一種光學元件表面中頻誤差提取的新方法*

任志英， 林有希， 黃健萌， 肖維軍， 高誠輝

(1.福州大學機械工程及自動化學院 福州，350108) (2.福建福光股份有限公司 福州， 350015)

一種光學元件表面中頻誤差提取的新方法*

任志英1， 林有希1， 黃健萌1， 肖維軍2， 高誠輝1

(1.福州大學機械工程及自動化學院 福州，350108) (2.福建福光股份有限公司 福州， 350015)

光學元件表面面形誤差屬于非平穩空間信號，為了在分離光學元件表面各頻段面形誤差的同時盡可能保留原始信號各頻段的細節特征，結合超精密拋光的球面光學元件表面特點，提出一種基于雙樹復小波變換(dual tree complex wavelet transform，簡稱DT-CWT)的自適應分離法。利用DT-CWT的多分辨分析、方向性好和良好的時頻局部化分析能力等特點，對實測的拋光光學元件表面進行DT-CWT的多尺度分解，并在重構時加入自適應影響因子，成功分離了各頻段的面形誤差。通過對經DT-CWT直接分離法與DT-CWT自適應分離法得到的高、中、低頻面形誤差進行參數表征， 實驗證明基于DT-CWT自適應分離法更為有效地分離光學元件各個頻段的面形誤差及誤差特征，便于后續的識別與評定工作。

光學元件； 面形誤差； 雙樹復小波變換； 自適應分離； 參數表征

引 言

光學元件在紫外和x射線光學以及高功率激光損傷閾值等領域的應用越加廣泛與頻繁[1]，因此對于光學元件表面質量也提出了更高的要求。表面質量影響因素除了光學元件自身材料外，主要是光學元件在機加工過程中殘留的面形誤差，它分為3種，即屬于高頻段面形誤差的表面粗糙度、屬于中頻段面形誤差的表面波紋度和屬于低頻段面形誤差的幾何輪廓形位誤差。這些面形誤差對光束的調制作用會嚴重影響光束質量。因此在光學元件表面質量評定中對各頻段面形誤差的正確提取是一個關鍵環節，其目標是在保持原有信號細節的基礎上最大限度地分離開高、中、低頻信號。目前，國內外學者做了不少研究。文獻[2]從光學元件表面屬于非平穩空間信號的角度出發，提出了基于經驗模態分解的精密光學表面中頻誤差提取和識別方法。文獻[3]通過理論分析Winger分布函數與功率譜密度之間的關系，得到了局部波前畸變的評價方法和指標。這些方法對高、中、低頻段分離沒有嚴格區分，導致各個頻段范圍內的成分不能完全分離，特別是中頻信號的分離，一些屬于中頻段的重要信息隱藏到其他頻段中，最終使中頻的細節特征變得模糊。這將為后續的評價帶來誤差，甚至可能得到錯誤的結論。另一方面，中頻信號是數控小刀具在拋光過程中留下的一些波紋，其受到加工溫度、刀具及拋光液等影響，屬于非平穩空間信號。

雙樹復小波變換因具有多分辨分析、近似平移不變性和方向性好等優點，是分析非平穩信號強有力的工具，目前已在圖像去噪[4]、圖像紋理提取[5]和圖像加強[6]等方面取得了成功應用。因此，筆者利用DT-CWT對光學元件表面形貌進行多尺度分解，同時通過引入自適應系數對各個尺度下的高中低頻進行分解與重構得到各頻段面形誤差。并對各頻段面形誤差進行參數表征，證實了該方法可以有效分離出高、中、低各頻段成分。

1 光學元件表面形貌測量與表征

1.1 實驗設備

實驗采用美國 KLA-Tencor公司的MicroXam -100型光學輪廓儀對拋光球面光學元件表面進行掃描。MicroXam-100型光學輪廓儀是一種全功能非接觸白光移相干涉儀，最小采樣間距為0.078 μm，測量最大量程為100 mm，分辨率為0.01 nm。實驗設備示意圖及實驗光學元件樣品如圖1和圖2所示。

圖1 實驗設備示意圖Fig.1 The schematic diagram of experimental equipment

圖2 光學元件樣品Fig.2 The optical components sample

1.2 實驗規則與實際檢測曲線

球面光學元件常采用子午線來確定光學元件的面形，子午線影響鏡片的焦斑、像散以及屈光度等光學性能[2]。對拋光光學元件的子午線進行測量，其中測量參數如表1所示，測量得到的曲線如圖3所示。

