大學物理和場論課程中的協變性淺談

王雯宇 王絲雨 許 洋

(北京工業大學應用數理學院，北京 100124)

教學研究

大學物理和場論課程中的協變性淺談

王雯宇 王絲雨 許 洋

(北京工業大學應用數理學院，北京 100124)

本文主要論述了物理量的協變性質在大學物理和場論教學中的重要性。 首先以圖示的辦法形象地講解電磁場的洛倫茲變換，同時指出協變性的理解可以使學生更加深刻理解電磁學理論的本質。論文證明n階反對稱張量在行列式為1的矩陣變換下是不變的， 因此四階反對稱張量εμ νρ σ自然是協變的， 矢量和軸矢量的鏡像變換性質是不一樣的。 論文還指出協變性是對物理公式變換性質的表述，物理量會因為形式不同而有不同的協變性的理解。論文以場論散射截面的協變性質為例， 指出不同理解的差別與聯系。

協變性；電磁場的變換；反對稱張量；散射截面

1 提出問題

對稱性是物理學研究的一項重要內容。根據諾特爾定理[1]，每一個連續的對稱性都有一個守恒流與之對應。 因此當我們發現了一種對稱性之后，就意味著找到了一個守恒量，從而揭示了一個深刻的物理規律。 對稱性如此重要，以至于當我們研究一個物理系統或構建一個物理模型的時候，對稱性是首要考慮的， 在寫一個公式或方程時，往往又要求公式寫成協變的形式。所謂的協變形式即物理量按照其相應的對稱變換形式來表述。比如某物理量是一個矢量，就意味著該量既有大小，又有三維空間的指向，同時按照三維空間的旋轉操作變換。因其三維空間的矢量而具有的深刻物理性質并不僅僅是有大小有方向那么簡單， 三維空間旋轉協變性質決定了其大部分的物理性質。如果一個方程以若干矢量來表述，方程兩邊都是矢量運算，那么這個方程自然是空間旋轉不變的，該物理系統也就是一個三維空間旋轉協變的系統。 在物理學教學中，對稱性對于物理學的重要性以及物理量協變性質應該向學生做深入的講解， 才能使學生深刻理解物理學的本質。

本文以物理量的協變性質為主題，以大學物理和場論教學中的兩個例子來闡示協變性質講解的重要性。 首先作者以實際課堂經驗為基礎，說明如何在電磁學最后一次課中講解電磁場的協變性質， 進而使學生初步理解電磁學理論的對稱性質。第二個例子是在場論的教學中n階反對稱張量協變性質的證明。在通常的教科書上，n階反對稱張量是直接引入的， 而張量有確定的協變性質，所以對于一個常數是否可以稱為張量是需要證明的。 這一點作為場論教學的基礎知識點需要補充。在量子場論的研究中，一個重要的物理量是粒子散射截面， 該量的協變性質不同的物理學家有不同的理解。本文簡單說明理解的異同，并說明如何以較為開放的態度來理解一個物理量的協變性質。

本文作以下安排：第2節以兩個典型協變性的案例分析來說明協變性質的重要性；第3節說明如何表述協變性并分析粒子散射截面的協變性； 第4節給出本文的總結。

2 兩個協變性案例分析

2.1 電磁場協變性質補充

當前大學物理電磁學課程通常從靜電學開始，隨后講授磁場，電磁感應，最后以麥克斯韋方程組結束。 這實際上是經典電磁學的內容[2]，因為狹義相對論已經在力學部分講授過，所以電磁學課程通常不再包含相對論的內容。但是在相對論課程中，一般都會提到電磁場滿足洛倫茲變換， 這是狹義相對論課程的重要基礎知識之一。如果在電磁學課程結尾處不做回應的話，課程體系有失完整，因此在電磁學最后一課安排20分鐘簡單講解電磁學的狹義相對論理論是必須的。而在這樣短短的時間內完成這個任務是困難的。作者根據實際課堂講授經驗，發現以一個靜止點電荷為例，圍繞靜電場的洛倫茲變換展開講述有著不錯的效果。而協變性概念的講解尤為重要。如果學生從講解中加深了力學中已經得到的協變性的理解，就可以認為講課達到了理想的效果。下面簡述一下講課思路，讓學生考慮一個靜止的電量為e的點電荷在空間中形成的庫侖場。若電荷附近有觀測者乘火車勻速通過，詢問觀測者看到的還是不是一個靜電場；如果不是，火車上的觀測者看到的現象與相對點電荷靜止的觀測者看到的靜電場有什么關系。接著指出根據運動電荷的畢奧-薩伐爾定律可以計算空間中還分布著磁場。然后利用圖1 來說明不同參考系的觀測者看到的是同一種物質：電磁場。電磁場構成了協變張量Fμ ν[3]:

