恒速狀態移動質量作用的柔性梁最優振動控制*

劉驍驍, 任興民, 陳 虎, 楊永峰, 鄧旺群, 任建亭

(1.西北工業大學力學與土木建筑學院 西安,710129) (2.中國航空動力機械研究所 株洲,412002)

恒速狀態移動質量作用的柔性梁最優振動控制*

劉驍驍1, 任興民1, 陳 虎1, 楊永峰1, 鄧旺群2, 任建亭1

(1.西北工業大學力學與土木建筑學院 西安,710129) (2.中國航空動力機械研究所 株洲,412002)

針對恒速狀態移動質量作用下柔性梁的最優振動控制方案進行研究分析。根據柔性梁振動理論，考慮移動質量與柔性梁彈性振動之間的耦合作用，建立移動質量-柔性梁時變系統的振動方程。當移動質量剛好離開梁時給出終端時刻點，超越終端時刻的梁作自動振動，建立時不變系統的振動方程。若將以往適用時不變系統的最優控制方法應用于時變系統，會導致次優化效果。為此，采用多種控制設計方法對系統的振動響應進行抑制，討論不同控制方案的優缺性。數值結果表明：對于特定的作動器位置，有必要采用具有時變特征的控制方法替代時不變控制方法；相比時變控制方法，采用狀態相關的黎卡提方程(state-dependent riccati equation, 簡稱SDRE)控制方法得到的性能指標最優；基于增廣矩陣的線性二次型調節器(linear quadratic regulator,簡稱LQR)邊界控制效果優于bang-bang控制，前者控制策略得到的性能指標最優。

移動質量； 柔性梁； 振動； 最優控制； 時變系統； 終端時刻

引 言

隨著尺寸和重量限制的加強，舒適性和安全性又難以同時達到滿足要求的情況下，柔性結構的振動控制受到越來越多的關注。控制設計方法通常希望能夠表征特定加載條件下結構的動態行為。已有大量工作針對柔性結構的不同控制方法及控制方案的可行性進行了研究[1-3]。常見的有模態控制方法[4]、基于線性二次型控制方法[5]、適用于對稱和非對稱系統的極點重置和極點相消算法[6-7]以及考慮系統不確定性的魯棒控制[8]。Deng等[9]提出將基于在線識別的模態控制方法運用于時變系統，并將已識別模態用于控制器的設計。

基于設計的線性二次型控制方法應用較為普遍， 文獻[10]指出該方法容易降低對峰值響應的抑制效果，研究了bang-bang控制器的適用性。Bang-bang開關控制只需提供極值控制力，相比隨著狀態變化的線性二次型控制器，該方法更具速效性。實際上，修正的線性二次型控制準則有利于諸多目標的控制。Kim等[11]提出基于設計的二次型性能指標。針對最優控制問題，文獻[12]提出了非二次型性能指標。

移動質量/荷載作用于梁是柔性結構控制中的一種特殊例子，通常該類問題的研究有據可循。對于車輛通過橋梁或彈丸離開身管的過程，國內學者將其簡化為移動質量-梁模型進行分析[13-14]。在支撐結構的特定方面，提出的某些減振方案是被動的[15-16]，但理論模型要求具有廣泛的實際應用。一般基礎性的移動-載荷問題可參見文獻[17]。Sung[18]采用兩個壓電作動器對移動質量作用下梁的振動進行控制，最優二次型指標泛函的最小值決定兩作動器的不同位置。基于二次型性能指標的梁-移動質量控制問題參見文獻[19]，文獻中假定位移-速度反饋控制器的狀態變量具有完備信息，并基于時變矩陣的代數黎卡提方程設計該控制器。文獻[20]基于相同的性能指標，設計一組恒定增益狀態反饋控制器，使彈性基礎梁的橫向撓度趨于最小化。文獻[21]采用具有功率流的主動控制器對移動載荷-梁的響應進行抑制。基于時不變黎卡提矩陣，Mofid等[22]研究了帶有壓電-陶瓷作動器的多移動質量-梁最優控制問題。

