非理想條件下分布式MIMO雷達目標檢測

陳明建，龍國慶，黃中瑞

(合肥電子工程學院，合肥 230037)

【信息科學與控制工程】

非理想條件下分布式MIMO雷達目標檢測

陳明建，龍國慶，黃中瑞

(合肥電子工程學院，合肥 230037)

針對任意波形相關、任意陣列配置情況下分布式MIMO雷達目標檢測問題，提出了一種基于Cholesky分解的MIMO雷達檢測器；首先分析了分布式MIMO雷達回波的相關性，并給出了任意陣列配置時MIMO雷達檢測算法；同時，為了解決發射波形相關矩陣出現奇異性導致無法獲得檢測統計量的問題，提出了基于Cholesky分解的分布式MIMO雷達檢測方法，給出了統一框架下的檢測統計量表達式，推導了虛警概率和檢測概率的近似解析式；研究得出：在低信噪比情況下，相關性越大，檢測性能越好；在高信噪比時，相關性越小，檢測性能越優；最后數值仿真驗證了理論分析的有效性和正確性。

分布式MIMO雷達；相關波形；目標散射系數；檢測統計量；似然比檢測

多輸入多輸出(MIMO)通信系統利用各種分集技術，如空間分集、波形分集、極化分集以及頻率分集等顯著地降低了信道衰落對信噪比的影響，提高了信道容量。受此啟發，人們將MIMO的概念拓展到雷達領域，相繼提出了MIMO雷達的概念[1-4]。MIMO雷達是利用多個發射天線同步地發射分集的波形，同時使用多個接收天線接收回波信號，并集中處理接收信號的一種新型雷達。根據天線配置的遠近，MIMO雷達主要分為兩種類型：集中式MIMO雷達[5-6]和分布式MIMO雷達[7-8]。集中式MIMO雷達是在傳統相控陣雷達的基礎上引入了發射波形分集的思想，通過形成虛擬孔徑提高雷達性能[9-10]。分布式MIMO雷達收發陣元間距足夠大，以此獲得空間分集提高雷達性能。與集中式MIMO雷達相比，分布式MIMO雷達更加充分體現了分集的思想，通過分集增益提高雷達系統目標檢測性能和參數估計能力[11-13]。

目標檢測是分布式MIMO雷達研究的一個重要方面[14-15]，在理想情況下通過發射多個正交波形和收發陣元大間距配置獲得空間分集增益，從而提高分布式MIMO雷達檢測性能。文獻[7]研究了施威林目標模型下分布式MIMO雷達的檢測問題，在Neyman-Pearson準則下，推導了各種不同空間配置下分布式MIMO雷達的最優檢測器。與傳統相控陣雷達相比，在高信噪比條件下具有更優的檢測性能。但文中假定要求收發陣元具有很大的間距，不同分集通道目標散射系數彼此相互獨立。然而在實際應用中MIMO空間配置并不完全滿足要求，同時發射波形也可能部分相關[16]，即使MIMO雷達發射的是具有低旁瓣的正交波形集，由于目標引起的時延、多普勒頻率也會影響接收端回波的正交性。針對這個問題，文獻[17]研究了相關路徑下MIMO雷達檢測性能，利用特征函數與概率密度函數的關系，推導了一般MIMO模型的檢測統計量，得到了恒虛警時檢測概率的解析式。文獻[18-19]研究了分集路徑不完全獨立時基于似然比檢測的MIMO雷達檢測方法，分析了分集路徑相關性對檢測性能的影響，但未考慮波形相關對MIMO雷達檢測性能的影響。文獻[20]研究了發射非正交波形時MIMO雷達的分集增益不大于散射點數目和收發天線數目的最小值，給出了檢測統計量表達式。文獻[21]研究了各類施威林目標任意波形時的MIMO雷達檢測性能，假設分集路線完全獨立，沒有考慮分集路徑相關對檢測性能影響。

