基于復變函數法的準靜電場電容分析與有限元仿真

占銀玉，鄧甲昊,葉 勇,劉士川

(1.北京理工大學機電動態控制重點實驗室，北京 100081；2.北京理工大學機電學院，北京 100081)

基于復變函數法的準靜電場電容分析與有限元仿真

占銀玉1，2，鄧甲昊1，2,葉 勇1，2,劉士川1，2

(1.北京理工大學機電動態控制重點實驗室，北京 100081；2.北京理工大學機電學院，北京 100081)

針對高速運動目標的精確定距問題，提出應用復變函數法對基于準靜電場的耦合式電容探測器進行電容分析。該方法適用于分析對稱模型，簡單有效，計算結果更為精確，直接反映電容與電極結構參數間的關系。有限元仿真結果分析表明,增大電極直徑對提高傳感器探測靈敏度效果更為顯著，而極間距大小對靈敏度的影響具有一定的限度，選擇時需綜合考慮探測距離及范圍要求。復變函數法電容計算公式和有限元仿真結果均與靜態實驗結果吻合，為后續優化實驗方案指明了方向。

電容探測器；復變函數法；有限元仿真；準靜電場

0 引言

坦克作為地面裝甲的主要武器，在地面作戰中發揮著重要作用，如何為坦克裝甲提供有效而不失機動性的保護，始終是技術人員需要解決的難題[1-2]。主動防護系統(Active Protection System，APS)作為一種新型的防護系統，可有效地主動保護坦克，這對保證坦克和乘員的安全至關重要。主動防護系統的優勢已經在近年來的軍事活動中突顯[3]，美國、俄羅斯、德國等國家的研究人員都在積極研發主動防護系統，目前我國也在加緊開展主動防護系統的研究工作[4]。電容探測作為一種探測手段，已在引信領域得到廣泛的應用[5]。工作于準靜電場的電容探測器具有近程探距精度高、抗干擾能力強、反隱身效果好等優點[6]。因此，將電容探測器應用于主動防護系統來探測高速來襲目標具有明顯的優勢，為主動防護系統開辟了新的思路。

目前主動防護系統需迫切解決對高速運動目標的精確定距問題[7]，進一步提高電容探測器的探測靈敏度，其電極結構參數的優化設計是實現優化性能的第一步[8]。本文采用復變函數法對工作于準靜電場的電容探測器電容進行分析，討論不同的結構參數對傳感器靈敏度的影響規律，通過Maxwell仿真實驗獲取電容與彈目距離之間的關系。

1 平面電容探測器原理

如圖1所示，電容探測器主要包含平面電容、振蕩電路、絕緣塊和接地板四個部分。平面電容由激勵電極和接收電極組成。振蕩電路為克拉波振蕩器，產生正弦信號來驅動激勵電極，在空間建立準靜電場。電極片放置在絕緣塊上，避免與接地板的直接接觸。接地板為導體且接地，可屏蔽電極另一側的環境干擾。

圓片電極受邊緣效應和尖端效應影響較小，且制作簡單，是一種比較理想的電極片。Φ1和Φ2為激勵電極和接收電極直徑，Φ1=Φ2，D為兩電極相鄰邊緣之間的距離。

根據鏡像電荷法原理，不考慮激勵電極和接收電極直徑，將其視為兩個質點A和B。可得出如下假設：1)所有的自由電荷都集中到電極的幾何中心；2)根據電場極化理論，可用點電荷Qt(即極化電荷)代替運動的目標。假設T在A和B上方的任意一個位置，A到TO的距離為l1，B到TO的距離為l2，L為電極A和B之間的距離，L=l1+l2，h1為絕緣塊的厚度，h為彈目距離，Φa、Φb為電極A、B的電勢，Qa、Qb分別為電極A、B所帶的電荷，Qt為極化電荷，具體參數如圖2所示。

當無運動目標時，電極A和B之間的電壓可以表示為：

Uab=Φa-Φb

(1)

