巨菌草莖稈力學(xué)特性曲線擬合研究

陳文滔++方兵++梁曉++葉大鵬

摘要：為了精確地描述巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）莖稈力學(xué)性能莖稈抗拉、抗壓、抗彎彈性模量，對(duì)巨菌草莖稈力學(xué)特性曲線進(jìn)行曲線擬合。通過分析插值函數(shù)的構(gòu)造方法及性質(zhì)，合理地選取基函數(shù)和權(quán)函數(shù)，并對(duì)最小二乘法以及移動(dòng)最小二乘法的擬合曲線進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，移動(dòng)最小二乘法在巨菌草莖稈力學(xué)特性試驗(yàn)曲線擬合中具有更高的精度。

關(guān)鍵詞：巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）；莖稈；移動(dòng)最小二乘法；力學(xué)性能；曲線擬合

中圖分類號(hào)：S519 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：0439-8114（2017）03-0561-04

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2017.03.044

Study of Curve Fitting of Mechanical Properties of the Stalk of

Pennisetum sinese Roxb

CHEN Wen-tao，F(xiàn)ANG Bing，LIANG Xiao，YE Da-peng

（College of Mechanical and Electrical Engineering， Fujian Agriculture and Forestry University， Fuzhou 350002， Fujian，China）

Abstract：In order to accurately describe the mechanical properties of the stalk of Pennisetum sinese Roxb on tensile， compression and bending modulus of elasticity， the curve of mechanical properties of Pennisetum sinese Roxb stalk were fitted. The construction method of interpolation function was detailedly studied and the basis function and weight function were reasonably choose， then compared the least square method and moving least square method in curve fitting. The results showed that the precision of the moving least square method in the curve fitting of mechanical properties of Pennisetum sinese Roxb stalk was higher.

Key words：Pennisetum sinese Roxb；stalk；moving least squares；mechanical properties；curve fitting

巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）是上世紀(jì)90年代從非洲引進(jìn)中國，經(jīng)過20多年培養(yǎng)出適合中國氣候土壤的優(yōu)良草種[1]。巨菌草的莖稈木質(zhì)纖維作為能源與工業(yè)原料具有巨大的潛能，同時(shí)，巨菌草的機(jī)械處理如切割、打捆、破碎、運(yùn)輸?shù)纫簿哂兄卮蟮慕?jīng)濟(jì)價(jià)值。

巨菌草莖稈的力學(xué)特性參數(shù)是研制高效、低耗莖稈切割器的重要參數(shù)依據(jù)，對(duì)巨菌草莖稈的力學(xué)特性的研究有利于在農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)計(jì)階段中減少研發(fā)成本與縮短研發(fā)周期，因此有必要展開對(duì)巨菌草莖稈的力學(xué)特性研究。目前，已有學(xué)者研究了蘆竹[2]、苧麻[3]、玉米[4]等作物莖稈的力學(xué)特性，而巨菌草莖稈的力學(xué)特性研究鮮見報(bào)道。

由于植物莖稈力學(xué)性能呈現(xiàn)非線性特點(diǎn)，需要通過曲線擬合得到材料的拉伸、壓縮、彎曲彈性模量力學(xué)性能參數(shù)。而曲線擬合的方法眾多，常用的是基于普通最小二乘法的多項(xiàng)式擬合，其形式簡單，計(jì)算量小，但考慮整個(gè)擬合區(qū)域所有節(jié)點(diǎn)的誤差效應(yīng)，并將誤差在全局上做均化處理，對(duì)局部擬合精度產(chǎn)生很大影響[5]。因力學(xué)特性曲線的線性階段曲線形狀較為簡單，可以采用上述方法，且精度可以滿足要求，但對(duì)于莖稈破壞階段的曲線，普通最小二乘法誤差較大。鑒于該方法存在的問題，本研究借鑒竹木材料的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，測(cè)試了巨菌草莖稈拉伸、壓縮、彎曲等力學(xué)性能參數(shù)。利用移動(dòng)最小二乘法（Moving Least Squares，MLS）擬合巨菌草莖稈力學(xué)特性曲線并通過實(shí)例與普通最小二乘法擬合進(jìn)行比較分析，說明MLS方法可以優(yōu)化求解莖稈拉伸、壓縮、彎曲彈性模量的精度，為進(jìn)一步建立材料本構(gòu)模型提供準(zhǔn)確的理論數(shù)據(jù)支持。