針對上述問題，本文研究任意波形相關和任意陣列配置情況下MIMO雷達目標檢測方法。首先給出了一般分布式MIMO雷達信號模型，分析發射正交波形、任意陣列配置時MIMO 雷達檢測方法；接著，分析了發射任意相關波形MIMO 雷達檢測方法，提出了利用Cholesky分解方法解決了二元假設中數據協方差病態問題，得到了檢測統計量，推導了檢測概率與虛警概率的近似解析表達式。最后數值仿真驗證了理論分析的有效性和正確性。

1 MIMO雷達信號模型

考慮遠場擴展目標和分布式MIMO雷達配置如圖1所示，忽略目標和雷達陣元的高度。

圖1 分布式MIMO雷達空間配置示意圖

為簡化分析，不考慮目標的運動速度，則第n個陣元接收目標回波信號為M個發射信號的線性疊加，可表示為

(1)

假設MIMO中各接收通道與發射信號匹配濾波后的輸出為

(2)

其中

(3)

(4)

wn,m經過匹配濾波后的通道噪聲，其均值為零，且協方差滿足

(5)

若將所有接收陣元的匹配輸出矢量寫成向量形式為

(6)

2 回波的相關性分析

由于收發陣元采取大間距配置和發射波形分集，分布式MIMO雷達目標表現為空間散射多樣性和發射波形多樣性，從而目標回波序列之間的相關性分為空間相關性和波形相關性。空間相關性反映了對于不同收發陣元的散射系數的關系；波形的相關性反映了對于不同發射陣元的相關性以及同一發射陣元信號的自相關和互相關特性。

3.1 散射系數的相關性

由文獻[7]可知，任意通道的散射系數可表示為

(8)

其中∑(x,y)位于矩形內點(x0+x,y0+y)上的散射體的復散射增益，散射系數αn,m的協方差為

(9)

其中

(10)

利用積分等式：

(11)

其中sinc(x)表示歸一化的辛克函數。根據式(11)則式(9)可簡化為

(12)

為了考察任意兩個分集路徑之間的相關性，定義分集路徑散射系數αn,m、αn′,m′之間相關系數為

(13)

(14)

由式(10和式(14)可知散射系數相關性與MIMO雷達天線配置、目標位置、目標尺寸及載波頻率均有關。由于ρ(n,m,n′,m′)為二維sinc函數，因此可以根據sinc函數的特點分析散射系數的相關性，下面分3種情況討論其相關性。

3.2 發射信號的相關性

2) 假定分布式MIMO滿足空間分集要求，即散射系數完全獨立Rc=IMN，當發射波形為非正交波形時，此時匹配濾波器輸出后的目標回波α′=ηα，滿足α′～CN(0,ηηH)，等效分布式MIMO雷達陣元配置不滿足空間分集要求，減少了獨立的通道數，降低了空間分集效果。

4 分布式MIMO雷達檢測器

理想情況下分布式MIMO雷達收發陣元采取大間隔配置，利用空間分集和波形分集提高雷達性能。然而在實際工程應用中，MIMO雷達的陣元配置可能并不完全滿足空間分集要求，此時目標散射系數并非完全獨立，存在部分相關性，同時發射波形也并非完全正交，即使MIMO雷達發射的是具有低旁瓣的正交波形集，由于目標引起的時延、多普勒頻率也會影響接收端回波的正交性。下面具體分析任意陣元配置和任意波形相關時MIMO目標檢測方法。

4.1 任意陣元配置時MIMO目標檢測

當分布式MIMO雷達收發陣元間距任意配置時，陣元間距可能不滿足空間分集要求，此時分集通道不再是相互獨立的，而是存在部分相關性。為了討論非理想情況下MIMO雷達檢測性能，首先考慮發射波形相互正交、分集通道存在部分相關時MIMO檢測器設計。然后再分析任意發射波形、任意陣元配置時MIMO雷達檢測方法。

假定H0表示目標不存在，H1表示目標存在。根據以上分析，x可表示為

(15)

在H0或H1假設條件下回波信號的協方差矩陣分別為

(16)

i=0,1

(17)

