裂隙巖樣端面的分形維數計算

王興宏

(中煤科工集團重慶設計研究院有限公司， 重慶 400042)

裂隙巖樣端面的分形維數計算

王興宏

(中煤科工集團重慶設計研究院有限公司， 重慶 400042)

為了定量描述試樣端面裂隙的發育程度，基于網格盒子法，計算得出了試樣端面裂隙的分形維數，并使用MTS815巖石多功能試驗機測試裂隙巖樣的滲透系數，通過試樣的分形維數及試驗測試結果對比發現：試樣裂隙越發育，計算出的分形維數越大，且通過試驗測試的滲透系數也越大；同時,試樣受荷載循環加載次數的增大，分形維數對試樣的滲透系數影響越小。

裂隙巖體；分形維數；滲透系數

0 引 言

分形幾何學是Mandelbrot在20世紀70年提出來的，隨著分形理論的發展，特別是在自然科學中有著廣泛的應用。目前，國內很多學者對分形理論在巖石力學及流體力學中的應用進行了研究，謝和平[1]講述了分形幾何學在巖土力學中的應用；張彥洪[2]從滲流的角度出發，對巖體裂隙網絡運用分形理論分析，提出了計算巖體結構面信息維數的計算方法，并建立了信息維數與滲透系數的關系；馮增朝[3]基于巖體裂隙的分形規律，研究了其單軸抗壓強度與分形維數的關系；陳尚星[4]以土裂隙的分布規律為研究基礎，得出分形維數是評價裂隙發育程度的綜合指標；王維華[5]基于分形理論定量裂隙演化規律，建立了裂隙變化量化參數之間的關系；李宏艷[6]基于分形理論定量描述采動影響區覆巖裂隙時空演化規律；張永波[7]利用相似材料模擬采動巖體裂隙，同時采用分形幾何理論來研究采空區巖體裂隙分布的分形規律。

巖土工程中的巖體存在大量的裂隙，有的發育短，有的發育長，這些通過肉眼可以明顯辨別出來，但沒法對其進行定量，因此，本文采用分形理論對巖體裂隙的發育程度進行定量描述，通過對標準裂隙巖樣進行滲透試驗，計算出裂隙巖樣的滲透系數，揭示了裂隙巖樣的分形維數與滲透系數的關系。

1 巖樣分形維數的計算方法

本次試樣尺寸為Φ50 mm×100 mm，為了符合本次實驗的研究要求，選取了3個裂隙比較發育的試件，本實驗在MTS815巖石多功能試驗機上進行，對巖樣M01、M02、M03進行軸壓為6，8 MPa下不同圍壓的滲透系數測試。

網格盒子法適用于對巖體斷裂、地質斷層等此類分形特征的計算，是把同等尺寸的正方形小網格作為覆蓋分形體的盒子。如圖1所示,從小到大變化，當δi分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10時，對應尺寸δi計算出覆蓋裂隙的盒子數目N(δi)，對(logδi-1， log(N(δi)))數組的散點圖，使用最小二乘法進行直線擬合，求出該直線的斜率，即為所計算分形體的分形維數。

圖1 不同測量尺度測量被測裂隙模型

2 巖樣分形維數的計算及其結果

本次分形維數的計算對象為巖樣端面裂隙，由于其為二維裂隙平面，故用網格盒子法進行計算。采用AutoCAD對巖樣端面按等尺寸大小進行素描(見圖2)，以巖樣M02為例，按以下步驟進行計算。

圖2 被測裂隙模型

(1) 確定分形所用盒子邊長尺寸，即測量尺度δi。測量尺度δi分別取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 mm。

(2) 分別計算出測量尺度δi分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 mm覆蓋下的裂隙盒子數目N(δi)，不同測量尺度下的覆蓋盒子數目見表1。

表1 不同測量尺度下覆蓋盒子數目

(3) 對數據組(logδi-1， log(N(δi)))(i=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)進行最小二乘擬合。其計算公式見式(1)。

(1)

式中，n為10；α、β為擬合參數。

(4) 擬合曲線的斜率β為覆蓋體所測分形維數。通過計算，巖樣M02(上)端面裂隙的分形維數為1.10087，其擬合曲線相關系數0.98229，表明擬合曲線具有較高的擬合度，能很好地反映數據點分布規律。表2為不同巖樣端面分形維數。

由表3可知，對比巖樣M02(上)與M02(下)，前者裂隙發育程度明顯較后者高，計算出的分形維數也可得到驗證，當裂隙發育程度對比相差不明顯時，通過計算分形維數可以得出相關結果，同理對比分析巖樣M07和M12，亦可得到相同的分析結果。

3 巖樣分形維數與滲透系數的關系

由圖3可知，對試樣施加軸壓6 MPa，隨圍壓增大，滲透系數不斷減少；通過巖樣M02、M07、M012三者滲透系數的對比，可明顯判別出三者之間的滲透系數關系：M02

表3 不同巖樣端面的裂隙分布情況

圖3 軸壓6 MPa作用下的滲透系數-圍壓曲線

由圖4可知，對試樣施加軸壓8 MPa，隨圍壓的增大，滲透系數不斷減少；通過巖樣M02、M07、M12三者滲透系數的對比，可知三者滲透系數大小相差不大，且幾乎不受巖樣裂隙分形維數大小的影響，即裂隙的發育程度；根據裂隙閉合機制[8]，隨試樣受荷載循環加載次數增加，裂隙張開度減少，且會逐漸趨于穩定值，且該值很小，因而三者之間的滲透系數很小且比較接近。

由以上可知，當巖樣隙寬相等時，裂隙分形維數較大的滲透系數也較大，當裂隙隙寬基本相等時，分形維數基本可以作為衡量巖石滲透系數相對大小的指標。

4 結 論

巖土工程中巖體存在大量的裂隙，為了定量描述試樣端面裂隙的發育程度，本文基于網格盒子法，得出了試樣端面裂隙的分形維數，并使用MTS815巖石多功能試驗機測試裂隙巖樣的滲透系數，試樣的分形維數及試驗測試結果表明，試樣裂隙越發育，計算出的分形維數越大，且通過試驗測試的滲透系數也越大；同時，試樣受荷載循環加載次數的增大，分形維數對試樣的滲透系數影響越小。

[1]謝和平.分形幾何及其在巖土力學中的應用[J].巖土工程學報,1992(01):14-24.

[2]張彥洪,柴軍瑞.考慮滲流特性的巖體結構面分形特性研究[J].巖石力學與工程學報,2009,28(S2):3423-3429.

[3]馮增朝,趙陽升.巖體裂隙分維數與巖體強度的相關性研究[J].巖石力學與工程學報,2003(S1):2180-2182.

[4]陳尚星.基于分形理論的土體裂隙網絡研究[D].南京：河海大學,2006.

[5]王維華.基于分形理論的采動覆巖裂隙滲透規律研究[J].煤炭技術,2015,34(09):208-211.

[6]李宏艷,王維華,齊慶新,等.基于分形理論的采動裂隙時空演化規律研究[J].煤炭學報,2014(06):1023-1030.

[7]栗東平,周宏偉,薛東杰,等.煤巖體采動裂隙網絡的逾滲與分形特征關系研究[J].巖土力學,2015(04):1135-1140.

[8]郭保華,李小軍,蘇承東.巖石裂隙法向循環加載本構關系試驗研究[J].巖石力學與工程學報,2012(S1):2973-2980.(收稿日期：2016-10-12)