1 移動(dòng)最小二乘法（MLS）

1.1 基本原理

MLS是20世紀(jì)80年代發(fā)展起來的一種基于點(diǎn)的近似方法，具有擬合精度高、通用性強(qiáng)的特點(diǎn)，該方法首先應(yīng)用于固體力學(xué)中[6]。移動(dòng)最小二乘法主要可分為逼近法和插值法兩種，本研究主要采用的是移動(dòng)最小二乘逼近法。

1.2 基向量的選取

通常選取單項(xiàng)式作為基函數(shù)， 一維空間中單項(xiàng)式一次和二次基函數(shù)分別為：

二維空間中單項(xiàng)式一次和二次基函數(shù)分別為：

1.3 權(quán)函數(shù)的選取

權(quán)函數(shù)在移動(dòng)最小二乘法中起著重要作用，權(quán)函數(shù)w（x-xi）反映了計(jì)算點(diǎn)x對(duì)全局近似的影響程度，Guass權(quán)函數(shù)的權(quán)函數(shù)因子β則說明了在計(jì)算點(diǎn)xi的影響域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)對(duì)權(quán)函數(shù)值的影響程度。權(quán)函數(shù)的選取對(duì)移動(dòng)最小二乘法近似的特性有很大的影響。移動(dòng)最小二乘法近似的精度在很大程度上取決于權(quán)函數(shù)。本研究采用Guass權(quán)函數(shù)。

式（8）中，r=d/R1，d為計(jì)算點(diǎn)x與他求解域內(nèi)某一節(jié)點(diǎn)x1的距離；d=|x-x1|R1為該節(jié)點(diǎn)影響域半徑，R1=k×d1k為影響域半徑乘子，k值略大于1，以保證計(jì)算點(diǎn)的求解域內(nèi)有足夠的節(jié)點(diǎn)；d1是一個(gè)動(dòng)態(tài)變量，隨著節(jié)點(diǎn)分布的密集情況變化，當(dāng)節(jié)點(diǎn)比較集中時(shí)d1較小，節(jié)點(diǎn)比較分散時(shí)d1較大，以保證所有點(diǎn)的定義域中包含合適數(shù)量節(jié)點(diǎn)，取d1為節(jié)點(diǎn)x1到距其最近的第Nb個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離；Nb為給定的節(jié)點(diǎn)x1影響域中的節(jié)點(diǎn)數(shù)，節(jié)點(diǎn)數(shù)過少會(huì)使計(jì)算矩陣奇異或影響精度，節(jié)點(diǎn)數(shù)過多影響域半徑，使該點(diǎn)的區(qū)域特性表現(xiàn)得不明顯；β為權(quán)重因子，β越大離計(jì)算點(diǎn)x越近（r越小）的節(jié)點(diǎn)對(duì)全局近似的影響越大，而遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)幾乎沒有影響。

2 試驗(yàn)過程

對(duì)采集來的巨菌草莖稈去頂、剝皮、鋸掉結(jié)隔并編號(hào)，測(cè)量巨菌草莖稈直徑，參照木材和竹材物理力學(xué)性質(zhì)試驗(yàn)方法[7，8]，制作試驗(yàn)試樣。拉伸試樣長120 mm、寬15 mm、厚t mm，試驗(yàn)中間有效部分規(guī)格長60 mm、寬2 mm、厚t mm，與兩端夾持部分圓弧平滑過渡，如圖1a所示。壓縮試樣長30 mm、外徑d mm、厚t mm，兩端需要用砂紙打磨平整，如圖1b所示。彎曲試樣長100 mm、寬d mm、厚t mm，如圖1c所示。