表1 測量參數

圖3 拋光光學元件子午線測量曲線Fig.3 Meridian measurement curve of the polishing optical element

1.3 各頻段面形誤差數學建模及參數表征

光學元件表面信號f(xi)分為低頻、中頻和高頻面形誤差，建立以下數學模型

f(xi)=h1(xi)+h2(xi)+h3(xi)

(1)

其中：h3(xi)為低頻分量；h2(xi)為中頻分量；h1(xi)為高頻分量。

目前，光學元件表面質量各波段評價分析受到足夠的重視，對于低頻段面形誤差的評價主要采用波前梯度均方根(gradient root mean square，簡稱GRMS)值作為指標來表征低頻相位畸變的大小[7]。張穎等[8]通過理論分析，對GRMS值的求解提出修正并推導修正后GRMS值與焦斑尺寸的解析式。文獻[9-10]利用功率譜密度(power spectral density，簡稱PSD)與焦斑旁瓣具有非常好的相似性，仿真分析設計具有焦斑旁瓣要求的光學元件對中頻段波前面形指標。萬敏等[11]定量分析了光學元件面形誤差各參數(幅度、類型、空間尺度和空間分布等)對光束質量的影響，得出在初始設計中需要對高頻誤差規定更嚴格的容差。文獻[12]基于經典標量衍射理論分析了中高頻誤差對環圍能量比的影響，得出了環圍能量比隨著中高頻誤差GRMS的增加近似呈指數規律衰減，并且隨著中高頻誤差的增大，能量轉移曲線出現反復振蕩。

結合當前國內外光學元件面形參數的表征狀況，筆者選取不同參數對光學元件各波段面形誤差進行表征。對于低頻段面形誤差的幾何輪廓形位誤差，波前位相梯度被認為是與系統聚焦能力聯系最密切的參數，其值越小，焦斑尺寸越集中，說明光學元件低頻面形精度越高。因此采用GRMS值作為指標來表征低頻相位畸變的大小[7]，其公式為

(2)

其中：h3(x)為采樣點低頻段面形誤差高度值。

對中頻段面形誤差的表面波紋度，采用采樣長度的偏斜度(Sk)參數進行表征，Sk反映了在采樣長度內面形誤差曲線對于基準線的對稱性。當Sk接近于0時，說明曲線高度存在對稱分布，間接反映了拋光加工工藝情況。偏斜度公式為

(3)

其中：Ra為中頻段面形誤差的粗糙度均方根；h2(x)為中頻段面形誤差的高度值。

對高頻段面形誤差的粗糙度，采用均方根(root mean square，簡稱RMS)參數進行表征。隨著粗糙度RMS值的減少，其表面散射傳遞函數曲線所圍的面積越大，光學零件信息容量越大，成像效果越好[13]。RMS公式為

(4)

其中：h1(x)為采樣點高頻段面形誤差高度值。

2 DT-CWT自適應誤差分離理論

2.1 DT-CWT自適應基本理論

DT-CWT理論由Kingsbury首次提出[14]，Selesnick等[15]進一步提出了DT-CWT的分解與重構算法，其分解與重構所設計的濾波器滿足有限支撐、完全重構條件、近似的半幀移以及對稱性等條件，較好地解決了實離散小波變換的平移改變性以及方向性有限的缺點，并且DT-CWT保持著實離散小波變換多分辨分析和良好時頻局部化分析能力等優點。DT-CWT完全可以對非平穩隨機信號進行分解，其函數公式[14]為

(5)

其中：s=(s1,s2),aJ,L和dJ,L分別為信號的光滑與細節部分；B= {±15°，±45°，±75°}；J為最粗糙的分解層；L為細節的分解層；φJ,L為尺度函數；ψJ,L為小波函數。

DT-CWT對任意非平穩隨機信號進行分解，得到多尺度下高低頻小波系數。根據目前傳統小波理論，主要針對各尺度進行系數重構最終得到目標信號；然而目標信號不一定完全符合理想的目標信號，可能存在一些信息在另一個頻段信號中。為改善這一情況，筆者通過在各層尺度重構中加入一個自適應影響因子tj,j=1,2,…,n進行自適應處理，即當處于不同頻段界限時，通過自適應調整，保證重構得到的信號接近于理想目標信號。

