以阻抗邊界條件計算導電半無窮空間中的交變電流分布

王 川

(武漢大學 電氣工程學院，武漢 430072)

0 引 言

在許多實際問題中需要考慮導電媒質為半無窮空間的情形，例如直流輸電或配電網接地故障等。作為半無窮空間的導電媒質可以是大地，也可以是湖水，海水等[1]。在許多應用中，需要考慮電極附近的電流場特性，且激勵源并非僅限于直流源，故用來描述遠離電極區域的無源Laplace方程或齊次Helmholtz方程就需要進行修改以反映電極附近區域的電流場特性。為此，我們將從Maxwell方程組出發推出含有激勵源項的非齊次Helmholtz方程。由于電源可被視為維持電極上自由電荷的裝置，我們可據此物理地理解非齊次項為電荷密度的函數的原因。另一方面，由于這類模型龐大的計算域而使得純數值方法的運用受到了限制，我們將考慮解析-數值混合方法。為了避免分離變量法的復雜性，我們直接應用阻抗邊界條件得到關于電流密度的第一與第三邊值條件，再用Green函數求解。對于(半)球形電極，計算時可直接視為點電極，而對于垂直線狀電極，我們將建立關于電荷密度的變分，為此將靜電勢能表為電荷密度的函數，并以Ritz法極小化此變分，從而得到電荷密度分布。

1 邊值問題的建立

×H=κE+iωεE

(1)

(2)

式中：ω為激勵源頻率。由式(1)，式(2)和Ohm定律。

J=κE

(3)

得到導電空間中電流密度的方程為：

(·J)-ΔJ=-iωκμJ

(4)

·J=-iωρ

(5)

代入式(2)得到一非齊次Helmholtz方程：

ΔJ+k2J=-iωρ

(6)

式(5)、式(6)中的ρ為激勵源(電極)上的電荷密度，且-iωκμ=k2。式(6)在直角坐標系中等價于3個標量方程：

(7)

式中：Jx，Jy，Jz分別為電流密度J的3個分量。

為得到邊值，我們考慮阻抗邊界條件[2]：

E-(n·E)n=γZ0n×H

(8)

其中，n為單位外法向量，

(9)

式中：Z0為自由空間特征阻抗；μ0，ε0分別為自由空間的磁導率和介電常數。參數γ定義為：

(10)

式中：εr，μr分別為導體的相對介電常數與相對磁導率。

只要|1/γ|?1阻抗邊界條件就可以應用。若頻率不是太高，式(10)總是可以滿足的。

將：

(11)

代入式(8)右邊，我們得到：

(12)

考慮電場強度切向分量的連續性并注意在導體表面有Ez=0，我們最終得到電流密度的邊界條件為：

(13)

(14)

Jz=0

(15)

至此，我們已對Jx，Jy建立第三邊值問題而對Jz建立第一邊值問題。

2 Green函數的構造

為得到上述邊值問題的Green函數，我們考慮Helmholtz方程的基本解：

(16)

式中：(x,y,z)和(ξ,η,ζ)分別為場點與源點。由于導體表面為一無窮大平面，故可運用鏡像法得到第三邊值問題的Green函數為[3]：

(17)

其中：

(18)

(19)

(20)

(21)

第一邊值問題的Green函數為：

(22)

式(17)，式(22)的構造已考慮Sommerfeld輻射條件：

(23)

3 以Green函數法解電流密度邊值問題

令：

(24)

則邊值問題，式(13)～式(15)之解可表為：

r=xex+yey+zez,R=ξex+ηey+ζez,

m=x,y,z

(25)

式中：VR為源函數KM(R)所在的區域，而KM(R)需要事先給定，這是與電極形狀有關的函數。若兩電極為(半)球狀且其間距d遠大于電極自身的半徑，則可視兩電極為點電極，KM(R)可以Dirac-δ函數描述即：

M=ξ,η,ζ

(26)

式中：q為單個電極上的電荷量，K1，K2分別為兩點電極的坐標(-d/2,0,0)和(d/2,0,0)，將兩點電極之間的連線取為x軸并將導電半空間表面取為z=0，如圖1所示。

圖1 點電極激勵的導電半空間Fig.1 The conducting half-space excited by the point electrodes

為了便于應用，可由：

(27)

將電極電荷量q以流經系統的總電流I代替，注意流出為正流入為負的電流符號規則。

采用表示法：

(28)

并考慮Dirac-δ函數導數的性質：

(29)

即得：

m=x,y,z,M=ξ,η,ζ

(30)

引入函數：

(31)

則式(30)可寫為：

(32)

(33)

(34)

其中：

(35)

(36)

(37)

(38)

總電流密度為：

(39)