對于基礎性的動力系統控制問題可分為兩個子問題：a.當移動質量在梁上運動時，是與持續時間對應的時變系統；b.移動質量離開梁后的時不變系統。相比其他結構控制問題，移動質量-梁系統的第1子問題可使最優控制理論更容易應用。盡管該運動方程具有時變系數，但仍有線性優勢，該方法的另一優勢存在著移動質量離開梁時的終端時刻。Naidu[23]指出此類最優問題可轉化為固定的終端時刻問題。由于現有作動裝備的局限性，文獻[24]認為對控制力的幅值應考慮約束條件。需要強調的是，一旦定義最優控制問題，則最優方案僅關于性能指標最優，但也許不是結構工程師尋找的最優方案。例如，線性二次型指標在輸出理論上強調控制的重要性，但通常預先確定恒定增益矩陣，控制過程中可能考慮不到動力解決方案的所有方面；對于移動質量-梁問題，若控制工程師對梁中跨響應感興趣，當移動質量接近中跨時，會考慮采用能夠提高控制效果的時變性能指標；當移動質量在作動點上方運動時，可考慮采用降低或增強控制作用的性能指標。

對于一般基礎性的移動質量-梁問題，普遍考慮時不變控制問題，筆者則針對存在的兩類子問題進行研究。基于時變系統的狀態空間方程，定義最優控制問題，將其轉化為時變線性二次型問題，給出同時考慮狀態變量和控制變量的二次型性能指標泛函，分析一系列最優控制方法。將這些方法應用于上述子問題，控制目標定義為梁中跨撓度的最小值，通過控制目標，對比幾種時變最優控制方案的優缺性，尋求關于性能指標最優的控制策略并盡可能接近最優理論解。

1 理論方法

1.1 線性系統的最優控制

對于受控的線性結構系統，時變狀態空間方程及給定的初始狀態為

(1)

其中：F(t)為輸入力向量。

當處理移動質量作用下柔性梁的控制問題時，控制目標定義為特定位置下支承結構的中跨撓度最小值。此外，由于實際的控制解決方案存在局限性，需對控制變量U(t)進行約束，即|U(t)|≤U。若系統輸出為y(t)=C(t)Z(t)，上述最優控制問題可轉化為時變線性二次型問題，即同時考慮狀態變量與控制變量的二次型性能指標函數為

(2)

基于極小值原理[25]，采用哈密頓函數確定最優控制問題。最優條件為

U(t)BT(t)λ*(t)≥U*(t)BT(t)λ*(t)

(3)

其中：λ*(t)為共態變量。

若區間[0,tf]內不存在函數λ*(t)B(t)=0的子區間，則對于最優控制問題，可尋求m維有界閉集中的最優控制u*(t)，滿足不等式約束

|Ui(t)|≤U

(4)

應用極小值原理，最優控制問題可轉化為時間最優控制問題，即bang-bang控制函數為

U*(t) = -Usign(BT(t)λ*(t))

(5)

同時可得極值必要條件及邊界條件為

根據式(5)～(7)，求得最優控制力?U。bang-bang控制的優點在于可直接使用被要求的最大控制力，可能會對振動響應產生較好的控制效果。

當控制變量受Umin≤U≤Umax約束時，可使性能指標(2)達到最小控制力的表達式為

(8)

若控制變量無約束，與哈密頓函數相聯系的線性系統(1)關于控制變量逐點可微，最優條件為

(9)

1.2 線性二次型調節器(LQR算法)

當控制變量滿足二次型性能指標(2)且無約束條件時，控制力在狀態變量Z(t)中為線性的

U(t)=-G(t)Z(t)=-R-1BTP(t)Z(t)

(10)

矩陣P(t)可通過黎卡提方程獲得

(11)

給定邊界條件為P(tf)=S。該方法的優點允許控制通過狀態反饋函數表示，并將系統從開環控制系統轉向閉環控制系統。狀態系統空間方程(8)可表示為

(12)

