反思，點亮學生“悟”的心燈

曾子斌

摘 要：解題后要反思，命題者的意圖是什么？考查的知識點、方法和能力是什么？驗證答案是否正確，題中的條件的應用是否完備？求解或證明過程是否判斷有據，嚴密完整？一題多解？一題多變？一題多問？一題多用？多題一解？不斷地對問題進行觀察探究、歸納類比、抽象概括，對所蘊含的數學思想、數學方法進行甄別，體會解題帶來的快樂，享受反思帶來的成功感。養成獨立思考、主動探究的習慣，并懂得如何學好數學。

關鍵詞：反思 探究 歸納 概括 提高能力

孔子云：學而不思則罔。“罔”即迷惑而沒有所得，把其意思引申一下，我們也就不難理解為什么要進行解題后反思了。事實上，一道題經過一番艱辛，苦思冥想解出答案后，須進行如此反思：第一步，“學懂了沒有？”——主要解決“是什么”的問題，即命題者的意圖是什么？考查的知識點、方法和能力是什么？第二步，“領悟了沒有？”——主要解決“為什么”的問題，即驗證答案是否正確，題中的條件的應用是否完備？求解或證明過程是否判斷有據，嚴密完整？第三步，“會用了沒有？”——主要解決“做什么”的問題，即本題有無其他解法——一題多解？或一題多變？ 一題多問？一題多用？多題一解？由于學生認知結構水平的限制，表現出對知識不求甚解，熱衷于做大量題，不善于在解題后對題目進行反思，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環節；而通過解題后反思解題過程、探討知識點聯系、知識交匯、探究規律等一系列思維活動，能點亮學生“悟”的心燈。

本文擬從以下方面作些探究，與同行商榷。

一、及時反思所犯錯誤，確保解題的合理性和正確性

現代認知心理學家認為，學生的學習是以現有的認知發展觀水平為出發點，以“最近發展區”為定向，在不斷產生錯誤和糾正錯誤的過程中進行的。解題教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，從而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

如題1：在△ABC中，AB→=（1，1），AC→=（2，k），若△ABC為直角三角形，求實數k的值.解：∵△ABC為直角三角形，∴A=90°，∴AB→·AC→=0，又∵AB→=（1，1），AC→=（2，k），∴1×2+1×k=0，即k=-2，∴k=-2時，△ABC為直角三角形。解后引導學生進行反思：解決這類問題的通法是什么？解決這一類問題常犯錯誤或要注意的是什么？是否可轉換角度進行思考及不同知識點的相互聯系？問題能否進行變式或推廣？學生們各抒己見，針對各種“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的教學是成功的，學生在計算的準確率和速度兩個方面都有極大的提高。答案的確錯了，怎么錯的？為什么會有這樣的想法？又怎樣糾正呢？如果我們的解題教學能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道甚至更多的例題來鞏固則要好得多，而這點恰恰容易被我們所忽視。本題在解答過程中，應考慮△ABC三個內角都可能為直角的情況，故進行分類討論是解決本題的關鍵。

二、及時反思解題方法，探求一題多解和一題多變，培養解題的變通性和靈活性

“題目千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的。善于作解后反思，探求一題多解和一題多變，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的。

如題 2：已知 且 ，求 的最小值。法1：均值不等式法

此題答案有誤。因為⑴，⑵ 式的等號不能同時成立，所以⑶式等號 不能取。此法作為例子強調使用重要不等式時等號成立條件的必不可少和一致性， 這有利于培養學生思維嚴密性。

法2，1的妙用

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法3，構造不等式法

[來源：Z

變式3：已知 （ ）求 的取值范圍。

法4，換元后構造均值不等 式法

法5，用判別式法

變式4：已知 求 的范圍。

法6，三角代換法

變式5：已知00，b>0，則 的最小值。

三、及時反思解答過程， 探究通性通法，提高綜合解題能力

所謂通性通法，是指具有某些規律性和普遍意義的常規解題模式和常用的數學思想方法。這種通性通法在高中數學中是很多的，如二次函數在閉區間上求最值的一般方法：配方、作圖、截段等。如將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成一元二次方程，再利用根的判別式、求根公式、根與系數的關系、兩點之間的距離公式等可以編制出很多精彩的試題。這些問題考查了解析幾何的基本思想方法，學生在學習的過程中要對這些普遍性的東西不斷地進行概括總結，梳理出一般方法和思路，掌握規律，探求共性，再由共性指導去解決碰到的這類問題，便會迎刃而解，這對提高解題能力尤其重要。

荷蘭著名數學家弗萊登塔爾曾指出，“反思是重要的數學活動，它是數學活動的核心和動力”。總之，解題后引導學生對問題進行觀察探究、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的數學思想、數學方法進行甄別，會使學生撥開“迷霧”，看清“廬山真面目”而逐漸成熟起來；在反思中學會傾聽、學會交流、學會合作、學會分享，養成獨立思考、主動探究的習慣，體會解題帶來的快樂，享受探究帶來的成功感。常此以往，對于培養學會學習是非常重要的，并懂得如何把題解好解對，這會幫助學生學好數學。

參考文獻：

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