(1)

圖1 形象圖示電磁場不同參考系之間變換

在這里簡單說明張量的定義及性質：張量就是按照時空對稱性變換的量。標量是變換不變的量； 矢量是一階張量，有大小，有方向，用洛倫茲變換矩陣變換；更高階的張量可以帶更多的指標， 每個指標的變換都遵循時空對稱變換規律。這么解釋當然不夠淺顯易懂，那就指出電磁場張量就類似于圖1中二維空間某矢量A，電場和磁場類似于矢量A在不同坐標軸上的投影，一個類比電場強度E，另一個類比磁感應強度B，變換參考系相當于選取不同的坐標系。 如在圖1(a)中由實線坐標系變換到虛線坐標系的時候， 坐標軸上的坐標進行二維平面旋轉變換即可得到不同坐標系下每個分量的變換關系。 當參考系合適時，如圖1(b)，某個分量坐標為零，對應磁感應強度為零， 這正是靜止點電荷的情形。

下面可以給出Fμ ν的洛倫茲變換的具體形式:

(2)

(3)

最后用變換之后的電場和磁感應強度：

(4)

與庫侖場進行對比，并說明圖1只是個形象的表示，真正的變換是以公式(2)來進行的。這樣雖然時間較短，但是可以把電磁學與力學作一次較為完整且簡單的聯接。

不僅如此，大多數非理論物理專業人士可能并不能深刻理解協變性質的重要性。正如引言中所說， 當我們定義某物理量時，其相應的協變性質已經決定了該物理量的大部分物理性質。這些性質并未為大多數人所理解，以至于必須以“定律或定理”的形式加以明確。一個典型的例子就是電磁學的相對論理論。從理論上講如果已經知道了力學的相對性理論，那么把質點力學理論推廣到四維平直時空的場論，則一個四維矢量場Aμ(x)的模型應該是什么樣的呢？其實四維時空的對稱性就決定了Aμ的拉格朗日量最簡單的形式(動能項加一個外源場)為

(5)

Fμ ν是公式(2.1)所述電磁場張量也是Aμ的動能項即場強：

Fμ ν=?μAν-?νAμ

(6)

jν(x)為四維電流源場。(這里不考慮有磁單極存在的情況，磁單極情況請參閱文獻[4]) 利用變分原理可以得到Aμ的運動方程：

?νFμ ν=μ0jμ

(7)

這實際上只是麥克斯韋方程組的兩個方程：

而麥克斯韋方程組的另外兩個方程：

其實就是四維時空矢量場的協變性質(與具體是什么場無關)決定的一個恒等式：

?λFμ ν+?μFν λ+?νFλ μ=0

(12)

數學家一定很奇怪物理學家竟然把一個恒等式作為一個基本定律寫入理論！ 如果人們深刻理解了協變性，那么電磁學相對論理論基礎就是四維相對論時空矢量場論。麥克斯韋方程組則是該基礎之上的動力學方程以及一個由協變性質決定的恒等式了。 當選定某個參考系，分開來看四維矢量場的Aμ(x)分量：

Aμ=(φ,A)

(13)

φ(x)為標量場，A(x)為矢量場。三維空間的協變性質決定了恒等式：

此即靜電場的環路定理和磁場的高斯定律。若學生可以從這個角度理解電磁學， 則對電磁理論就有了更加深刻的理解，也為后續的量子電動力學等前沿理論的學習做好了鋪墊。

2.2n階反對稱張量的協變性

事實上，一提到“協變性”的概念大家可能首先想到的是相對論，這是因為力學和 (有以太存在的)電磁學都是完備理論，相對論理論關鍵點在于要求力學和電磁學滿足四維時空變換的對稱性，因此協變性貫穿相對論始終。在此基礎上，我們也明白了牛頓力學方程是三維空間協變的，現代量子場論中時空對稱性和規范對稱性是理論的第一要求。當構建一個滿足某種對稱性的模型時， 方程往往被要求寫成協變形式，而張量形式是實現這一要求的有力數學工具。 大家可以看到麥克斯韋方程組公式(8)～公式(11)方程的時空變換性質不是明顯的，而與之等價的公式(7)和公式(12)方程則是明顯協變的， 這就是因為兩個公式等號兩邊都是四維協變的張量。

