串聯生產系統預防性維護計劃建模與優化

陸志強，趙嬋媛，崔維偉

( 1.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804； 2.上海交通大學 工業工程與管理系，上海 200240)

串聯生產系統預防性維護計劃建模與優化

陸志強1，趙嬋媛1，崔維偉2

( 1.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804； 2.上海交通大學 工業工程與管理系，上海 200240)

針對具有中間緩沖的多設備串聯生產系統預防性維護問題，以最小化維護相關成本為目標，建立了基于設備役齡的維護/換新計劃模型。分析設備因故障、維護或饑餓而造成的停機損失，依據蒙特卡洛仿真方法，并采用遺傳算法進行優化求解。綜合成本隨著系統產出率要求、單位時間產出、小修時間的增大而增大；15臺設備系統中，所得綜合成本僅為傳統總成本的55.9%。

多設備串聯系統；停機損失；預防性維護；蒙特卡洛方法；遺傳算法

生產活動使設備可靠性下降、故障率提升，而預防性維護能改善設備狀態并降低故障率，因此合理的設備維護計劃決策對企業提高生產效率及降低成本具有重要意義。以往的研究主要集中在單設備預防性維護建模，并取得了豐富的成果[1-3]。通常多部件系統考慮的關聯性包括三種：經濟關聯性、結構關聯性和隨機關聯性。多設備系統與多部件系統類似，但在考慮經濟與結構關聯性時更多地受到生產活動的影響。多部件串聯系統通常假設一個部件停止運作會導致整個系統停機，即“一停全停”；而在多設備串聯生產系統中往往會有在制品中間緩沖，上下游之間存在生產結構關聯性，一臺設備的停機可能不會立即導致整個系統停機，即“一停不停”。

序號不對對于多部件單設備或多設備系統的建模和決策大致可分為維護計劃與維護策略兩種。維護計劃一般將有限計劃期分成若干時間區間，優化決策各部件在每個時間區間的預防性維護活動。Moghaddam等[4]引入設備有效役齡作為中間變量反映部件狀態變化，以此建立了多部件系統決策維護/換新的兩種計劃模型。Ahmad等[5]以比例強度模型來描述系統狀態，建立了多部件系統檢查及換新計劃模型。維護策略指先決策各部件的維護方案，再考慮各部件間的關聯性，運用成組維護或機會維護策略對系統中各部件的預防性維護進行調整。Horenbee等[6]以長期平均成本為最小化目標決策各部件不完全維護時點，考慮了多部件系統的三種關聯性，并運用滾動周期法進行更新。Van[7]考慮多部件的經濟關聯性，提出了成組維護及動態更新策略。Hai[8]考慮了串聯系統的兩種經濟關聯性：準備成本和停機成本，且關鍵部件停機會導致生產損失而非關鍵設備不牽涉該成本。Zhou等[9]在進行預防性維護決策時考慮了車間加工作業活動的影響，以工件的完成時刻作為維護機會提出成組維護策略。Tambe等[10]建立了多部件系統的機會維護模型，利用部件因故障及物料配送等原因而停機產生的維護機會，以可用性及作業延遲因子為約束，目標為總成本最小化。Xia等[11]以生產換模時間作為維護機會，對串并聯生產系統提出機會維護策略以優化目標成本。

上述研究均以成本為決策目標，且考慮“一停全停”的情況，而本文研究對象為在實際生產中普遍存在的具有中間在制品緩沖的多設備串聯生產系統，其預防性維護計劃決策問題不再符合“一停全停”假設。引入中間緩沖后的系統，其實際生產情形更符合“一停不停”情形。采用預防性維護計劃方法來對上述系統的預防性計劃問題進行建模，針對設備故障隨機性與系統“一停不停”帶來的復雜結構關聯性，提出了基于蒙特卡洛方法的遺傳算法對模型進行優化求解。

1 串聯系統維護計劃問題描述

1.1 問題假設與符號定義

以N臺設備構成的多設備串聯系統為對象，在具有J個相等時間區間的計劃期T上，優化決策每個時間區間結束時刻是否對各設備進行維護(不完全維護)、換新(完全維護)，或無操作，使得在整個計劃期系統維護相關總成本最小化。問題假設及相關符號定義如下：