在實際情況中常見的還有線狀電極。設有一垂直于地面的線狀電極，若其長度l遠大于其半徑，則可將其視為一維桿0≤ζ≤l，設其上電荷垂直密度分布為ρz(ζ)，在激勵源頻率不太高的準靜態情形，則其將使靜電勢能達到最小。

(40)

積分域D為：

0≤ζ1≤l,0≤ζ2≤l,|ζ1-ζ2|≥c>0

式中：c為一充分小的正數以使式(40)不含奇點(位于ζ1=ζ2上)并使數值計算結果足夠精確。

運用Ritz法[4]，設：

(41)

則若令a0=q/l即能滿足條件：

(42)

將式(41)代入式(40)得U=U(a1,a2, …,a2n)。

并使：

(43)

即可得到關于a1,a2,…,a2n的線性方程組，從而得到線狀電極上電荷密度的垂直分布ρz(ζ)。

在ω=0的直流激勵源情形，電流密度式(32)～式(34)將變為：

(44)

(45)

(46)

總電流密度為：

(47)

式中：r1，r2分別由式(35)，式(36)表出。這是兩半球電極直流電流在均勻導電媒質中擴散的熟知結論[5]。

4 數值計算

以下我們給出算例，各參數取值如下：激勵源角頻率ω=100 π rad/s；電極距離d=50 m；電導率κ=0.1 S/m；相對磁導率μr=1；相對介電常數εr=50；總電流I=50 A；電極長度l=10 m；計算范圍-50≤x≤50，-25≤y≤25，z=2。先計算兩個點電極激勵的電流密度分布，結果如圖2。

圖2 點電極激勵的電流密度場Fig.2 The field of current density excited by point electrodes

圖2顯示了由于點電極形狀與位置的對稱性所導致的電流密度場的對稱性。電流密度場在離開點電極區域后衰減很快。

再考慮垂直棒狀電極與點電極組成的系統。設棒狀電極長度l=10 m，位于x=-25，y=0，0≤z≤10， 則運用Ritz法求得：

(48)

在式(40)的計算中取c=10-9。這種情況下依式(25)算得的電流密度分布如圖3所示。

圖3 線狀電極-點電極激勵的電流密度場Fig.3 The field of current density excited by linear-point electrodes

圖3顯示點電極附近比線狀電極附近 的電流密度場衰減更快。這是合理的，因為線狀電極上電荷的縱向分布使得電流在其附近的擴散區域更廣。

5 結 語

以非齊次Helmholtz方程與阻抗邊值條件可以建立時諧激勵源在導電半無窮空間中產生的電流密度場模型。以Green函數法可將整個導電區域的電流密度場表為公式，這些公式僅在電極本身所處的區域具有奇異性。本文公式在ω=0的特殊情形與已知結果一致。另外，為求得運用Green函數法所必須的源分布，可用Ritz法極小化關于電荷密度的靜電勢能函數的變分，此法對于線狀電極可以非常簡單地實行。數值計算表明本文的混合方法可以方便地應用于可化為這類模型的實際問題中。

□

[1] H Buchholz. Das elektromagnetische feld eines in seewasser parallel zum spiegel verlegten, geraden, stromdurchflossenen, isolierten drahtes mit blanken enden in dem dreifach geschichteten raum: luft, wasser, erde[J]. Archiv für Elektrotechnik, 1962,(2):80-105.

[2] T B A Senior. Impedance boundary conditions for imperfectly conducting surfaces[J]. Appl. Sci. Res., 1960,(8):421-426.

[3] A D Polyanin, A V Manzhirov. Handbook of mathematics for engineers and scientists[M]. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007.

[4] W Ritz. über eine neue Methode zur L?sung gewisser Randwertaufgaben[J]. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, 1908,(3):236-248.

[5] E Slob and K. Wapenaar. Green's function extraction for interfaces with impedance boundary conditions[J]. IEEE Transactions on Antennas and Progation, 2011,(5):1-8.

[6] Y Shi. Discretization methods for battery systems modeling[C]∥ American Control Conference, 2011.

[7] 謝廣潤. 電力系統接地技術[M]. 北京: 中國電力出版社, 1996:95-96.

[8] G Szymanski. Current distribution along a vertical earth electrode of finite length[J]. Archiv für Elektrotechnik, 1989,72:7-10.

[9] L Hannakam und N Sakaji. St?rung der Potentialverteilung des strombeschikten Erdreiches durch Erzeinschlüsse[J]. Archiv für Elektrotechnik, 1985,68:57-62.

[10] M Sadaki, P Diament. Power flow between adjacent electric dipoles[J]. IEEE Antenna's and Propagation Magazine, 2002,44(6):68-76.