用數值方法求解離心泵運行工況點

王曉敏，朱滿林，李小周，常金梅

(西安理工大學西北旱區生態水利工程國家重點實驗室培育基地，西安 710048)

水泵工況點是指水泵在某一瞬時的實際工作參數，包括流量Q、揚程H、軸功率N、效率η等。水泵基本性能曲線由流量與揚程曲線(Q～H)、流量與效率曲線(Q～η)和流量與軸功率曲線(Q～N)等組成。正確確定水泵工況點是水泵優化選型、泵站優化設計以及泵站安全經濟運行的必要條件。

確定水泵工況點的方法有圖解法和數解法。圖解法確定水泵工況點，是將水泵的流量與揚程曲線(Q～H)、裝置需要揚程曲線(Q～Hr)繪制在同一坐標系，找其交點得到水泵工作流量Q和揚程H，然后由水泵的基本性能曲線得到水泵的軸功率N和效率η等參數。圖解法概念清楚，但確定復雜供水系統水泵工況點比較麻煩。數解法確定水泵工況點，是根據水泵輸水系統裝置，列求解水泵工況點方程組，然后求解[1-3]。由于離心泵內部結構復雜，目前還沒有能夠準確描述離心泵流量與揚程性能曲線的方程形式供大家采用，所以用數解法確定水泵工況點時，可以采用數據擬合或插值的方法。對離心泵流量與揚程性能曲線的擬合方程多采用拋物線形式[4-5]，也有采用高次多項式[6-8]。顯然若采用的離心泵流量與揚程性能曲線的擬合方程形式不同，計算的結果會有差異。插值的方法在水泵工況點的求解中應用較少，Bruce E. Larock等對水泵流量與揚程特性曲線(Q～H)方程用二次多項式表示，采用二次拉格朗日插值法求解其系數，進而求解水泵工況點[9]。拉格朗日插值多項式的優點是格式整齊規范，它的缺點在于當需要增加插值節點時，拉格朗日基函數都要隨之發生變化，不得不重新計算。而且如果測試點數量較多時，插值多項式次數較高，易發生Runge現象，不一定能得到較好的結果[10]。

從水泵廠家提供的水泵性能曲線上找若干離散點，非離散點的水泵性能參數采用三次樣條插值獲得，以此對其流量與揚程性能曲線(Q～H)進行描述。采用數值方法計算，MATLAB編程確定離心泵工況點。

1 單臺離心泵運行工況點

圖1為單臺離心泵裝置及其工況點求解原理圖。

圖1 單臺離心泵裝置及其工況點求解原理Fig.1 Single centrifugal pump device and the calculating schematics of operating point

列求解水泵工況點方程組：

H=H(Q)

(1)

Hr=Hst+SQ2

(2)

H=Hr

(3)

式中：H為水泵揚程， m；Hr為裝置需要揚程，m；Q為水泵流量,m3/s；Hst為裝置靜揚程，m；S為管道阻力參數，s2/m5。

式(1)為用離散點表示的離心泵流量與揚程性能曲線，可從水泵廠家提供的水泵性能曲線上找n個點得到，即(Qi,Hi)(i=1,2,…,n),其中Q1

根據式(1)、(2)和(3)可構造函數：

F(Q)=H(Q)-Hst-SQ2=0

(4)

式(4)只有一個未知數Q，但由于離心泵流量與揚程性能曲線H=H(Q)為離散點，不能直接求解，可采用二分法求解。若F(Q1)F(Qn)>0則說明水泵工作流量不在區間[Q1,Qn]，應當重新選擇水泵。

2 離心泵并聯運行工況點

圖2所示為2臺不同型號離心泵并聯運行。

圖2 離心泵并聯裝置Fig.2 Device of centrifugal pump in parallel

列求解水泵工況點方程組：

EC=H1+Z1-SACQ21

(5)

EC=H2+Z2-SBCQ22

(6)

EC=Z+SCDQ2

(7)

Q=Q1+Q2

(8)

H1=H1(Q1)

(9)

H2=H2(Q2)

(10)

式中：EC為C點能量，m；H1、H2為泵P1、P2的揚程，m；Q1、Q2、Q為泵P1、P2流量及總流量，m3/s；Z1、Z2、Z為吸水池1、2及出水池的水位高程，m；SAB、SBC、SCD為AC、BC、CD段管道的阻力參數，s2/m5。

式(9)和(10)為用離散點表示的泵P1、P2流量與揚程性能曲線。設泵P1和P2的流量與揚程性能曲線離散點個數分別為m和n，即泵P1和P2的流量范圍分別為[Q11,Q1m]和[Q21,Q2n]。