如圖2(b)所示，當有運動目標時，由疊加原理可得電極A的等效電勢表示為：

(2)

電極B的等效電勢可表示為：

(3)

因此，式(1)可變為：

(4)

等式(4)減去等式(1)可得：

ΔUab=uab-Uab=

(5)

式(5)直接給出電極、來襲目標的位置信息與檢波電壓之間的關系。顯然，參數L主要與電極的設計參數有關，電極直徑和極間距可確定L的值。l1與目標著靶軌跡有關，h為彈目距離。由式(5)可以得出如下結論：當目標接近坦克，彈目距離逐漸減小。通過數值分析可得ΔUab與h之間的關系，如圖3所示。當彈目距離較大時，檢波電壓幾乎不變，隨著彈目距離減小，電壓急劇上升。

2 復變函數法的電容分析

電磁學中，對電場的分析通常是在一個三維空間討論，而對稱模型可利用復變函數從剖切面討論平面電場問題[9]。本文利用復變函數分析平面電容板間的電容，該函數滿足解的唯一性定理。復變函數

w(z)=w(x+jy)=u(x,y)+jv(x,y)

(6)

作為獨立自變量z=x+jy=rejφ的分析函數，其實部u(x,y)和虛部v(x,y)在定義域D中滿足柯西-黎曼條件。工作于準靜電場的電容探測器須滿足拉普拉斯方程。忽略邊緣效應，若邊界條件滿足，可看作是勢函數的解，綜合柯西-黎曼條件和拉普拉斯方程可得出：

▽u·▽v=0

(7)

準靜電場中，若虛部為待求電場勢函數，則實部為待求電場強度通量函數[10]。

選對數為解析函數有：

w(z)=Alnz=Aln(rejφ)=Alnr+jAφ

(8)

模型剖切面如圖4所示，電極A與X軸之間的夾角φ1=0，電極B與X軸之間的夾角φ2=π，邊界條件如下：

(9)

兩極板間的電壓為

V0=v2-v1=Aπ

(10)

因此，由式(9)、式(10)可得：

V=v-v1=V0φ/π

(11)

Z方向單位長度的電場強度通量

(12)

如圖5所示，dL為寬度方向線元。故總電場強度通量為：

(13)

式(13)由Maple軟件求得精確解，電荷Q為：

(14)

因此兩電極產生的電容可計算為：

(15)

與有限元法、表面電荷法、模擬電荷法等算法相比，復變函數法更為簡單有效，且獲得的平面電容傳感器電容值關系式更加精確，直接反映電容與極間距、電極直徑間的關系。但該理論是對無運動目標的探測模型進行分析，故不能得出目標來襲時電容變化量與電極直徑、極間距之間的關系。故本文通過Maxwell有限元仿真對復變函數法求得的電容公式進行驗證，結合驗證結果研究提高耦合式電容傳感器探測靈敏度的方法。

3 有限元建模與仿真

3.1 有限元建模

Maxwell仿真軟件在相對介電系數為常數的靜電場，通過電場儲能的形式計算出平面電容探測器的電容值[11]。利用Maxwell進行靜電場仿真并計算電極間電容值，需簡化模型。如圖6(a)所示以目標和傳感器為主體，包括鐵磁目標、電極、絕緣塊和接地板。絕緣塊的材料為有機玻璃，極片A、B的材料為銅，目標和接地板材料為鐵。該模型為多導體模型，結構電容Cab、Cad、Cbd遠遠大于互電容Cat、Cbt、Cdt，如圖6(b)所示，Cad、Cbd在彈目交會過程中變化小，故本文中仿真所得電容矩陣取Cab為最后結果[12]。

接下來，根據仿真需要設定邊界條件。通過Maxwell參數優化和掃描功能，動態分析不同電極結構參數條件下彈目距離與電容變化量之間的關系。

3.2 理論與仿真結果對比

式(15)確定了在無運動目標時圓形極片電容值與電極直徑、極間距之間的關系。由于接地板和絕緣塊對空間電場的影響，系統實際相對電容率增大且未知。故本文通過選取初值計算比值的方法，驗證理論數據與仿真結果的一致性。