試驗(yàn)采用深圳市新三思材料檢測(cè)有限公司制造的SNAS微機(jī)控制電子萬能材料試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行拉伸、壓縮和彎曲試驗(yàn)，其精度級(jí)別為1級(jí)，試驗(yàn)力準(zhǔn)確度與變形準(zhǔn)確度均在1%以內(nèi)。該系統(tǒng)由試驗(yàn)機(jī)主機(jī)、RG控制器、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)三部分組成，在試驗(yàn)運(yùn)行過程中能動(dòng)態(tài)顯示載荷值、變形值、試臺(tái)速度和應(yīng)力-應(yīng)變曲線等結(jié)果。

3 結(jié)果與分析

3.1 巨菌草莖稈拉伸試驗(yàn)

采用井字紋夾頭夾緊試件的上下兩端，設(shè)置拉力加載速度為3 mm/min。試驗(yàn)獲得試件拉伸的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。從圖2中可以看出，當(dāng)拉伸應(yīng)力達(dá)到巨菌草莖稈最大拉伸強(qiáng)度后，巨菌草莖稈被拉斷，應(yīng)力瞬時(shí)急劇下降。測(cè)得巨菌草拉伸抗拉強(qiáng)度的最大值為110.3 MPa，最小值為91.4 MPa，平均值為100.4 MPa，抗拉彈性模量為600.1～691.6 MPa，平均值為644.7 MPa。

3.2 巨菌草莖稈壓縮試驗(yàn)

將壓縮試件置于平面壓頭的承載平面，在控制機(jī)上設(shè)置材料壓縮彈性模量控制程序，壓縮載荷加載速度為3 mm/min，試驗(yàn)獲得試件的壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線。從圖3中可以看出，巨菌草莖稈軸向壓縮過程大致可以分為線性變形階段、一次屈服階段、抗力恢復(fù)階段、二次屈服階段和徹底破壞階段。測(cè)得巨菌草抗壓強(qiáng)度的最大值為8.96 MPa，最小值為5.02 MPa，平均值為7.54 MPa，抗壓彈性模量160.9～197.9 MPa，平均值為184.1 MPa。

3.3 巨菌草莖稈彎曲試驗(yàn)

試驗(yàn)采用三點(diǎn)彎曲法，將彎曲試件作板材處理，彎曲跨度為48 mm，預(yù)加載荷10 N（保證壓頭與試樣密切接觸），彎曲壓力加載速度3 mm/min。圖4為計(jì)算機(jī)繪制的彎曲應(yīng)力-位移曲線，彎曲應(yīng)力超過最大抗彎強(qiáng)度后巨菌草莖稈斷裂，應(yīng)力下降。測(cè)得巨菌草莖稈抗彎強(qiáng)度的最大值為31.7 MPa，最小值為24.1 MPa，平均值為27.7 MPa，彈性模量平均值為697.5 MPa。

4 數(shù)據(jù)擬合

4.1 巨菌草莖稈拉伸特性曲線擬合對(duì)比

選取拉伸試驗(yàn)圖2中的第二根曲線進(jìn)行擬合，分別利用普通最小二乘法中16次數(shù)多項(xiàng)式和MLS來擬合巨菌草莖稈拉伸力學(xué)性能曲線。再利用Matlab語言編程將拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線繪制對(duì)比圖形。圖5為巨菌草拉伸應(yīng)力-應(yīng)變的MLS和多項(xiàng)式擬合曲線。圖6為其擬合誤差對(duì)比結(jié)果，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，MLS擬合得到的擬合曲線精度更高，其相對(duì)誤差范圍在-0.01～0.01。而利用16次多項(xiàng)式來擬合曲線，其相對(duì)誤差較大。