1)多設備生產系統為純串行結構，工件依次通過各臺設備進行加工，假設串行生產線完全平衡，即各設備i平均加工一個零件的時間Pi相等。

3)設備間有中間緩沖，因此當一臺設備因故障、預防性維護或饑餓而停機時，串聯系統“一停不停”，即單位時間系統生產損失并非定值，而是受隨機故障影響的隨機變量。記τd為系統在計劃期T間的生產停機時間，即第N臺設備無產出時間，cd為系統在計劃期T間總的生產停機損失成本，根據定義可得cd=V·τd，其中V為系統無停頓連續生產時的單位時間產出。另可推得系統產出率為1-τd/T。

如果設備i在區間j結束時進行維護，則對設備有效役齡的影響為

(1)

如果設備i在區間j結束時進行換新，則對設備有效役齡的影響為

(2)

相當于設備修復如新，即為換新作業。

如果設備i在區間j結束時維持原狀，則

(3)

即設備有效役齡不發生改變。

1.2 數學模型

定義決策變量mij和rij，分別表示維護決策與換新決策，均為0/1變量，部件i在區間j結束時進行維護則mij為1，否則為0；部件i在區間j結束時進行換新則rij為1，否則為0。

成本最小化和產出率最大化通常是兩個互相矛盾的指標，要滿足較高的設備產出率必須及時維修/換新部件，因而投入較高昂的成本；而一味節省維護成本也將導致產出率過低，本模型將在滿足系統產出率條件的基礎上使得總成本最小化。記總成本為TC，考慮設備維護成本、換新成本、故障后小修成本、系統生產停機損失成本、設備進行維護/換新損失的剩余價值成本。

1)維護/換新成本。

2)小修成本。

(4)

3)系統生產停機損失成本。

由前述可知系統生產停機損失成本為cd=Vτd，其中隨機變量τd的具體求解過程在本文2.2節中詳述。

4)設備進行維護/換新后剩余價值損失成本。

(5)

(6)

綜上，預防性維護計劃決策的數學模型如下：

(7)

s.t.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：X0i表示計劃期初設備i的有效役齡，Areq為多設備串聯生產系統的產出率要求。

2 基于蒙特卡洛的遺傳算法設計

由于設備發生故障的隨機性，上述數學模型中的系統生產停機時間τd難以通過確定的表達式來進行推算，為求得有效τd以獲得系統產出率與生產停機損失成本，本文采用蒙特卡洛方法進行估計。另一方面，由于模型的規模以及故障隨機性使得模型求解變得復雜，無法使用Cplex等商業軟件進行直接求解，鑒于遺傳算法的優化機理及求解大規模問題的優越性，本文的算法采用自適應遺傳算法框架。

2.1 自適應遺傳算法框架

1)染色體編碼。

由于維護/換新決策為0/1變量，故采用二進制編碼，如圖1所示，染色體總長度為2N·J，前N·J個基因代表維護決策，后N·J個基因代表換新決策。

圖1 染色體編碼示例Fig.1 Chromosome coding example

2)初始種群生成。

種群數量G是影響算法最優化性能和效率的因素之一，目前常用的種群數目范圍為20～200，考慮到染色體長度與運算時間，本文取G為100。初始種群隨機生成，即每條染色體中隨機生成維護/換新概率，再根據概率隨機生成基因，需要注意的是，如果第k個基因與第N·J+k個基因都等于1，說明其在同一時刻對同一臺設備同時進行維護及換新，違背式(11)，隨機使第k個和第N·J+k個基因之一等于0。

3)解的評價(適應度函數設計)。

采用目標成本作為適應度函數，記為f=TC，TC中的生產停機時間利用蒙特卡洛方法求得，詳見2.2節。不滿足系統產出率約束的染色體在適應度值上加入懲罰值，即f=TC+M(M為一個很大的數)，使其在競爭中淘汰。

4)選擇算子。

采用輪盤賭法進行選擇。為了保證每一代的最優染色體不被破壞，運用跨世代精英策略，將父代種群與通過交叉、變異產生的子代種群混合起來，從中選擇較優的G個染色體直接進入下一代。

