PA-DDS算法在HBV模型參數優化中的應用

代 旭, 陳元芳

(河海大學 水文水資源學院，南京 210098)

0 引 言

水文模型是模擬降雨徑流關系的工具，這些模型在結合流域產匯流機制的基礎上定量分析了出流過程線[1]。模型模擬的精度跟許多因素有關，比如資料的誤差，模型結構，參數的相關性及其準確性等。模型參數優化在確定了模型的結構以后對模型的模擬結果起重大作用。

在水文模型參數率定的兩種方法中，試錯法是人工率定的主要方法，簡單易行，但需要大量的計算時間[2]。自動率定方法是目前發展較快且應用廣泛的參數率定方法。自動率定法包括局部尋優和全局尋優兩種方法。針對單峰函數，局部尋優法可以有效快速地找到最優解，而全局尋優法通過全局尋優避免最優解限制于局部空間內。

水文模型參數率定方法分為單目標[3]和多目標率定兩種[4]。多目標優化算法作為全局優化的重要組成部分，其目的在于搜尋可行的參數空間并找出其Pareto最優解集[5]。目前多目標優化算法有NSGA-Ⅱ[6]法、MOGA法[7]、PAES法[8]、AMALGAM法[9]等。其中NSGA-Ⅱ算法作為其他多目標尋優算法性能檢驗的標準，具有尋優速度快，解集分布廣泛且均勻的優點。AMALGAM算法通過對四種相關算法分配權重從而實現信息交換同時尋優，解的收斂性能較好。本文將PA-DDS算法與NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法在收斂性能方面進行了對比，比較了PA-DDS算法與AMALGAM算法的Pareto前沿，并將其用于HBV參數優化中，結合巴格瑪蒂河流域相關資料驗證了該方法的可行性和適用性。

1 PA-DDS算法

Tolson和Shoemaker于2007年提出了動態維度搜索(Dynamically Dimensioned Search, DDS)算法[10]，并與混合競爭優化(Shuffled Complex Evolutions, SCE[11])算法進行詳細比較，結果表明：當迭代次數有限且維度不小于10時，DDS算法明顯優于SCE算法。Tolson和Asadzadeh在Pareto存檔進化策略(Pareto Archived Evolution Strategy, PAES)的啟發下，使用DDS搜索機制，并在搜索過程中存檔所有非劣解，提出了處理多目標問題的Pareto存檔動態維度搜索(Pareto-Archived Dynamically Dimensioned Search, PA-DDS)算法[12]，應用實例表明PA-DDS算法具有較高的計算效率。

PA-DDS方法的主要步驟(圖1)為：

步驟一，定義具有n個目標函數的多目標優化問題。

步驟二，利用DDS算法實行n個優化路徑從而最小化每一個目標函數，同時存檔外部解集中的所有非劣解。

步驟三，計算外部解集中解的擁擠距離，并基于此選擇非劣解。

步驟四，通過擾動參數產生新解，并將新解與外部解集中的解進行比較，如果未達到計算量，且新解是非劣解，那么新解即為當前最優解，否則重新對當前解擾動產生新解；若達到計算量，則停止迭代，外部解集中的解即為折中解的估計值。

2 HBV模型

HBV(Hydrologiska Fyrans Vattenbalans Modell)主要用于河流流量預測和河流污染物傳播，由瑞典水利氣象研究中心開發[13]。張建新[14]等將HBV模型應用于中國東北多冰雪地區，建立了考慮融雪的洪水預報系統；張小琳[15]等對HBV的實際蒸散發模型進行了評估；李海川[16]等將HBV模型應用到湯旺河流域進行參數敏感性分析，并在此基礎上率定參數。

2.1 模型特征

HBV模型是半分布式的概念模型，包括氣象插值、積雪累積融化、蒸散發估計子程序、土壤水分計算程序、徑流產生程序、路徑選擇程序。模型輸入數據包括觀測雨量、氣溫以及可能蒸散發估計量。氣溫用來計算積雪累積和融化，在無積雪地區溫度項可以忽略。

2.2 模型參數

模型參數包括8個初始給定參數，分別是：SP為雪蓋厚度，單位為mm，WC為雪的等效水量，單位為mm，SM為土壤水分，單位為mm，UZ為上層土壤需水量，單位為mm，LZ為下層土壤蓄水量，單位為mm，WHC為雪的滯水能力因子，CFR為再冰凍因子，INOUT表示地下水入流量/出流量，Inflow>0，Outflow<0。8個初始給定參數的數值見表1。

表1 HBV模型初始給定參數及其數值Tab.1 Initial parameters and their numerical values of HBV model

圖1 PA-DOS流程圖Fig.1 Flow chart of PA-DOS

模型還包括9個待優化可變參數，分別是：FC為土壤蓄水量閾值，單位為mm，LP為潛在蒸散發能力閾值，單位為mm，ALFA為描述隨著響應水庫含水量的減少徑流產生非線性衰減的參數，BETA為控制響應函數的參數或每毫米降雨積雪融化所得到的土壤蓄水量的增加值，K為上層響應水庫的消退系數，K4為下層響應水庫的消退系數，PERC為從上層相應水庫到下層響應水庫的滲漏，CFLUX為毛管含水量的閾值，MAXBAS為轉移函數參數。

3 優化過程

利用PA-DDS優化算法對HBV模型9個待優化可變參數進行優化。

3.1 參數初始值及尋優空間

基于研究流域的特點及參數的物理意義，給出9個參數的初始值并通過人工率定法給出參數的閾值(表2)。

表2 HBV模型待優化參數的初始值及閾值Tab.2 The initial value and threshold value ofthe optimized parameters