假設已知目標和噪聲電平，根據Neyman-Pearson 準則，在給定虛警概率的條件下，最優檢測器可以通過似然比得到，即

(18)

由于似然比中的常數最終可以并入檢測門限中，因此可以舍棄無關常數項k0，可得如下檢測統計量

(19)

根據矩陣求逆引理可得

(20)

(21)

(22)

此時，檢測統計量變為

(23)

命題1：若矩陣A為半正定矩陣，則BABH為半正定矩陣。

證明：由矩陣理論可知，A為半正定矩陣的充要條件是存在矩陣C，滿足A=CCH。因此BABH=BCCHBH=BC(BC)H，因此BABH為半正定矩陣。證畢。

(24)

(25)

(26)

根據命題2，任意陣列配置時分布式MIMO雷達虛警概率和檢測概率分別為

(27)

其中QΓ(γ,Λ0)、QΓ(γ,Λ1)分別表示在兩種假設條件下不完全伽馬分布的累積分布函數。

為簡化研究問題，定義MIMO雷達分集路徑相關系數為

(28)

4.2 任意波形相關時MIMO目標檢測

假定矩陣η的秩為K,1≤K≤MN，對矩陣η進行Cholesky分解可得η=AAH，其中A∈CMN×K為列滿秩矩陣。同理可得Rα=BBH

定義x=Ax1，其中x1為K×1維復高斯隨機矢量，均值為零，協方差矩陣為

(29)

(30)

其中ξ=E/M。

根據矩陣求逆引理公式(A+BCD)-1=A-1-A-1B(DA-1B+C-1)-1DA-1，可得

(ξAHRαA+IK)-1=IK-AHB(SNRBHAAHB+I)-1BHA

(31)

將式(31)代入式(30)，并化簡可得檢測統計量為

T(x)=x1AHB(ξBHAAHB+I)-1BHAx1=

xHB(ξBHAAHB+I)-1BHx

(32)

利用矩陣等式變換

B(I+AB)-1=(I+BA)-1B

(33)

根據式(32)、式(33)可得

T(x)=xH(ξBBHAAH+I)-1BBHx=

xH(ξRαη+I)-1Rαx=xHUx

(33)

其中U=(ξRαη+I)-1Rα。

接下來討論幾種特殊情況時，任意配置、任意波形時分布式MIMO雷達目標檢測的充分統計量情況：

1) 若發射波形集相互正交，即η=IMN，U=W，此時式(21)、(34)等價；

2) 若發射波形集相關，MIMO雷達陣元配置完全滿足空間分集要求，即η≠IMN、Rα=IMN，此時式(34)可簡化為T(x)=xH(ξη+I)-1x；

3) 若發射波形集相互正交，且MIMO雷達陣元配置完全滿足空間分集要求，即η=IMN、Rα=IMN，此時式(21)、(34)均可簡化為T(x)=‖x‖2，該檢測統計量與文獻[2]結果相吻合。

由于匹配接收矢量x服從零均值復高斯分布，而任意波形相關、任意陣列配置時分布式MIMO雷達的檢測統計量可簡化為式(34)，即檢測統計量為加權的卡方分布，因此可利用命題2的結論，可近似求解檢測概率和虛警概率的解析式。

4 仿真實驗與結果分析

在理論分析的基礎上，本節通過計算機數值仿真考察驗證分集路徑存在相關時，分布式MIMO雷達檢測性能。仿真條件：M=2,N=4，為簡化分析，假定所有分集路徑的路徑損耗均相等，虛警概率Pfa=10-8。

仿真1：不同陣元間距和分集路徑相關時的檢測性能

圖2表示不同陣元間距時MIMO雷達檢測性能；圖3表示不同相關系數時MIMO雷達檢測性能。

由于不同陣元間距會影響MIMO雷達的分集路徑的相關性，圖2給出了不同陣元間距時分布式MIMO雷達檢測概率隨信噪比的變化曲線。圖2中共考察6種不同情況下檢測器的性能。其中4種情況分別是陣元間距為50λ、100λ、150λ、200λ，另外兩種情況是理想的分布式MIMO雷達(分集路徑是不相關的或獨立)和傳統相控陣雷達(分集路徑是全相關)。