2.2 光學元件表面面形誤差分類

美國勞倫斯·利弗莫爾實驗室在研制國家點火設施(national ignition facility project，簡稱NIF)[16-17]過程中對空間波長進行光學表面面形誤差分類，并得到了認可，如表2所示。

表2 光學元件表面面形誤差分類

將采集信號經DT-CWT分解，重構得到多尺度下高頻誤差信號。重構得到的信號瞬時頻率具有重要的實際物理意義[18]，高頻誤差信號h1(x)瞬時頻率為

(6)

其離散形式為

(7)

其中：Δx為采樣間距。

瞬時頻率的平均值為

(8)

多尺度下重構得到高頻誤差平均波長為

(9)

2.3 DT-CWT自適應分離光學元件表面面形誤差

任意采集光學元件表面信號，對其進行DT-CWT自適應分解高、中、低頻面形誤差基本流程如圖4所示，具體步驟如下。

圖4 DT-CWT自適應分離光學表面面形誤差流程圖Fig.4 DT-CWT adaptive optical surfaces separating surface error chart

1) 設定高頻系數自適應影響因子tj,j=1,2,…,n并將其全部置“1”處理；

2) 將原始表面信號f(xi)進行DT-CWT的n層分解，得到最底層的低頻系數dn(xi)以及各層的高頻系數cj(xi),j=1,2,…,n；

3) 對分解得到具有細節信號的高頻系數cj(x)進行重構得到

(10)

4) 將具有細節信號的高頻系數cj(x)全部置零處理，并對低頻系數進行信號的重構h3(x)，記作

h3(xi)=IDTCWTdn(xi)

(11)

5) 對得到的信號h1(x)進行瞬時頻率計算與平均波長λi計算，如果λi<0.12 mm，改變第n層高頻系數自適應影響因子tj，重復上面的步驟2～4，直到λi=0.12 mm結束循環。

6) 分離中頻面形誤差，公式為

h2(xi)=f(xi)-h1(xi)-h3(xi)

(12)

3 實驗結果與分析

3.1DT-CWT自適應分離光學元件表面面形誤差

對圖3測量的拋光球面光學元件子午線數據進行DT-CWT多尺度分解，得到多尺度分解下高頻系數與低頻系數重構后的面形誤差，如圖5所示。同時分別對高頻系數面形誤差進行瞬時頻率與平均波長的計算，得到多尺度分解下高頻系數重構面形誤差平均波長，如表3所示。

圖5 高頻系數與低頻系數重構得到的面形誤差Fig.5 The surface shape error obtained by reconstructing the high-frequency and low-frequency coefficients

表3 多尺度分解下高頻系數重構面形誤差平均波長

Tab.3 Mean wavelength of the surface shape error obtained by reconstructing the high-frequency coefficients under multi-scale decomposition mm

分解層平均波長第1層0.0031第2層0.0088第3層0.0228第4層0.0484第5層0.1152第6層0.2488

由圖5看出，隨著分解尺度的增加，低頻系數重構面形誤差變化微小，而高頻系數重構面形誤差變化較大。結合表3可知，當分解尺度在第5層時，其波長在界定范圍的邊緣波長區域。當分解尺度到達第6層時，第6層高頻系數重構的面形誤差已出現了實際屬于中頻波紋度面形誤差，說明其高頻系數包含一定的中頻波紋度誤差成分，采用DT-CWT直接分離法存在分離不徹底現象，對于后續的表征將存在影響?，F在通過改變多尺度下第5層及后面層數的自適應系數，調整DT-CWT分解尺度下的系數比例，得到經過自適應多尺度分解高頻系數重構面形誤差的平均波長，如表4所示。

表4 自適應多尺度分解高頻系數重構面形平均波長

Tab.4 Mean wavelength of the surface shape error obtained by reconstructing the high-frequency coefficients under multi-scale decomposition mm

