芻議蘇教版教材集合起始課的思考及調整

顧日新

【摘要】“用教材教”的新課程觀既彰顯了教材的資源特色，也暗含了教材可變的、發展的、開放的特點.教師應在全面準確把握教材內容的基礎上，在不偏離課程標準的前提下，不為教材所束縛，靈活使用教材，積極開發、整合、豐富課程資源，使教材更好地服務于教學，服務于學生.

【關鍵詞】蘇教版；集合起始課；例題；習題

【基金項目】教育部人文社會科學研究規劃基金項目——我國農村中小學教師的TPACK及其教學表現研究（14YJA880054）；江蘇省哲學社會科學一般項目——義務教育均衡發展視域下江蘇薄弱學校教師的TPACK狀況及其提升路徑研究.

教材是課程資源的核心部分，是教師開展教學活動的重要媒介.盡管傳統課程觀和新型課程觀都強調教材的核心地位，但前者“教教材”的思想凸顯了教材的權威性，而后者“用教材教”的思想既彰顯了教材的資源特色，也暗含了教材是可變的、發展的，也是開放的之特點.新課程觀倡導教師不為教材所束縛，在全面準確把握教材內容的基礎上，靈活使用教材，積極開發和豐富課程資源.本文是基于蘇教版高中數學教材必修1第一章“集合”[1]起始課的教學內容，談一些粗淺的認識和思考以供借鑒，不當之處，敬請批評指正.

一、“類”是集合的重要特征嗎？

蘇教版必修1第1章“集合”引言：

藍藍的天空中，一群鳥在歡快地飛翔；

茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動；

清清的湖水里，一群魚在自由地游泳；

……

鳥群、羊群、魚群……都是“同一類對象匯聚在一起”，這就是本章將要學習的集合.

無論是高聲朗讀，還是低聲慢吟，這段唯美的文字都能給人以一種安謐嫻靜的意境.但仔細玩味“同一類對象匯聚在一起”這句話，我們不禁要問：“同一類”三個字是集合中元素的重要特征嗎？羊群因同類成群而構成集合，那么，草原上羊、牛、獅子、老虎等動物匯集在一起是集合嗎？魚群因同類成群而構成集合，那么，魚、蝦、蟹匯集在一起是集合嗎？

關于“類”，石志群教師撰文寫到[2]：事實上，將“類”作為集合概念的重要特征的不止斯托利亞爾，著名數學家R·柯朗在其名著《數學是什么》中直截了當地指出：“由對象組成的類或集的概念是數學中最基本的概念之一.”由此可見，“類”的提出是有歷史依據的.那么，如何正確理解“同一類”三個字呢？

推敲必修一第5頁引入集合定義的方法，筆者認為，“類”的對象是相對的，不是絕對的，如何歸類，要看分類的標準是什么.張松年老師認為[3]：蘇教版必修1第1章“集合”的章頭圖是原野上的一群大象.我們可以把象群看作一個整體，其中的每一頭象都是這個整體的一個元素；也可以把整個原野系統看作一個整體，其中的每一個物體（一草、一木、一象、一土）都是這個整體的一個元素.正像章首語中所說的，“同一類對象匯集在一起”就成了集合，關鍵是以什么標準來“分類”，以確定哪些對象“匯集在一起”.

說實話，引言中“同一類”三字確實容易引起初學者對集合元素一般認知上的歧義.為正確理解“類”的內涵，不僅教師自身要對“類”有足夠深刻的認識，而且也要讓學生弄清楚，這對概念的理解非常必要.

二、“集合”一詞的提出到底是哪一年？

蘇、滬兩個版本的新教材都在正文一側設置了旁白，創意新穎，有對教材內容作必要補充、提高學生數學認識、拓寬學生數學視野、提升學生數學素養的目的.其中，數學家生平簡介是兩個版本的共同特色.集合論創始人德國數學家康托爾的生平引起了筆者的興趣.原文摘錄如下（數學家頭像省略）：

蘇教版必修1第5頁

康托爾（G.Cantor，1845—1918），德國數學家、集合論創始人，他于1895年談到“集合”一詞.

滬教版（高一年級第一學期）第5頁

康托爾（G.Cantor，1845—1918），德國數學家、集合論創始人.1871年他給集合的說明是：“把一定的并且彼此可以明確識別的事物——這種事物可以是直觀的對象，也可以是思維的對象——放在一起，叫作一個集合，這些事物的每一個叫作該集合的一個元素.”

閱讀兩則旁白，“集合”一詞的提出時間分別是1895年和1871年，我們不禁要問：“集合”一詞的提出到底是哪一年？查閱文獻，關于集合論的誕生有很多記錄，主流的說法有三種：

第一種[4]：1873年12月7日，康托爾寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的了，這一天也因此成為集合論的誕生日.

第二種[5]：1873年12月7日，康托爾寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的，也就是不能同正整數的“集體”一一對應起來.這一天應該看成是集合論的誕生日.

第三種[6]：一般認為，集合論誕生于1873年底.1873年11月29日，康托爾（G.Cantor，1845—1918）在給戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916）的信中提問“正整數集合與實數集合之間能否一一對應起來？”這是一個導致集合論產生的大問題.幾天后，康托爾用反證法證明了此問題的否定性結果，“實數是不可數集”，并將這一結果以標題為《關于全體實代數集合的一個性質》的論文發表在德國《克萊爾數學雜志》上，這是“關于無窮集合論的第一篇革命性論文”，在其系列論文中，他首次定義了集合、無窮集合、導集、序數、集合運算等，康托爾的這篇文章標志著集合論的誕生.