如圖7(a、b)所示，基于復變函數法的靜電場電容分析是在無限空間中求解，而Maxwell有限元仿真數據受求解域大小影響，故理論與仿真結果存在一定的誤差。由理論與仿真曲線對比可看出電極直徑對探測靈敏度的影響更為顯著，極間距對于提高傳感器探測靈敏度具有一定的限度。

傳感器電極間形成的電場如圖8所示，兩電極間的電場線分布密集，是感應來襲目標的主要區域，故傳感器尺寸一定時，為了滿足傳感器探測范圍及距離要求，需選擇合適的極間距，過小會導致探測范圍小，過大則會導致探測距離減小。

3.3 電極結構參量仿真結果分析

不同極間距條件下，彈目距離與電容變化量間的關系如圖9(a)所示。在相同彈目距離和電極直徑條件下，極間距越小，探測靈敏度越高。圖9(b)為靜態目標特性實驗結果，描述了彈目距離與檢波電壓變化量之間的關系。比較圖9(a)和(b)可看出仿真結果與實驗結果吻合。

相同極間距，不同電極直徑條件下仿真結果如圖10(a)所示，圖10(b)為靜態實驗結果，在其他參數相同時，增大電極直徑可提高傳感器探測靈敏度。

由圖9(a) 、圖10(a)仿真曲線對比可看出減小極間距對探測距離影響小，在彈目距離小于100mm才有明顯差別。而電極直徑對探測距離影響顯著，彈目距離在400～500mm時已有較大差別。通過以上兩組實驗對比可得出結論：在傳感器尺寸一定時，增大電極直徑可提高系統探測距離，極間距不宜過大或過小，需結合探測范圍考慮。與上一節理論分析結論完全吻合，驗證了準靜電場的復變函數法電容分析理論的正確性。

4 結論

本文提出了一種對工作于準靜電場的耦合式電容探測器應用復變函數法分析其電極片結構參數與電容值之間關系的計算方法。該方法適用于分析對稱的靜態模型，簡單有效，計算結果更為精確。有限元仿真結果分析表明,增大電極直徑對提高傳感器探測靈敏度效果更為顯著，而極間距大小對靈敏度的影響具有一定的限度，選擇時需綜合考慮探測距離及范圍要求。準靜電場的復變函數法電容計算公式和Maxwell有限元仿真結果均與靜態實驗結果吻合，對進一步提高傳感器的探測靈敏度提出更好的優化措施。但該方法不適用于分析目標來襲時電容變化量與結構參數之間的關系，具有一定的局限性，如何改進該方法成為下一步研究的重點。

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Finite Element Simulation and Capacitive Analysis Based on Complex Variable Method of Quasi-electrostatic Field

ZHAN Yinyu1,2, DENG Jiahao1,2, YE Yong1,2, LIU Shichuan1,2

(1.Science and Technology on Electromechanical Dynamic Control Laboratory, Beijing 100081, China; 2.School of Mechatronical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Aiming at the distance determination problem of high-speed motion targets, a capacitive analytic approach based on complex variable method was proposed for the planar capacitive coupling sensor working in quasi-electrostatic field. This approach, applying to analyze symmetry model, needed little calculation and more accurate. It directly reflected the relation between the capacitance and electrode structural parameters. Simulation results showed that increasing electrode diameter had a major influence on improving the sensitivity, and electrode spacing had no significant effect. Proper electrode spacing needed to be selected in order to meet the detection range and distance. A good agreement was obtained by the theoretical comparison. These results contributed the experiment schemes improvement and optimization in the future work.

capacitance sensor; complex variable method; finite element simulation; quasi-electrostatic field

2016-08-21

占銀玉(1990—)，女，安徽桐城人，碩士研究生，研究方向：電容引信、信號處理。E-mail:1300462282@qq.com。

TJ434.1

A

1008-1194(2017)01-0008-05