現在的問題在于，像一階張量(矢量Aμ)或二階張量(Fμ ν)因為其分量為變量，因此其性質可以由變換性質來聲明而不會出現問題。 但是在狹義相對論理論里有兩個常數張量度規張量gμ ν和四階反對稱張量εμ νρ σ都滿足四維時空的洛倫茲協變性。 這不是明顯的，因為這兩個張量的每個分量都是常數，如果對其做任意的洛倫茲變換仍然要保持其為常數看上去似乎不合理。gμ ν的協變性質容易理解，因為它的協變性實際上是洛倫茲對稱性的定義要求的。光速不變原理要求時空間隔不變：

(16)

很容易得到：

(17)

這就是度規張量的協變性質。而反對稱張量εμ νρ σ的協變性質在很多教科書上都一筆帶過，或者甚至不提，直接就作為一個背景知識用作協變張量了。 下面給出一個簡單的證明，以方便讀者教學使用。

n階全反對稱張量εα1α2…αn又被稱為Levi-Civita張量。它是由常數組成的矩陣，主要性質為： 任意兩個指標交換，它的數值改變符號；任意兩個指標相等，值為零?？梢约s定：

ε01…(n-1)=1

(18)

則n階Levi-Civita張量可表示為

(19)

偶排列的意思是α0α1…αn-1任意兩指標交換改變偶數次得到01…(n-1)的排列，奇排列亦然。

其實Levi-Civita張量在任意一個行列式為1的變換矩陣(幺模)變換下都是不變的。 我們考慮一個行列式為1的n×n矩陣A，行列式的計算可以表示為

(20)

此時我們假定εα0α1…αn-1按照矩陣A變換即：

(21)

由公式20自然有關系：

(22)

實際上由此關系就可以得到εα0α1…αn-1的全部性質。如ε′0…(n-1)上任意的兩個指標i,j進行交換

(23)

(24)

這實際上是行列式的性質之一：矩陣的兩行或者兩列交換行列式反號。 所以εα0α1…αn-1的指標全部不同的情況就與公式(19)的要求相同了。

下面看εβ0β1…βn-1指標中有任意的兩個指標相同的情況， 比如βi=βj，則矩陣A的變換

(25)

這其實是把矩陣A中一行(列)作為兩行(列)來進行行列式計算， 行列式計算中若有兩行(列)相同，線性相關結果為零。 這樣就得到Levi-Civita的全部性質：

(26)

以上證明也可以讓我們理解二階三階反對稱張量εij，εijk的協變性質，比如三階反對稱張量可以方便地說明矢量積的矢量性質。兩個矢量的矢量積也是一個矢量，如：

C=A×B

(27)

矢量C的大小為

(28)

C的方向與A、B的方向滿足右手螺旋準則。 如果要從這個定義出發來證明C滿足矢量的協變性質是不容易的，因為這需要證明C和A、B滿足同樣的三維空間旋轉變換的性質。但是如果用三階反對稱張量把矢量積寫成協變形式：

Ci=εijkAjBk

(29)

(公式中對j,k指標求和。)由三階反對稱張量的協變性質我們就對C的性質非常清晰了。不僅如此，εijk也給了一個很好的工具來表述三維空間的手征性質。 這一點大多數教科書其實是較少涉及的，即嚴格地說，如果A、B是兩個矢量，則C是一個軸矢量。矢量和軸矢量的區別在于空間的鏡像(宇稱) 變換性質?？臻g作一個分立變換

r→r′=-r

(30)

兩種矢量的變性質換是不一樣的，如圖2。圖中間虛軸是對稱軸，從圖上可以看出矢量A的變換為

A→A′=-A

(31)

圖2 矢量和軸矢量的鏡像變換

軸矢量C的變換為

C→C′=C

(32)

即A的宇稱為負，而C的宇稱為正。這個變換性質很容易從軸矢量C的定義公式(29)中看出來。由此可知牛頓力學的基本動力學方程是一個矢量方程：

(33)

角動量動力學方程是一個軸矢量方程：

(34)

其中L是角動量，M是力矩。 聯立這兩個動力學方程把牛頓力學按照手征性質寫為一個方程組:

注意公式中1/r是為了配平量綱。公式(35)可以定義為右手方程，它的鏡像變換為公式(36)左手方程(定義)，反之亦然。若只取其中一個方程， 則得不到牛頓力學的基本方程，而且宇稱也不守恒了。 理解這一點對同學以后理解量子理論中弱相互作用宇稱不守恒等現象是很有幫助的。這是一個簡單的反對稱張量應用的例子，n階反對稱張量在理論物理高級課程中的還有其它的重要應用，這里就不細述了。