3.2 目標函數

Madsen[17]和Mertens[18]提出了對于優化算法以均方根誤差(RMSE)為目標函數，因此本文目標函數選作高低流量均方根誤差，對應的方程分別是：

(2)

式中：Qobs、Pobs分別為高低流量觀測值；Qcal、Pcal分別為高低流量模擬值；n為實測資的長度。

4 應用實例

巴格瑪蒂河位于尼泊爾加德滿都谷地，發源于肖普里山，匯入恒河，降水是主要補給源，流域面積2 900 km2。

本文將PA-DDS算法收斂性能與NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法進行對比(圖2)，并將非劣解分布的均勻性及解的相似性方面與AMALGAM進行比較(圖3)，選取巴格瑪蒂河2005-2011年期間洪水日徑流過程數據進行分析，多目標同時考慮高流量與低流量的均方根誤差，優化過程采用PA-DDS算法進行計算，分析生成Pareto最優解，從圖中可以看出來Pareto曲線為下凸曲線，有明顯的拐點，從而滿足獲得最優解的條件。

4.1 算法收斂性能分析

基于超體積(Hyper-Volume)在評價Pareto前端收斂性、寬廣性和均勻性時表現出來的客觀性[19]，本文選擇超體積作為指標來判斷PA-DDS算法與NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法的求解質量。其定義如下：

Hv=volume(∪NPFi=1vi)

(3)

式中：NPF為最終Pareto前沿上解的個數；vi為Pareto前沿上第i個解與參照點圍成的體積。

圖2 不同算法超體積收斂曲線Fig.2 Hyper-Volume convergence curve of different algorithms

從圖2中可以看出，由于AMALGAM算法與NSGA-Ⅱ算法初始種群數都要大于PA-DDS算法，所以在優化過程初期，前者超體積大于后者。對于目標函數最小化的雙目標優化問題，超體積值越大，表明Pareto前沿解的分布廣度越大。從圖2中也可以看出，當迭代次數大于200次時，PA-DDS非劣解的廣度都要優于其他兩種方法，同時AMALGAM算法、NSGA-Ⅱ算法在迭代次數分別達到100次和200次時，超體積值穩定，算法收斂；而PADDS算法當迭代次數達到270次時才趨于穩定，表明AMALGAM算法和NSGA-Ⅱ算法在HBV參數優化過程中相比于PA-DDS算法更快趨向于收斂。

4.2 非劣解分布分析

從圖2中可以看出，PA-DDS算法和AMALGAM算法在達到收斂時兩者對應的超體積值相對接近，所以將兩種算法求解的目標函數值進行對比分析。將兩種算法的Pareto前沿繪制在圖3中。

圖3 不同算法得到的Pareto前沿Fig.3 The Pareto front obtained by different algorithms

基于PA-DDS算法的動態存檔機制，其在求解過程中不會剔除所有非劣解，所以從圖3中可以看出，PA-DDS算法所得到的Pareto前沿的廣度和數量要優于AMALGAM算法。同時在目標函數同時達到最小值的區域附近，兩種算法Pareto解集比較接近，說明適用于巴格瑪蒂河流域的HBV模型參數優化問題中兩種算法的尋優性能相似，但PA-DDS算法非劣解分布更加密集且均勻，其算法表現相對更優。

4.3 尋優速度及穩定性分析

為分析PA-DDS算法和AMALGAM算法的尋優速度和穩定性，記錄PA-DDS算法和AMALGAM算法各自獨立運行15次的時間，并將兩者得到的Pareto前端繪于圖4。

統計15次實驗運行時間PA-DDS算法平均耗時135 s，AMALGAM算法平均耗時144 s，所以前者尋優效率優于后者。從圖4中可以看出，兩種算法在目標函數同時達到最小值的附近區域，解集分布都相對集中；在其中一個目標函數趨于較大值，另一個目標函數趨于較小值的區域附近，解集分布都相對分散，表明兩種算法能得到質量較高的非劣解。同時可以看出，無論在哪個區域，PA-DDS算法所得非劣解集分布更為集中，表明該算法在HBV模型參數優化問題中具有良好的穩定性。

圖4 不同算法15次獨立實驗得到的Pareto前沿Fig.4 The Pareto front obtained by 15 independent experiments with different algorithms

4.4 優化結果

將PA-DDS算法所得Pareto前沿中目標函數同時達到最小值時的參數組作為最優參數組，結果見表3。選取2013年作為驗證期來檢驗PA-DDS算法參數優化結果(圖5、表4)。

表3 最優參數組數值Tab.3 The value of optimum parameter array

圖5 2013年流量擬合效果圖Fig.5 Discharge Fitting effect in 2013

表4 PA-DDS算法與HBV結合的結果統計表Tab.4 PA-DDS algorithm combined with HBV results statistics

由表4可以看出，用PA-DDS多目標優化算法對HBV模型參數優化結果，擬合5場洪水確定性系數平均值為0.86，其中0.85以上的有3場，接近0.9的有2場。以上結果表明，用PA-DDS多目標優化算法對HBV模型參數優化的結果令人滿意。

5 結 語

(1)本文將PA-DDS多目標優化算法在收斂性能方面對比NSGA-Ⅱ算法和AMALGAM算法，并將非劣解分布的均勻性及解的相似性方面與AMALGAM進行比較，利用尼泊爾巴格瑪蒂河流域資料，采用PA-DDS算法對HBV模型參數進行優化，并選取五場歷史洪水對優化結果進行了檢驗，發現PA-DDS算法尋優速度快，非劣解分布范圍廣并且穩定，以確定性系數為指標，模型擬合效果較好。

(2)分析PA-DDS算法對于其他水文模型的適應性是今后研究的重點。

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