構造函數

F1(Q1,EC)=H1(Q1)+Z1-SACQ21-EC=0

(11)

F2(Q2,EC)=H2(Q2)+Z2-SBCQ22-EC=0

(12)

(13)

具體求解步驟如下：

(1)確定EC的取值范圍。將Q11和Q1m分別代入式(11)得EC的取值范圍EC1，將Q21和Q2n分別代入式(12)得EC的取值范圍EC2，則EC的取值范圍應為EC1和EC2的交集EC12。設EC12=[ECmin,ECmax]，若EC12為空集，則表明水泵選擇不合理，應重新選泵。

(2)將ECmin分別代入式(11)和(12)，采用二分法可以求出Q1(ECmin)和Q2(ECmin)，將Q1(ECmin)和Q2(ECmin)代入式(13)得F(ECmin)。同樣將ECmax分別代人式(11)和(12)，采用二分法可以求出Q1(ECmax)和Q2(ECmax)，將Q1(ECmax)和Q2(ECmax)代入式(13)得F(ECmax)。若F(ECmin)F(ECmax)>0,則說明水泵選擇不合理，應重新選泵，否則可以采用二分法求得EC。

(3)將求得的EC分別代入式(11)和(12),采用二分法求得泵P1、P2的工作流量Q1和Q2。將Q1和Q2分別代入式(9)和(10)，可求得泵P1、P2的工作揚程H1和H2。

3 離心泵串聯運行工況點

圖3所示為2臺不同型號離心泵串聯運行。

圖3 離心泵串聯裝置Fig.3 Device of centrifugal pump in series

列求解水泵工況點方程組：

H1=H1(Q)

(14)

H2=H2(Q)

(15)

H1+H2=Hst+SQ2

(16)

式中:Q為水泵流量，m3/s；其他符號意義同前。

由式(14)、(15)和(16)可構造函數:

F(Q)=H1(Q)+H2(Q)-Hst-SQ2=0

(17)

設泵P1、P2的流量與揚程性能曲線離散點個數分別為m和n，即泵P1、P2的流量范圍分別為[Q11,Q1m]和[Q21,Q2n]，[Q11,Q1m]和[Q21,Q2n]的交集[Qmin,Qmax]即為水泵工作流量的取值范圍。

由于離心泵流量與揚程性能曲線為離散點，不能直接求解，可采用二分法求解式(17)，得到2臺泵的工作流量Q。若F(Qmin)F(Qmax)>0,則說明水泵工作流量不在區間[Qmin,Qmax]，應當重新選擇水泵，否則用二分法求解Q。

將Q分別代入式(14)和式(15)，可以求得泵P1、P2的工作揚程。

4 算 例

某供水工程取水泵站由4口大口井組成，每口井安裝3臺潛水泵，3臺水泵對稱布置。正常工作時共12臺同型號潛水泵并聯運行，見圖4。分別用數值方法和圖解法對水泵工況點進行求解。

4.1 用數值方法求解水泵工況點

列求解水泵工況點方程組:

EM=H1+Z1-3Q1/q1-S0Q21-SAM(3Q1)2

(18)

EM=H2+Z2-3Q2/q2-S0Q22-SBM(3Q2)2

(19)

EM=H3+Z3-3Q3/q3-S0Q23-SCM(3Q3)2

(20)

EM=H4+Z4-3Q4/q4-S0Q24-SDM(3Q4)2

(21)

圖4 某供水工程示意Fig.4 Schematic view of a water supply project

(22)

Q=3 (Q1+Q2+Q3+Q4)

(23)

H1=H1(Q1)

(24)

H2=H2(Q2)

(25)

H3=H3(Q3)

(26)

H4=H4(Q4)

(27)

式中：EM為M點能量，m；H1、H2、H3、H4為1～4號各井內泵的揚程，m；Z1、Z2、Z3、Z4、Z為1～4號各井內靜水位及出水池的水位高程，；Q1、Q2、Q3、Q4、Q為1～4號各井內單泵的流量及總流量，m3/s；q1、q2、q3、q4為1～4號各井內的單位出水量，m3/(s·m)；S0、S為A1A、A2A、A3A、B1B、B2B、B3B、C1C、C2C、C3C、D1D、D2D、D3D和MM1、MM2段管道的阻力參數，s2/m5;SAM、SBM、SCM、SDM分別為各下標對應管段的阻力參數，s2/m5。

式(24)～(27)為用離散點表示的1～4號各井內泵流量與揚程性能曲線。由于是同型號潛水泵并聯運行，1～4號各井內泵的流量與揚程性能曲線離散點相同，即各井內泵流量范圍相同。