圖2 不同陣元間距時檢測概率與信噪比關系曲線

由圖2可知：由于陣元間距不同，分布式MIMO雷達的分集路徑相關性存在差別，間距越大，相關程度越小；在低SNR情況下，分集路徑的相關度越大，檢測性能越好；而在高SNR情況下，分集路徑的相關度越小，檢測性能越好；在一定的檢測概率情況下，如Pd≥0.8時，理想分布式MIMO 雷達要優于相關分集路徑情況下的檢測性能，這也是分布式MIMO雷達相比傳統雷達性能更加優越的關鍵所在。

圖3 不同相關性時檢測概率與信噪比關系曲線

仿真2：任意波形相關時檢測性能

考慮波形的峰值旁瓣比一定程度上反映了波形的相關性，且發射波形的正交性和分布式陣元布置共同保證了獨立的分集路徑，因此波形的相關性不僅會影響相干處理增益，還會影響MIMO雷達空間分集增益。

圖4 任意波形相關時MIMO雷達檢測概率與信噪比關系曲線

圖5 分集路徑與波形均相關時MIMO雷達檢測概率與SNR關系曲線

由圖4、圖5可知：在低SNR情況下，發射波形集相關性越大，檢測性能越好；而在高SNR情況下，波形集相關性越小，檢測性能越好。結論是：在低信噪比條件下，相干處理增益占優，而在高信噪比條件下空間分集占優。

5 結論

1) 本文研究了非理想情況下分布式MIMO雷達檢測方法和性能，推導了任意波形相關和任意陣列配置時檢測器的充分統計量服從加權卡方分布，得到了檢測概率與虛警概率的近似解析表達式。

2) 波形和分集路徑相關性均會降低分布式MIMO的空間分集能力，在低信噪比時，這種相關性能夠改善空間分集MIMO雷達的檢測性能，而在高信噪比時，相關性使得空間分集MIMO雷達的檢測性能下降。相關性越強，檢測性能越差。

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(責任編輯 楊繼森)

New Detection Method for MIMO Radar Under Non-Ideal Conditions

CHEN Ming-jian, LONG Guo-qing, HUANG Zhong-rui

(Electronic Engineering Institute, Hefei 230037, China)

This paper studied the problem of target detection for the distributed multiple-input multiple-output (MIMO) radars under arbitrary waveform correlation and antenna spacing. Based on the Cholesky decomposition, a new detection method under the Neyman-Pearson criterion for distributed MIMO radar was proposed. Firstly, we analyzed the correlation between the distributed MIMO radar echo, and proposed maximum likelihood MIMO detection algorithm with arbitrary array configuration. Then, in order to solve the problem of the singular correlation matrix of the transmitted waveforms, Cholesky decomposition method was applied. The uniform model of sufficient statistics was presented for distributed MIMO radars under non-ideal conditions. An approximate closed form formula was derived to calculate the theoretical probability of detection with a given probability of false alarm for the distributed MIMO radar. Through simulation we can draw conclusions that the detection performance in high SNR deteriorates with the increased the correlation of spatial diversity channels and transmitted wave forms, but the detection performance in low SNR improves with the increased the correlation. Finally, the numerical simulation verifies the validity and correctness of the theoretical analysis.

distributed MIMO radar; related waveform; target scattering coefficient; test statistics; test statistic likelihood ratio detection

2016-09-20；

2016-10-12

安徽省自然科學基金項目(1608085QF140)

陳明建(1983—)，男，講師，主要從事雷達信號處理研究。

10.11809/scbgxb2017.02.018

陳明建，龍國慶，黃中瑞.非理想條件下分布式MIMO雷達目標檢測[J].兵器裝備工程學報，2017(2):75-81.

format:CHEN Ming-jian, LONG Guo-qing, HUANG Zhong-rui.New Detection Method for MIMO Radar Under Non-Ideal Conditions[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(2):75-81.

TN95

A

2096-2304(2017)02-0075-07