3 物理公式的協變性

本質上講，沒有“物理量”協變不協變的說法，而應該是“公式形式”是不是協變形式的問題。因為在某個理論框架內研究某個“物理量”，這個物理量在任何參考系的變換下都會按照該理論框架的基本變換性質變換，所以都是協變的。比如說在相對論理論中，能量、 動量等物理量都有相應的洛倫茲變換性質，單純問“能量是否協變”是不合適的，而應該問某公式是否具有協變形式。因為任意非協變形式的公式原則上都可以寫成協變形式， 而且可以寫成不同的協變形式。比如兩個粒子有動量:

(37)

(38)

(39)

也許有讀者對任意形式的物理量都可以寫成協變形式表示懷疑。 下面這個例子更加可以說明問題?，F在來計算一個明顯不協變的物理量： 粒子動量PxPy之和：

Px+Py

(40)

這是一個明顯不協變的量，但是可以找到兩個協變矢量:

在該參考系下:

(43)

則Px+Py可以寫為

(44)

也是協變形式，當然也可以找到其他協變形式。所以原則上只要在某個理論框架下計算若干個物理量， 都可以寫成協變形式，討論某個“物理量”是否協變的意義不大。

以上的討論雖然簡單，甚至近似于詭辯，但是在處理具體的物理問題上， “物理量”的協變性與“物理公式”形式的協變性往往會引起人們的混淆。 物理量如果寫成協變形式則說是協變的，如果不明顯協變，則說不是協變的。 因此同樣的一個計算過程可能會因為計算的表述形式不一樣，得到了完全不一樣的協變性的解釋。 量子場論中對于散射截面的協變性理解就是一個明顯的例子。 高能物理中一個重要的物理量就是粒子的散射截面，粒子散射是這樣一個過程： 一個速度為va的粒子a(粒子流a約化為一個粒子。) 和一束流速為vb橫截面積為A的粒子流b在一條直線上 (Z軸)發生碰撞，如圖3。單位面積上在δt時間內粒子間發生相互作用的可能性δP正比于與a粒子碰撞的b粒子數目，即

(45)

圖3 沿z軸粒子流a和b的對撞

其中,nb是b粒子的數密度;σ是比例系數。把b粒子也約化為一個粒子，然后把比例系數σ提取出來定義為粒子散射截面。它表示單位時間內單位面積上發生一個粒子散射過程的概率。 比如一個a+b→1+2+…+n的過程，具體截面σ的計算公式為

(46)

(47)

這個因子被稱為流因子。對于流因子的協變性質不同是場論教科書給出了不同的回答。 比如國內比較流行的Peskin的《量子場論導論》[5]一書中就明確表明截面σ不是洛倫茲不變的，而僅僅是沿對撞軸Z軸平動不變。這看上去也很合理，因為截面是面積的量綱，做洛倫茲平動當然會因尺縮效應而改變。流因子F的形式為

(48)

εμxyν正是上文所計算的四階協變全反對稱張量。因為第2、3指標只取x,y分量，F當然不是協變的。 但是在劍橋大學出版社出版的《現代粒子物理》[6]一書中就明確說明F是洛倫茲不變的， 并給出了嚴格的證明，即寫成了協變形式。為了明確啟見，這里給出詳細的推導過程。

(49)

則

(50)

因為

(51)

把上式中2EaEbPaPb代入公式(50)可得

因此流因子F可以寫為

(52)

這是協變的。注意這里并沒有說僅沿對撞軸Z軸平動協變。那到底是誰錯了？抑或都對？

正如上文所述，任何物理量都可以寫成協變形式。所以關于散射截面σ協變與否就有了不同的解釋，而在實際的物理研究中往往大家關注的都是沿著對撞軸的洛倫茲變換， (由質心碰撞參考系變換到靶粒子參考系。)所以二者雖然結論不一樣，但并不影響最終的物理結果。但是因為截面這個物理量如此重要， 在此文中，必須明確其協變性質。不妨定義一個物理量為

(53)

顯然Πμ ν是協變的，而F=Πxy僅是Πμ ν的一個分量， 當然不是明顯協變的。Peskin因此說F=Πxy是明顯不協變的。 但是Πμ ν的其他分量(非Πxy,Πyx分量) 在以z軸為對撞軸的過程中(Px=Py=0)均為零。 這就類似于2.1節所述的對于靜止點電荷的電磁場張量磁感應強度分量為零的情形。所以Πxy可以加上Πμ ν的其他所有的零分量寫為協變形式