構造函數：

F1(Q1,EM)=H1(Q1)+Z1-3Q1/q1-

S0Q21-SAM(3Q1)2-EM=0

(28)

F2(Q2,EM)=H2(Q2)+Z2-3Q2/q2-

S0Q22-SBM(3Q2)2-EM=0

(29)

F3(Q3,EM)=H3(Q3)+Z3-3Q3/q3-

S0Q23-SCM(3Q3)2-EM=0

(30)

F4(Q4,EM)=H4(Q4)+Z4-3Q4/q4-

S0Q24-SDM(3Q4)2-EM=0

(31)

Q2(EM)+Q3(EM)+Q4(EM)]=0

(32)

具體求解如前述離心泵并聯運行工況點求解步驟，從潛水泵性能曲線上讀得Q、H數據列于表1，各段管阻力參數列于表2，出水池水位Z,及各井內靜水位Z1、Z2、Z3、Z4列于表3，各井內單位出水量列于表4，采用MATLAB編程計算結果見表5。

表1 潛水泵流量揚程數據Tab.1 The data of submersible pump head-discharge

表2 各段管阻力參數 s2/m5

表3 出水池及各井內靜水位 m

表4 各井內的單位出水量 m3/(s·m)

表5 4口井并聯運行單泵工況點Tab.5 Single pump operating point of 4 wells in parallel

4.2 用圖解法求解水泵工況點

用AutoCAD制圖，將潛水泵流量揚程曲線Q～H繪于圖5。

圖5 潛水泵流量揚程曲線Q～HFig.5 The submersible pump head-discharge curve Q～H

如圖4所示，將泵的出口延伸到并聯點M,泵的進口延伸到絕對高程0點，也就是將并聯點前的管路阻力損失當成泵內水力損失，則每口井內假想單泵并聯運行時的揚程分別為：

H′1=H1+Z1-3Q1/q1-S0Q21-SAM(3Q1)2

(33)

H′2=H2+Z2-3Q2/q2-S0Q22-SBM(3Q2)2

(34)

H′3=H3+Z3-3Q3/q3-S0Q23-SCM(3Q3)2

(35)

H′4=H4+Z4-3Q4/q4-S0Q24-SDM(3Q4)2

(36)

由于每口井3臺假想泵具有相同的揚程，因此可以采用等揚程下流量橫加的方法得到各井3臺泵并聯運行時的流量揚程曲線。以1號井為例，將式(33)繪于圖6，即為曲線Q～H′1，等揚程下流量橫加，得到1號井3臺泵并聯運行的曲線Q～H″1。用同樣的方法可以分別得到2～4號井3臺泵并聯運行的流量揚程曲線Q～H″2、Q～H″3和Q～H″4，見圖7。圖7所示曲線則相當于4臺假想大泵的流量揚程曲線，將其等揚程下流量橫加可得到圖8所示12臺水泵并聯運行的曲線Q～H″。在圖8中同時畫出裝置需要揚程曲線Hr=Z+S(Q/2)2，則其與曲線Q～H″的交點P即為12臺水泵并聯工況點。過P點做橫坐標的平行線與Q～H″1、Q～H″2、Q～H″3、Q～H″4各曲線的交點分別為P1、P2、P3和P4(見圖7)，這些交點的橫坐標即分別為各井內3臺泵的流量QⅠ、QⅡ、QⅢ、QⅣ，其1/3就是各井內單泵工況點的流量。以1號井為例，圖6中的QⅠ=0.147 3，Q1=(1/3)QⅠ=0.049 1。得到單泵流量Q1、Q2、Q3、Q4，即可在水泵Q～H曲線上找到工況點，見圖5。計算表明，圖解法與數值方法求解該算例水泵工況點的結果一致。

圖6 1號井3臺泵并聯流量揚程曲線Q～H″1Fig.6 The 3 pumps in parallel head-discharge curve Q～H″1 of 1# well

圖7 各井3臺泵并聯流量揚程曲線Q～H″Fig.7 The 3 pumps in parallel head-discharge curve Q～H″ of each well

5 結 語

提出了求解離心泵運行工況點的一種新的數值計算方法。從水泵廠家提供的水泵性能曲線上找若干離散點，描述離心泵流量與揚程性能曲線，非離散點的水泵性能參數采用三次樣條插值獲得。給出了離心泵運行工況點的數值方法計算步驟，采用MATLAB編程，對某供水工程取水泵站多臺水泵并聯運行工況點進行了分析計算，并與圖解法進行了對比，結果表明提出的水泵工況點計算方法是可行的。

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圖8 12臺水泵并聯工況點Fig.8 The operating point of 12 pumps in parallel

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