5)交叉算子。

采用均勻交叉法，隨機選擇不定數量的交叉位置，使對應位置基因進行互換。交叉概率Pc通過自適應法求得:

(15)

式中：fmax為種群中最大適應度值，favg為種群平均適應度值，f′為交叉的兩條染色體中較大的適應度值，通過數值試驗調試，取Pc1=0.9，Pc2=0.6。若交叉后染色體的基因位出現沖突(對應的兩個維護位置都為1)，則隨機令一個基因位為0。

6)變異算子。

采用二進制變異法，隨機選擇變異位置，使其對應位置基因進行翻轉。變異概率Pm通過自適應法求得:

(16)

通過數據調試，取Pm1=0.1，Pm2=0.001。如果變異后第k個基因與第N·J+k個基因都等于1，隨機使第k個或第N·J+k個基因等于0。交叉概率和變異概率的選取采用了自適應遺傳算法相關技術，可根據種群的總體表現自動選取合適的值，Pc1、Pc2、Pm1、Pm2為基本參數。

7)終止條件。

為控制嵌套了蒙特卡洛抽樣估計過程的遺傳算法運行時間, 本文限制最大的迭代步數tmax，通過數值試驗調試，取tmax=300。

2.2 基于蒙特卡洛方法的系統產出損失估計

蒙特卡洛方法是通過某種“試驗”進行抽樣以求得隨機變量的期望值的方法，本文設計的“試驗”過程如圖2所示。

圖2 蒙特卡洛方法示意圖Fig.2 Diagram of Monte Carlo method

以遺傳算法迭始代中的可行維護計劃、初始時刻、初始中間緩沖以及設備有效役齡作為輸入；以各臺設備加工各工件的開始與結束時間，以及設備前庫存最早可用時間作為中間變量模擬工件的加工；以設備故障概率分布模擬隨機故障的發生；根據可行維護計劃進行預防性維護；以此得到生產停機時間的期望值，從而推導獲得系統生產損失。隨機故障的模擬通過隨機生成故障間隔時間得到，記設備i在有效役齡為t′時發生故障后距下一次故障的間隔時間為tbfi，根據可靠性與維修性相關理論[12]:

(17)

具體步驟及說明如下：記計劃期初時刻為tcur，假設設備間庫存容量無限制，各設備前實時庫存為WIPi，系統原材料充足，第一臺設備從不因缺貨停機，即WIP1=，記各設備初始有效役齡為xi。給定抽樣總次數samp。

2)判斷仿真是否結束，若滿足?eti≤tcur+T,i=1,2,…,N，則i=1，轉到3)；否則轉到10)。

3)判斷eti≤tcur+T是否成立，成立則轉到4)；否則轉到9)。

9)i=i+1。i≤N則轉到3)，否則轉到2)。

11)τd=τd/samp，根據cd=Vτd求得cd。

“試驗”的重復抽樣次數samp關系到解的解的精度，抽樣次數太少則統計值不能代表期望值，而太多則會使計算時間過長，本文采用置信區間法求解抽樣次數，取顯著水平5%，得samp約為30。

3 數據實驗與對比分析

運用VSC#編程進行數據實驗，以5臺設備的實際串聯生產系統為例，各設備參數如表1所示，計劃期為12周，以周為長度將計劃期分成等間隔時間區間，決策每個區間結束時的預防性維護計劃，系統每天生產8h，要求系統產出率Areq不小于0.85，計劃期初系統無中間緩沖，系統無停頓連續生產時單位時間產出V為8千元/h。

3.1 本文模型與傳統方法的比較

(18)

(19)

表1 設備參數

圖3 不同算例下蒙特卡洛方法與傳統方法求得的系統生產停機時間比較Fig.3 Comparison between Monte Carlo method and traditional ones under different examples

