機性；2)隨著載荷作用次數n的增加，20CrMnTi鋼試樣瞬時累積損傷D(n)的概率密度函數曲線fD(d)逐漸向右移動，滿足疲勞累積損傷規律的不可逆性。

以上是20CrMnTi鋼試樣瞬時累積損傷D(n)的概率分布特性，下面對其臨界損傷Dcr的分布特性進行分析。根據式(13)和式(14)，可分別計算出20CrMnTi鋼試樣疲勞壽命的均值和方差：

(17)

(18)

根據式(12)，可得20CrMnTi鋼試樣臨界損傷Dcr的變異系數:

(19)

因此，20CrMnTi鋼試樣臨界損傷Dcr服從均值為1，變異系數為0.115 1的正態分布，其概率密度函數曲線如圖6所示。

圖5 20CrMnTi鋼試樣瞬時累積損傷概率密度函數曲線Fig.5 Probability density function curve of instantaneous cumulative damage of 20CrMnTi steel specimen

圖6 20CrMnTi鋼試樣臨界損傷概率密度函數曲線Fig.6 Probability density function curve of critical damage of 20CrMnTi steel specimen

3.3 材料屬性對疲勞累積損傷分布特性的影響

為研究材料屬性對20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷分布特性的影響，以表1中不同存活率P下的S-N曲線為例，探究材料疲勞性能參數(C和m)對累積損傷規律的影響。

當載荷作用次數n為某一確定值時，例如n=0.1×106。根據式(11)可得不同存活率P下20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的概率分布，如圖7所示。

圖7 材料屬性對疲勞累積損傷分布特性的影響Fig.7 Distribution of fatigue cumulative damage effected by material properties

由圖7可知，不同存活率P下20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的概率分布差異很大，說明材料疲勞性能參數(內因)對疲勞累積損傷分布特性的影響很大。因此，在產品的加工制造過程中，應及時修訂或改善工藝過程，避免加工過程中因材料微觀結構或內部缺陷等的不均勻性對產品疲勞性能造成的影響。

3.4 載荷特性對疲勞累積損傷分布特性的影響

1) 應力均值對疲勞累積損傷分布特性的影響。

當載荷作用次數n為某一確定值時，例如n=0.7×106。在應力標準差σ=20MPa保持不變，應力均值μ分別取2 353、2 453、2 553、2 653MPa時，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的概率分布如圖8所示。

圖8 應力均值對疲勞累積損傷分布特性的影響Fig.8 Distribution of fatigue cumulative damage effected by mean stress

由圖8可知，在應力方差保持不變的情況下，一方面，隨著應力均值的降低，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的均值逐漸增大；另一方面，隨著應力均值的降低，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的分散性逐漸增大，這種現象符合“隨著應力水平的降低，產品疲勞壽命的分散性逐漸增大[18-19]”的一般規律。

2) 應力方差對疲勞累積損傷分布特性的影響。

同樣，當載荷作用次數n為某一確定值時，例如n=0.7×106。在應力均值μ=2 453MPa保持不變，應力標準差σ分別取10、20、30、40MPa時，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的概率分布如圖9所示。

圖9 應力方差對疲勞累積損傷分布特性的影響Fig.9 Distribution of fatigue cumulative damage effected by variance of stress

由圖9可知，在應力均值保持不變的情況下，20CrMnTi鋼試樣疲勞累積損傷的分散性隨著應力方差的增大而增大。因此，若要通過試驗的方法來研究產品疲勞損傷的內在演化機理時，在試驗過程中就應嚴格控制應力的波動范圍，避免因應力的隨機波動對疲勞損傷演化規律造成的影響。

根據以上分析可以看出，材料屬性(內因)及載荷特性(外因)對結構疲勞累積損傷分布規律都有影響，相比之下，前者(材料屬性)對結構疲勞累積損傷分布規律的影響更為顯著。因此，若要從本質上改善結構的抗疲勞特性，則應在加工制造過程中及時修訂和改善工藝，避免材料微結構或內部缺陷等的不均勻性對結構疲勞性能產生影響。

4 結論

1) 在實例分析中，通過對20CrMnTi鋼試樣瞬時累積損傷及臨界損傷分布特征及演化規律的分析，結果表明本文所建模型能夠表征疲勞損傷累積的一般規律(隨機性和不可逆性)。

2) 該模型是基于Miner理論建立的，形式簡單、參數少，便于工程應用，并且能夠很好的反映外因(載荷環境)和內因(材料疲勞性能參數)對產品疲勞累積損傷分布特性的影響，為產品的可靠性設計和疲勞壽命預測提供了理論依據。

[1]許金泉, 郭鳳明. 疲勞損傷演化的機理及損傷演化律[J]. 機械工程學報, 2010, 46(2): 40-46. XU Jinquan, GUO Fengming. Mechanism of fatigue damage evolution and the evolution law[J]. Journal of mechanical engineering, 2010, 46(2): 40-46.

[2]MINER M A. Cumulative damage in fatigue[J]. Journal of applied mechanics, 1945, 12: A159-A164.

[3]楊曉華, 姚衛星, 段成美. 確定性疲勞累積損傷理論進展[J]. 中國工程科學, 2003, 5(4): 81-87. YANG Xiaohua, YAO Weixing, DUAN Chengmei. The review of ascertainable fatigue cumulative damage rule[J]. Engineering science, 2003, 5(4): 81-87.