從上述三則文獻看，盡管“集合”一詞的提出沒有明確說明是哪一年，但集合論的誕生應該是1873年，那么“集合”一詞的提出是19世紀70年代較為客觀.

三、Venn圖的首次使用是哪一年？

本小節除了以旁白的形式給出集合論創始人康托爾（G.Cantor，1845—1918）的生平簡介外，在第6頁同樣以旁白的形式給出了Venn圖的創始人文恩（J.Venn，1834—1923）的生平簡介（如下圖），但和康托爾（G.Cantor，1845—1918）的簡介相比，文字太過簡略，以至于Venn圖首次使用是哪一年都沒有注明.查閱有關文獻，關于文恩的個人信息確實非常少.百度百科則引用了《教材完全解讀·高一數學必修一》（王后雄主編，中國青年出版社，2014年）關于數學家的簡介：1880年，文恩（Venn）在《論命題和推理的圖表化和機械化表現》一文中首次采用固定位置的交叉環形式用封閉曲線（內部區域）表示集合及其關系的圖形（VennDiagram，也稱韋文圖或維恩圖）.為給學生更多關于Venn圖的信息，在原有文字的基礎上，加上“Venn圖首次使用于1880年”這句話，則顯得更為完整.

蘇教版必修1第6頁

文恩（J.Venn，1834—1923），英國數學家.

四、例題、習題的調整

（一）例題做加法——以固化集合概念的內涵與外延

蘇教版教材給出了集合的描述性概念：一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體構成一個集合（set）.教學實踐中，教師一般在講授完概念之后會啟發學生：從集合描述性概念中，你能得出集合中的元素具有什么性質？學生一般都能順利地說出“確定性和互異性”.關于集合中元素具有無序性，在講授完集合相等的概念（如果兩個集合所含元素完全相同，那么這兩個集合相等）之后，元素的“無序性”也是比較容易得出和理解的.元素的三個性質中，“確定性”比較抽象，若不通過具體的例子對其進行固化.學生是無法形成“確定性”的概念的.所以，可以在原有例題的基礎上設計一組題目以加深對集合概念的認識.

如，判斷下列各組對象能否構成集合，若能構成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構成集合，請你說明理由.

（1）江蘇省各地級市；

（2）我們班身高大于1.70米的學生；

（3）末位數是5的自然數；

（4）第一象限內的點.

（二）習題做整合——以突出重點與難點

本課時課后練習由5道題目組成，限于篇幅，不對原文進行摘錄（詳見教材第7頁）：

1，2，4三道題都是集合表示方法的單一應用（一對一的轉換），其中，第1題是描述法轉換為列舉法，第4題的（1）、（2）兩小題也是如此；第2題及第4題的第（3）小題則是把文字語言表示的集合用描述法來表示；1，4兩題的設置有重復之嫌疑.不如把第1，2，4三題合并為一組題目，以考查學生把自然語言轉換為集合語言的靈活性，同時，也能讓學生體會到集合表示方法的不唯一性.為突出對集合概念的理解、Venn圖的運用及后續學習的需要.在題量保持不變的情況下，對原習題做重新整合，具體如下：

1.試選擇適當的方法表示下列集合：

（1）中國國旗的顏色組成的集合；

（2）12的約數組成的集合；

（3）不超過5的自然數組成的集合；

（4）奇數的集合；

（5）偶數的集合；

（6）由方程x2-1=0的所有實數根組成的集合；

（7）不等式x2+1≤0的解集.

（8）平面直角坐標系中第二象限的點組成的集合.

2.教材第3題.

3.數集M={0，x，x2}，那么實數x不能取哪些值？

設計意圖：考查集合中元素的互異性.

4.教材第5題.

5.如圖，Venn圖表示哪幾個集合？請用適當的方法把所有集合一一表示出來.

設計意圖：集合表示方法之間的靈活轉換，既為后續學習集合的運算做鋪墊，也突出數形結合思想.

總之，在不偏離課程標準的前提下，在尊重教材的基礎上，對教材進行思考及合理調整，使教材更好地服務于教學，服務于學生，是我們每一個一線教師的責任.在思考中調整，在調整中前行，也許思考和調整是片面的、狹隘的，甚至是錯誤的；也許前行的道路是曲折的、艱巨的，甚至是痛苦的.但只要我們不斷反思，不斷學習，思考和調整的過程一定是美麗的，前行沿途的風景一定是別致的.

【參考文獻】

[1]單墫.普通高中課程標準實驗教科書·數學[M].南京：江蘇教育出版社，2005.

[2]石志群.回歸本真深化認識——對“集合”概念教學的思考[J].中國數學教育，2013（6）：2-3.

[3]張松年.寓意深刻匠心獨運—例析蘇教版高中數學教材的編排結構與設計意圖[J].教育研究與評論：課堂觀察，2014（4）：22-27.

[4]佚名.集合論[EB/OL].[2014-09-20].http：∥zh.wikipedia.org/wiki/集合論.

[5]佚名.集合論[EB/OL].[2014-09-20].http：∥baike.baidu.com/view/26152.htm？fr=aladdin.

[6]李長杉.集合論與第三次數學危機[J].學周刊，2013（1）：16.