其中:F(t)包含了輸入擾動或外部作用力。

黎卡提方程可進行離線求解。采用該方法可考慮時變模態力，并計算隨時間變化的狀態變量Z(t)。

若控制變量U(t)受不等式|U(t)|≤U約束時，式(8)中λ(t)=P(t)Z(t)，進而基于LQR算法求解具有控制變量約束的狀態空間方程。

1.3 狀態相關的黎卡提方程

狀態相關的黎卡提方程是一種在線計算控制函數的方法[19]，可應用在擬線性形式下的非線性系統

式(13)通過狀態反饋控制法則確定，每一時間步ti的控制函數為

U(ti)=-G(ti)Z(t)=-R-1BT(ti)P(ti)Z(t) (14)

P(ti)可通過狀態相關的黎卡提方程在每一時間步ti上求解并不斷在線更新

PA(ti)+A(ti)TP-PB(ti)R-1BT(ti)P+Q=0

(15)

2 移動質量-梁系統的最優振動控制

考慮移動質量-梁系統的最優振動控制問題時，系統的動力相互作用可在模態坐標中進行，其中動力系統為時變系統。應用以往時不變控制方法將會得到次優化控制效果，盡管控制效果有所提高。該情況下采用適當的性能指標合成時變最優方案體現出一定的優勢，可讓控制工程師了解何種方案接近最優。文中給定終端時間tf=L/v，提出解決時變最優控制問題的方案。外部激勵函數與移動質量m和移動速度v相關，通過狀態空間方程體現。

2.1 移動質量-梁耦合系統的運動微分方程

假設任意時間t內(t∈[0,tf])有一移動質量m以恒等速度v在長度為L的梁上從左至右運行。假定無接觸耗損，采用歐拉-伯努利理論獲得耦合系統的運動微分方程為

(16)

其中:EI為梁的抗彎剛度；ρ為梁的單位長度質量密度；A為梁的截面面積；δ為Dirac函數；g為重力加速度；c為阻尼系數。

選取梁的振型函數作為模態函數，采用模態疊加法對式(16)進行坐標變換，變換形式為

w(x,t)=ΦT(x)q(t)

(17)

其中：Φ(x)為模態形狀函數向量；q(t)為模態坐標向量。

將式(17)代入式(16)進行模態展開，將得到的等式兩端分別乘以Φ(x)并沿0到L積分，最終的微分方程寫成矩陣形式為

(18)

式(18)表示具有時變矩陣系數的一種動力耦合系統。其中:M(t)=M+ΔM(t)；C(t)=C+ΔC(t)；K(t)=K+ΔK(t);假定t≤0時系統是靜止的。

M,C和K為時不變矩陣，分別定義為

時變矩陣系數ΔM(t)，ΔC(t)及ΔK(t)分別為

當移動質量離開梁末端時，即t>tf，梁作自由振動，其動力系統方程為

(21)

2.2 移動質量-梁耦合系統的最優控制問題

移動質量作用下梁的最優振動控制問題可劃分為兩個子問題：a.當質量在梁上移動時，控制問題為一時變最優問題，用給定的終端時間確定，并采用最優控制方法；b.當質量離開梁末端時，控制問題為一自由振動的時不變最優控制問題，亦可采用LQR算法等控制方法解決該類問題。筆者給出的控制目標為移動質量作用下梁的中跨撓度最小值。若將k個控制器安裝在梁上指定的坐標位置xr1,xr2,…,xrk，給定t≤tf條件的受控系統動力方程為

(22)

其中：Φ(xri)Ui可對式(22)起控制作用。

時變矩陣B(t)與作動器的位置相關，不僅影響設計過程，同時對系統的可控性產生一定的影響。此外，對撓度響應的控制需權重矩陣Q和R，Q和R的選取有時會影響控制力U(t)，從而影響對振動的控制效果。當控制準則確定，移動質量問題的另一特殊性可以考慮激振力mgΦ(vt)，則式(23)可增廣為