分解層平均波長第1層0.0031第2層0.0088第3層0.0228第4層0.0484第5層0.1152第6層(自適應處理)0.1200第7層0.3621

從表4可看出，經過自適應處理完第6層高頻系數重構面形誤差平均波長恰好等于0.12mm。故將前5層高頻系數進行重構得到高頻段面形誤差，對第6層及以上高頻系數進行重構得到中頻段面形誤差，同時用DT-CWT提取低頻系數并重構得到低頻段面形誤差，最后得到各頻段面形誤差，如圖6所示。為能更好地說明該方法的優越性，將DT-CWT直接分離法與DT-CWT自適應分離法分別計算各頻段面形誤差平均波長，如表5所示。拋光光學表面DT-CWT自適應分離各頻段面形誤差如圖6所示。用DT-CWT直接分離法對高、中、低頻面形誤差進行重構，如圖7所示。

表5 拋光光學表面各頻段實際面形誤差平均波長

圖6 拋光光學表面DT-CWT自適應分離各頻段面形誤差Fig.6 The surface shape error of the polishing optical surface by DT-CWT adaptive separation

圖7 拋光光學表面DT-CWT直接分離各頻段面形誤差Fig.7 The surface shape error of the polishing optical surface by DT-CWT direct separation

從表5看出，基于DT-CWT自適應分離法得到的中頻面形誤差平均波長剛好為0.12 mm，實現了將光學元件表面的高頻與中頻面形誤差完全分離。對比圖7，發現圖6中得到的中頻面形誤差曲線包含的信息較多，能最大限度反映原始信號本身的性質，有利于加工特征識別及表面參數評定。

3.2 拋光光學元件面形誤差的參數評定

若不能完全將面形誤差進行分離，將造成本屬于該頻段的信息缺失，給后續表征結果帶來一定的誤差，甚至給出錯誤的評價結論。分別對DT-CWT直接分離法與DT- CWT自適應分離法獲得的各頻段面形誤差進行參數表征，如表6所示。

表6 拋光光學元件表面各頻段實際面形誤差參數表征

從表6可以看到，兩種方法最終得到的中頻和高頻面形誤差參數評定也存在一定的誤差，與圖6和圖7呈現的區別保持一致。結合DT-CWT自適應分離法得到的面形誤差圖和表征參數值進行實測拋光光學元件表面質量的評定，發現：圖6(a)中低頻分量面形誤差的波前梯度均方根趨近于0，焦斑尺寸較為集中；圖6(b)中頻面形誤差分量整理高度值較為對稱，但計算得出采樣長度的偏斜度略小于0，說明該拋光工藝存在一定缺陷，如拋光液溶度不夠均勻，可以經過一定的改進與實驗得到最佳加工工藝，使采樣長度的偏斜度越加接近于0；高頻分量面形誤差的均方根值較小，且從圖6(c)高頻面形誤差圖可以看出改曲線上的高度值對稱度較高，無局部缺陷現象出現。

4 結 論

1) 對實際的拋光光學元件表面子午線進行DT-CWT多尺度分解，通過計算多尺度分解得到高頻系數重構面形誤差的瞬時頻率，進而得到平均波長。引入自適應系數，使DT-CWT具有搜索目標的能力，最終實現光學元件高中低頻面形誤差的精確分離。實驗結果證明，采用DT-CWT自適應方法得到的中頻面形誤差所包涵的信息比采用DT-CWT直接分離法得到的中頻誤差所包含的信號更全面，便于中頻誤差的缺陷識別，以指導實際加工工藝。

2) 通過比較兩種方法得到的面形誤差并進行參數評定，得出DT-CWT直接分離法與DT-CWT自適應分離法所得表征參數值存在一定區別，說明了在進行實際面形誤差分離時，能否完全分離高、中、低頻面形誤差將對后續的表征與評價產生一定的影響。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.01.017

*國家自然科學基金資助項目(51375094)；福建省自然科學基金資助項目(2015J01195)；清華大學摩擦學國家重點實驗室開放基金資助項目(SKLTKF13B02)；福州市科技局資助項目(2014-G-74)；福州大學人才基金資助項目(XRC-1576)

2015-07-17；

2015-08-15

TG58； TH161

任志英，女，1980年1月生，博士、副教授。主要研究方向為摩擦學中表面表征、信號特征提取及振動測試等。 E-mail: renzyrose@126.com 通信作者簡介：高誠輝，男，1953年9月生，教授、博士生導師。主要研究方向為摩擦學及數字化制造等。 E-mail: gch@fzu.edu.cn