[4]CHRISTENSEN R M. An evaluation of linear cumulative damage (Miner′s law) using kinetic crack growth theory[J]. Mechanics of time-dependent materials, 2002, 6(4): 363-377.

[5]朱正浩, 沈秋伊, 劉毅. 基于雙線性損傷本構的復合材料修理后強度數值分析方法[J]. 科學技術與工程, 2014, 14(29): 130-134. ZHU Zhenghao, SHEN Qiuyi, LIU Yi. A numerical analysis method for strength of scarf-repaired composite structure based on a bilinear damage constitutive model[J]. Science technology and engineering, 2014, 14(29): 130-134.

[6]LI Wei, LI Qiang, WANG Ping. Statistical evaluation on cumulative damage property of aluminum alloy welded joint under multi-stage loading[J]. Advanced materials research, 2010, 118-120: 522-526.

[7]SUGIMOTO T, SASAKI Y. Fatigue life of structural plywood under two-stage panel shear load: a new cumulative fatigue damage theory[J]. Journal of wood science, 2007, 53(3): 211-217.

[8]姜風春, 劉瑞堂, 張德騶. 一個基于能量原理的疲勞損傷函數[J]. 哈爾濱船舶工程學院學報, 1994, 15(2): 25-30. JIANG Fengchun, LIU Ruitang, ZHANG Dezou. A fatigue damage function based on energy analysis[J]. Journal of Harbin Shipbuilding Engineering Institute, 1994, 15(2): 25-30.

[9]SHANG Deguang, SUN Guoqin, DENG Jing, et al. Nonlinear cumulative damage model for multiaxial fatigue[J]. Frontiers of mechanical engineering in China, 2006, 1(3): 265-269.

[10]HAN Zhongying, HUANG Xiaoguang, CAO Yuguang, et al. A nonlinear cumulative evolution model for corrosion fatigue damage[J]. Journal of Zhejiang University science A, 2014, 15(6): 447-453.

[12]姚衛星. 結構疲勞壽命分析[M]. 北京: 國防工業出版社, 2003: 199-205.

[13]謝里陽, 劉建中. 樣本信息聚集原理與P-S-N曲線擬合方法[J]. 機械工程學報, 2013, 49(15): 96-104. XIE Liyang, LIU Jianzhong. Principle of sample polymerization and method ofP-S-Ncurve fitting[J]. Journal of mechanical engineering, 2013, 49(15): 96-104.

[14]謝里陽. 機械可靠性理論、方法及模型中若干問題評述[J]. 機械工程學報, 2014, 50(14): 27-35. XIE Liyang. Issues and commentary on mechanical reliability theories, methods and models[J]. Journal of mechanical engineering, 2014, 50(14): 27-35.

[15]謝里陽, 王正. 隨機恒幅循環載荷疲勞可靠度異量綱干涉模型[J]. 機械工程學報, 2008, 44(1): 1-6. XIE Liyang, WANG Zheng. Dissimilar-dimension interference model of fatigue reliability under uncertain cyclic load[J〗. Chinese journal of mechanical engineering, 2008, 44(1): 1-6.

[16]MILLER K J, ZACHARIAH K P. Cumulative damage laws for fatigue crack initiation and stage I propagation[J]. Journal of strain analysis for engineering design, 1977, 12(4): 262-270.

[17]機械工程材料性能數據手冊編委會. 機械工程材料性能數據手冊[M]. 北京: 機械工業出版社, 1995: 163-166.

[18]ZHAI Jianming, LI Xiaoyang. A methodology to determine a conditional probability density distribution surface fromS-Ndata[J]. International journal of fatigue, 2012, 44: 107-115.

[19]XIE Luyang, LIU Jianzhong, WU Ningxiang, et al. Backwards statistical inference method forP-S-Ncurve fitting with small-sample experiment data[J]. International journal of fatigue, 2014, 63: 62-67.

Structural probabilistic model of fatigue cumulative damage under uncertain cyclic load

GAO Jianxiong，AN Zongwen，KOU Haixia

(School of Mechatronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Probabilistic fatigue cumulative damage theory is the key issue of product reliability assessment and fatigue life prediction, which focuses on the probability distributions of the instantaneous cumulative damage and the critical damage. Based on the fundamental relationship between stress and fatigue life (that is, the equation of S-N curve), a probability density function of fatigue life was derived from the probability density function of stress; Then, a probabilistic model of fatigue cumulative damage was proposed based on the Miner’s rule; Finally, the validity of the proposed model was verified by a practical case. The result shows that the distribution of fatigue cumulative damage is affected by the external factors (characteristics of the load) and the internal factors (fatigue performance parameters of material), and the proposed model can provide a theoretical basis for reliability design and fatigue life prediction.

cumulative damage；fatigue life；reliability；S-Ncurve；probability distribution

2015-09-28.

日期：2016-12-19.

國家自然科學基金項目(51265025).

高建雄(1988-), 男, 博士研究生； 安宗文(1968-), 男, 教授, 博士生導師.

安宗文，E-mail：anzongwen@163.com.

10.11990/jheu.201509085

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161219.1447.002.html

TB114.3；TH114

A

1006-7043(2017)02-0263-06

高建雄，安宗文，寇海霞. 隨機恒幅載荷下結構疲勞累積損傷的概率模型[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017, 38(2): 263-268. GAO Jianxiong，AN Zongwen，KOU Haixia. Structural probabilistic model of fatigue cumulative damage under uncertain cyclic load[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(2): 263-268.