3 數值算例

為評估二次型性能指標及其對結構最優問題的適用性，將最優控制方法應用在恒速狀態移動質量作用的單跨簡支梁上，通過理論驗證是否可使撓度響應最小化。車-橋系統及彈-炮系統等均可簡化為移動質量-梁模型[13-14,26]。幾何尺寸和動力特征為：梁跨度L=1 m，抗彎剛度EI=3.68 Nm2,單位長度質量ρA=0.22 kg/m，阻尼系數c=1.6,移動質量m=0.5 kg，恒速v=2 m/s，恒定的終端時刻tf=0.5 s,如圖1所示。對于筆者給出的單跨簡支梁，其第i階模態為

圖1 具有作動器的單跨簡支梁(安裝在梁的兩端xr1和xr2)Fig.1 A single span simply supported beam with two actuators positioned on both sides of the beam at locations xr1 and xr2

(25)

以下分析取簡支梁的前兩階模態計算梁的中跨撓度，并通過撓度時程曲線的減小幅度評估不同控制方法的控制效果。例如，采用不同水平的控制力Ui(t)降低同階內的撓度振幅，若控制力絕對水平相對較低，則相應的設計方法應予以考慮。

3.1 恒速狀態移動質量作用的柔性梁振動響應

當移動質量以恒等速度在梁上運行時，可通過式(18)求解梁中跨撓度響應，此時為時變動力響應問題。當移動質量離開梁后(t>tf)，梁作自由振動，由式(21)可求解時不變動力響應問題。文中柔性梁的一階固有頻率為40 rad/s，二階、三階與四階頻率分別為160,360和640 rad/s。圖2為移動質量作用在梁上和離開梁后的中跨撓度響應時程曲線。可以看出，超過前兩階模態不足以增加柔性梁撓度響應的精度，取一階和二階模態時，梁的撓度響應基本一致，從而驗證了筆者取前兩階模態的合理性。圖2顯示終端時刻tf=0.5 s，當t≤tf時，即移動質量作用在梁上時可使梁產生最大撓度響應振幅為0.096 cm，當超過終端時刻tf時，即移動質量離開梁后，依然存在自由振動，最大響應振幅不斷衰減。

圖2 無控狀態下的梁中跨撓度響應Fig.2 Mid-span deflection of the beam at uncontrolled condition

3.2 無約束的控制變量

應用所提控制方法求解式(22)在給定t≤tf條件時的撓度響應；當t>tf時梁作自由振動，可采用基于線性二次型控制問題的控制函數求解時不變部分。控制函數u(t)=-GZ(t)，恒定增益控制矩陣G可通過時不變矩陣系數得到

通過式(26)控制梁自由振動時的撓度響應，梁自由振動時刻為tf～2L/v。將兩個作動器分別安裝在梁上指定位置xr1=0.16 m和xr2=0.78 m，如圖1所示，筆者考慮所設控制器對梁中跨位置x=L/2時的撓度響應產生影響。根據實際建造的必要性，兩作動器有時可安裝在梁的同一端xr1=0.10 m和xr2=0.153m或梁末端xr1=0.70 m和xr2=0.81 m處。

定義二次型性能指標中的誤差和控制權重矩陣Q=diag(1 000,100,10,10) 和R=diag(0.9,0.9)，計算恒定增益控制矩陣G(xr1,xr2)，采用時不變線性二次型公式求解式(22)。對于時變系統，增益矩陣G(xr1,xr2,t)=-R-1BT(xr1,xr2)P(t)具有時變性，可以反解黎卡提方程求解P(t)。此外，求解P(t)時給定的邊界條件P(tf)=S可采用李雅普諾夫方程獲得。圖3為基于時不變線性二次型控制和無控系統的中跨撓度響應時程曲線，設計的控制器在梁上指定的位置xr1=0.16 m和xr2=0.78 m。可以看出，當移動質量作用在梁上時，采用時不變控制對梁撓度響應進行控制后的最大響應振幅為0.040 5 cm，控制效果為57.81%；移動質量離開梁后作自由振動時的響應控制效果依然顯著。以上結果表明，時不變控制方法對梁撓度響應的抑制具有一定的效果。