不同數據規模下本文模型(記為PRO)與tra1及tra2運用2.1算法所求得解的成本如表2所示，從中可以看出本文模型由于綜合考慮了生產停機損失成本與預防性維護成本，能獲得更低的總成本。tra1未考慮隨機故障對系統停機的影響，所得解的實際停機損失cd較大，雖然節省了預防性維護以及相對應的剩余價值損失成本，但依然抬高了總成本；TRA2假設一臺設備故障即導致整個系統停機，其得到的解雖然有較低的cd，但因過高估計了隨機故障的影響，預防性維護成本大大增加，使總成本增加。綜上，本文模型考慮系統產出率及停機生產損失更貼近實際，且比傳統模型解的總成本更低。

3.2 參數敏感性分析

從圖4(a)中可以看出當Areq不大于0.92時，Areq對總成本幾乎沒有影響，這是因為在目標函數中考慮了生產停機損失成本，系統產出率過低則生產停機損失成本也會上升，因此優化解需滿足一定系統產出率；而當要求的系統產出率從0.92上升到0.94時，對設備的可靠性要求更為嚴格，預防性維護成本增加，預防性維護后壽命損失成本也隨之增加，雖小修成本及生產停機損失成本略有下降，但總成本仍顯著上升；由于存在設備故障與維護，系統產出率幾乎不可能達到100%，當需求產出率大于0.94時，未搜索到可行解。

圖4(b)反映了在其余參數均不變的情況下，生產停機損失成本及總成本隨單位時間產出V的增加呈遞增趨勢，預防性維護成本在V為1～3千元時隨V緩慢上升，隨后趨于平緩，對應小修成本先略有下降后趨于平緩，說明在V較小時，預防性維護隨著V的增加而略有增多，而當V增大到一定數值時將不再影響預防性維護決策。圖4(c)與圖4(b)類似，生產停機損失成本及總成本隨設備小修時間的增加而增加，當小修時間增大到一定程度時，將不再影響預防性維護決策。

表2 不同數據規模下本文算法與傳統算法的成本比較

圖4 不同參數與總成本的關系圖Fig.4 Diagram of different parameters and total cost

4 結論

本文研究了多設備串聯生產系統預防性維護計劃優化問題。

1)考慮串聯系統的“一停不停”因素，綜合分析各種成本構成，可使得企業總成本更低；

2)在與傳統模型相比較的算例以及敏感性分析的算例中，未發現異常值，驗證了模型與算法的有效性；

3)模型不僅考慮維護/換新成本、故障小修成本，還引入了維護/換新造成的設備剩余價值損失成本以及實際生產停機損失成本；

4)考慮“一停不停”的假設與系統產出率約束，更加符合車間實際，同時也使得數學模型在理論上更加復雜，因此設計了基于蒙特卡洛抽樣的遺傳算法進行優化求解；

5)未來研究可以從實時反應策略著手，以機器故障所產生的生產停機時間作為可能的維護機會對設備進行更加科學合理的預防性維護安排。

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Modeling and optimization of preventive maintenance scheduling for series production systems

LU Zhiqiang1, ZHAO Chanyuan1, CUI Weiwei2

(1. College of Mechanical and Energy Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China; 2. Department of Industrial Engineering and Logistics Management, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

A maintenance replacement scheduling model was proposed on the basis of equipment service age with the aim of minimizing the total maintenance-related cost for a multi-unit series production system with immediate buffers. Shutdown loss caused by breakdown, maintenance, or machine starvation was analyzed. Based on the Monte-Carlo simulation method, the genetic algorithm was applied for optimization of the solution. The comprehensive cost increases with increase in productivity demand, output per unit time, and minor repair time. For a system with 15 machines, the comprehensive cost is 55.9% of the traditional total cost.

multi-unit series system; shutdown loss; preventive maintenance; Monte-Carlo method; genetic algorithm

2015-11-17.

日期：2016-11-14.

國家自然科學基金項目(61473211,71171130).

陸志強(1968-)，男，教授，博士生導師.

陸志強，E-mail: zhiqianglu@tongji.edu.cn.

10.11990/jheu.201511036

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161114.1036.014.html

TH17

A

1006-7043(2017)02-0269-07

陸志強，趙嬋媛，崔維偉，等. 串聯生產系統預防性維護計劃建模與優化[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017, 38(2): 269-275. LU Zhiqiang, ZHAO Chanyuan, CUI Weiwei， et al. Modeling and optimization of preventive maintenance scheduling for series production systems[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(2): 269-275.