(54)

讀者可以驗證上式就與公式(52)一致了。所以對于截面σ的協變性的討論， 我們應只討論其形式的協變性，沿z軸平動，才可以說散射截面是協變的。 圖4以直觀的方式來說明差別：如同我們要研究矢量A和B組成的平行四邊形的面積?？梢远x的量是

(55)

或者

(56)

圖4 矢量積和面積的計算

如果A和B僅在xOy平面內旋轉則兩種定義的計算結果是一樣的， 如果在整個空間做任意的旋轉，則計算結果明顯不同。關于這個四邊形面積協變性的表述則因為定義的不同而有不同的理解。 從2.1節靜電場的洛倫茲變換和散射截面的案例可以看出，當一個協變形式的張量某些分量為零的時候，特別容易引起該量是否協變的爭議。 這一點在電磁學和場論課堂上加以說明，可以加深學生對協變性質的理解。

4 結論

本文以物理量的協變性質為主題，以大學物理和場論教學中的兩個例子來闡示協變性質講解的重要性。 第一個案例中，論文用圖示的辦法形象地講解電磁場的洛倫茲變換，同時指出了協變性的理解可以使學生更加深刻理解電磁學理論的本質，為后續的量子電動力學做好鋪墊。 第二個

例子論文證明了在行列式為1的矩陣變換下n階反對稱張量是不變的。因為洛倫茲矩陣行列式為1，所以四階反對稱張量εμ νρ σ自然是協變的。 由此也可以明白矢量和軸矢量的區別，牛頓力學方程也可以寫成手征形式。 這個證明在場論的高級課程中可以方便地解釋二階、三階以及其他反對稱張量的應用。 在第三部分中，論文指出協變性是對物理公式變換性質的表述，而某一個物理量會因為形式不同而有不同協變性的理解。論文以場論散射截面的協變性質為例，指出不同理解的差別與聯系。 這一點希望能得到同行的認可。

[1] Goldstein, et al. Classical Mechanics[M]. New York: Pearson Education International. 344.

[2] 張三慧.大學物理學—電磁學[M].3版.北京：清華大學出版社.

[3] 郭碩鴻.電動力學[M].3版.北京：高等教育出版社.

[4] 王青.電磁學與電動力學中的磁單極-Ⅰ[J].物理與工程，2013， 23(6)：8-11； Wang Qing. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅰ[J]. Physics and Engineering，2013，23(6)：8-11. (in Chinese) 電磁學與電動力學中的磁單極-Ⅱ[J].物理與工程，2014， 24(5)：29-33； Wang Qing. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅱ[J]. Physics and Engineering，2014，24(5)：29-33. (in Chinese) 電磁學與電動力學中的磁單極-Ⅲ[J].物理與工程，2015， 25(4)：19-24； Wang Qing. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅲ[J]. Physics and Engineering，2015，25(4)：19-24. (in Chinese) 電磁學與電動力學中的磁單極-Ⅳ[J].物理與工程，2015， 25(5)：33-40. (in Chinese) Wang Qing. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅳ[J]. Physics and Engineering， 2015，25(5)：33-40.

[5] Peskin M, et al.量子場論導論(影印版)[M]. 新加坡： 世界圖書出版社，106.

[6] Thomson M. Modern Particle Physics[M]. Cambridge: Cambridge University Press， 70-72.

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ON THE TEACHING OF COVARIANCE IN COLLEGE PHYSICS AND FIELD THEORY

Wang Wenyu Wang Siyu Xu Yang

(College of Applied Science, Beijing University of Technology, Beijing 100124)

This paper mainly talked about the importance of covariance in the course of college physics and field theory. We used a figure to show that how to understand the Lorentz Transformation at the end of the course of Electromagnatics. Then we showed that Levi-Civita anti-symmetric tensor is invariant under a transformation matrix which determinant equals one, thusεμ νρ σis a Lorentz covariant tensor, vector and axial-vector have different mirror transformation. At last, we argued that a physical variable will have different properties of covariance under different formulation. As a demonstration, we showed the difference and the relation in the understanding on the cross section in quantum field theory.

covariance； electro-magnetic tensor； levi-civita tensor； cross section

2016-12-01

國家自然科學基金(11375001)和北京市教委青年拔尖項目。

王雯宇，男，副教授，主要從事理論物理的研究和教學工作，主要研究方向為高能物理，超出標準模型新物理，wywang@mail.itp.ac.cn。

王雯宇，王絲雨，許洋. 大學物理和場論課程中的協變性淺談[J]. 物理與工程，2017，27(1)：30-36.