圖3 時不變控制與無控狀態下的中跨撓度Fig.3 Mid-span deflection of the beam under time- invariant control and uncontrolled condition

圖4為不考慮移動質量的時變控制、考慮移動質量的時變控制與時不變控制方法獲得的中跨撓度曲線。可以看出：采用式(23)的時變控制方法得到的撓度振幅峰值為0.036 3 cm，控制效果為62.19%；采用時不變控制方法得到的撓度振幅峰值為0.040 5 cm，控制效果為57.81%；采用式(24)的時變控制方法得到的撓度振幅峰值為0.020 6 cm，控制效果為78.54%。結果表明：當作動器在梁的兩端時，時變控制方法的整體優勢不明顯；采用考慮移動質量的時變控制方法可以使控制目標效果最佳，此時該最優方案關于性能指標是最優的。

圖4 未考慮移動質量時變控制、考慮移動質量時變控制與時不變控制下的中跨撓度Fig.4 Mid-span deflection of the beam under time-dependent control without considering moving mass, time-dependent control with considering moving and time-invariant control

此外，控制權重系數矩陣R對時變控制方法的控制效果起一定的影響作用。圖5為權重矩陣R不同時的梁中跨撓度響應。從圖5看出，相對控制權重系數取R=diag(0.9,0.9)時，控制權重系數矩陣取R=diag(9,9)會降低控制效果。結果表明：為考慮控制器的作用效果，權重系數R的取值應在適當范圍內足夠小。

圖5 權重矩陣R不同時的梁中跨撓度響應Fig.5 Mid-span deflection of the beam for different R

若兩作動器有時需要安裝在梁的同一側，時不變增益控制器G(xr1,xr2)與時變增益控制器G(xr1,xr2,t)之間的差異變得更加重要，系統與時間相關的特性不可忽略，如圖6所示。圖6(a)為作動器全部安裝在梁左側時不同最優控制方法獲得的控制效果。圖6(b)為作動器均安裝在右側時不同控制方法獲得的控制效果。可以看出，同時安裝在右側的控制器能夠使控制目標性能最佳，而考慮移動質量的時變最優控制方案無疑是最佳的。限于篇幅要求，表1僅給出作動器位置對時變控制方法(考慮激振力)的影響。可以看出，若考慮實際建造的必要性，作動器同時放在右側位置，控制效果為最佳且作動器出力絕對水平相對穩定。

采用SDRE求解時變增益控制器G(xr1,xr2,t)時，需對矩陣P(ti)實時在線更新。圖7為SDRE控制與考慮移動質量(激振力)的時變控制獲得的中跨撓度曲線。可以看出，SDRE可以使受控系統的最大振幅響應達到最佳控制效果，相比考慮移動質量的時變控制方案，該方案性能指標最優。作動器位置一定時(xr1=0.16,xr2=0.78)，各種控制方法的控制力U1和控制力U2在0～0.5 s內的時程曲線如圖8所示。

圖6 兩作動器安裝位置Fig.6 Two actuators position

不同作動器位置最小撓度下限/cm無控有控控制效果/%最小控制力下限/NU1U21-0.0901-0.020876.91-1.3144-1.67812-0.0901-0.028868.04-1.8630-3.93163-0.0901-0.015482.91-0.7437-0.4097

1:xr1=0.16，xr2=0.78;2:xr1=0.1，xr2=0.153;3:xr1=0.7，xr2=0.81

圖7 考慮激振力的時變控制與SDRE控制的中跨撓度響應Fig.7 Time-dependent with considering moving force and SDRE control for mid-span deflection