4.2 巨菌草莖稈壓縮特性曲線擬合對(duì)比

選取壓縮試驗(yàn)圖3中的第四根曲線進(jìn)行擬合，利用普通最小二乘法中16次數(shù)多項(xiàng)式和MLS來擬合巨菌草莖稈力學(xué)性能曲線，繪制應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線（圖7）。通過對(duì)比擬合曲線誤差（圖8），用MLS擬合得到的力學(xué)性能數(shù)據(jù)更準(zhǔn)確，其相對(duì)誤差范圍在-0.05～0.05。而利用16次多項(xiàng)式來擬合曲線，其相對(duì)誤差較大。

4.3 巨菌草莖稈彎曲特性曲線擬合對(duì)比

選取彎曲試驗(yàn)圖4中的第二根曲線進(jìn)行擬合，利用普通最小二乘法中16次數(shù)多項(xiàng)式和MLS來擬合巨菌草莖稈力學(xué)性能曲線（圖9、圖10）。對(duì)擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析，得到MLS方法擬合數(shù)據(jù)誤差更低，其相對(duì)誤差范圍在-0.05～0.05，而利用16次多項(xiàng)式來擬合曲線，其相對(duì)誤差明顯較大。

5 小結(jié)

利用移動(dòng)最小二乘法（MLS）擬合巨菌草莖稈力學(xué)特性曲線，無需擬定擬合函數(shù)的形式，無需分段處理，方法具有通用性，可以通過選取不同權(quán)函數(shù)控制擬合曲線的光滑度，通過選取不同的基函數(shù)控制擬合曲線的精度[9]。

本研究使用移動(dòng)最小二乘法（MLS）對(duì)巨菌草莖稈拉伸特性曲線行擬合，并與分段最小二乘法進(jìn)行了比較，與其他擬合方法相比，移動(dòng)最小二乘法（MLS）具有許多優(yōu)點(diǎn)：①有較高的精度，可以得到更準(zhǔn)確的抗拉彈性模量；②可通過調(diào)節(jié)參數(shù)來得到合適的基函數(shù)和權(quán)函數(shù)，從而獲取平滑的曲線，避免了求解病態(tài)方程組的系數(shù)矩陣的情況；③移動(dòng)最小二乘法（MLS）作為新的數(shù)據(jù)擬合方法，有著很強(qiáng)的通用性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張進(jìn)國，雷荷仙，黎紀(jì)鳳，等.巨菌草在不同海拔高度的生長表現(xiàn)[J].貴州農(nóng)業(yè)科學(xué)，2013（3）：112-115.

[2] 廖宜濤，廖慶喜，田波平，等.收割期蘆竹底部莖稈機(jī)械物理特性參數(shù)的試驗(yàn)研究[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2007（4）：124-129.

[3] 沈 成，李顯旺，田昆鵬，等.苧麻莖稈力學(xué)模型的試驗(yàn)分析[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2015（20）：26-33.

[4] 劉衛(wèi)星，王晨陽，王 強(qiáng)，等.不同玉米品種莖稈抗倒特性及其與產(chǎn)量的關(guān)系[J].河南農(nóng)業(yè)科學(xué)，2015（7）：17-21.

[5] 劉 丹，孫金瑋，魏 國，等.移動(dòng)最小二乘法在多功能傳感器數(shù)據(jù)重構(gòu)中的應(yīng)用[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2007（8）：823-828.

[6] LANCASTER P，SALKAUSKAS K. Surface generated by moving least squares method[J].Math Computation，1981，37（155）：141-158.

[7] 中國林業(yè)科學(xué)研究院. GB/T1927-1943-91，中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)：國家木材物理力學(xué)性質(zhì)試驗(yàn)方法[S].北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，1991.

[8] 中國林業(yè)科學(xué)研究院. GB/T15780-1995，中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)：國家竹材物理力學(xué)性質(zhì)試驗(yàn)方法[S].北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，1995.

[9] 蔣 博，蔡曉龍.基于matlab的移動(dòng)最小二乘法數(shù)據(jù)擬合[J].數(shù)字技術(shù)與應(yīng)用，2015（10）：110-111.