圖8 不同控制方法Fig.8 Control forces of different control methods

3.3 具有約束的控制變量

數值分析結果均基于控制力無約束情況下獲得，從數學角度看，無約束條件可使關于控制變量的哈密頓函數逐點可微并允許黎卡提方程的使用，從而對系統產生反饋控制。由于現有作動解決方案的局限性，實際情況下需要對控制作用施加邊界約束條件。根據控制力最大上限振幅約為2 N(只考慮作動器安裝在梁兩端的情況)，這里尋求一種控制力約束條件，達到類似的控制效果。首先，根據提出的bang-bang控制方法，給出控制變量的約束條件|Ui(t)|<1.1；其次，基于式(2)，采用含有邊界約束控制力的式(8)計算。上述最優控制方法需要解決兩點邊值問題，式(5)的不連續性使式(1)和(6)雅克比矩陣為非凡的。圖9(a)為控制力約束條件|Ui(t)|<1.1時，bang-bang控制方法和無控下的撓度時程曲線。可以看出，邊界控制依然具有良好的控制效果。此外，從撓度振幅峰值下限的控制效果角度出發，基于增廣矩陣的LQR邊界控制方法的控制效果為77.25%，基于bang-bang控制方法的控制效果為77.47%，兩種最優方法的控制效果相近，但若是在梁的自由振動階段，基于增廣矩陣的LQR邊界控制效果優于bang-bang控制的控制效果，如圖9(b)所示。由此可知：考慮到實際作動器設備存在局限性，控制工程師選取基于增廣的邊界控制方案可達到最佳控制效果。值得注意的是，邊界控制方法中的共態變量λ(t)需要進行離線計算后代入系統，但獲得的系統為開環控制系統。作動器位置一定時(xr1=0.16,xr2=0.78)，這兩種控制方法的控制力U1和U2在0～0.5 s內的時程曲線如圖10所示。不同控制方法的控制效果、最大控制力上限和撓度峰值下限如表2所示。

圖9 中跨撓度響應Fig.9 Mid-span deflection

圖10 Bang-bang控制和基于增廣矩陣的LQR邊界控制Fig.10 Control forces of bang-bang and bounded LQR control with augmented matrix

控制方案最小撓度下限/cm無控有控控制效果/%最小控制力下限/NU1U21-0.0901-0.039156.601.60622.39362-0.0901-0.037058.931.46582.26273-0.0901-0.020976.801.34071.99874-0.0901-0.020876.911.21941.67245-0.0901-0.020377.471.11.16-0.0901-0.020577.251.11.1

1為時不變控制;2為無增廣時變控制;3為有增廣時變控制;4為SDRE控制;5為bang-bang控制;6為有增廣LQR邊界控制

4 結束語

基于一般基礎性的移動-載荷問題，研究了恒速狀態移動質量作用的柔性梁最優振動控制問題。基于狀態變量和控制變量的線性二次型性能指標，給出線性時變系統的狀態空間方程。將最優控制問題劃分為時變與時不變最優問題，根據實際要求，通過數值模擬比較多種最優控制方法的優缺性。對于特定的作動器位置，應當考慮采用具有時變特征的控制方法替代時不變控制方法。SDRE求解時變增益矩陣G(xr1,xr2,t)時，可隨著時間步ti不斷對矩陣P(ti)更新，與時變控制方法相比，SDRE控制方案的性能指標最優。文中較為復雜的邊界最優控制問題需要系統為開環系統，給定控制變量不等式約束條件，考慮兩點邊界值問題，采用黎卡提方程求解時變系統矩陣。結果表明：梁作自由振動時，基于增廣的LQR邊界控制效果優于bang-bang控制，從實際角度出發，前者方案不僅關于性能指標最優，也是控制工程師感興趣的最佳控制方法。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.01.020

*航空科學基金資助項目(2013ZB08001)；國家自然科學基金資助項目(11272257);陜西省自然科學基金資助項目(2014JM6220)；西北工業大學研究生創意創新種子基金資助項目(Z2015084)

2015-10-04；

2016-01-11

TH113; O32; O302

劉驍驍，男，1989年12月生，博士生。主要研究方向為復雜結構抗震減震及系統確定和不確定性振動控制。曾發表《基于β-二項分布的結構易損性分析》(《計算力學學報》2014年第31卷第6期)等論文。 E-mail: xxliu1989@163.com 通信作者簡介：任興民，男，1960年10生，教授、博士生導師。主要研究方向為轉子動力學、航空發動機振動及振動主動控制。 E-mail: renxmin@nwpu.edu.cn