駐波的瞬時能流密度

章 文 張 玉 張子云 衡太驊

(安徽大學 1物理與材料科學學院； 2生命科學學院，安徽 合肥 230601)

駐波的瞬時能流密度

章 文1張 玉2張子云1衡太驊1

(安徽大學1物理與材料科學學院；2生命科學學院，安徽 合肥 230601)

本文首先指出了人們利用瞬時能流密度解釋駐波能量的認識誤區。之后論證了兩列簡諧波在相遇區域任一點的瞬時能流密度等于兩列波各自的瞬時能流密度之和的條件是兩列波必須相向傳播，從而嚴格證明了駐波瞬時能流密度的結論。最后從受力的角度分析了駐波的能量只能在相鄰波腹和波節間流動。

駐波；瞬時能流密度；疊加原理

駐波是振幅相同的兩列相干簡諧波，沿同一直線相向傳播時，在相遇區域內形成的一種特殊的干涉現象。關于駐波的能量流動，多數大學物理教材僅簡單介紹了結論，而解釋得不夠透徹。目前已有部分文獻分別用圖示法[1,2]和解析法[3-5]探討了駐波的能量流動問題。關于駐波能量的解析，人們將兩列相干簡諧波的瞬時能流密度相加得到駐波的瞬時能流密度[3]，并依此分析駐波能量的傳播規律。然而，這種方法雖能正確地解釋駐波能量的流動，卻容易使讀者對瞬時能流密度的認識產生一定的誤區，即兩列簡諧波疊加時波線上任一點的瞬時能流密度一定等于兩列波各自的瞬時能流密度之和。這種理解正確與否還需要從理論上嚴格論證。本文首先討論了上述問題并嚴格證明了駐波的瞬時能流密度等于入射波和反射波瞬時能流密度之和。之后定性分析了駐波的波腹和波節處沒有能量傳播的原因。

1 瞬時能流密度的認識誤區

1.1 文獻[3]中駐波瞬時能流密度的推導

設形成駐波的入射波和反射波(沿x軸方向傳播)的波函數分別為

式中,ρ為介質的密度，負號表示瞬時能流密度沿x軸負方向。故駐波瞬時能流密度的大小為

I12=I1+I2=-uρω2A2sin2ωtsin2kx

(5)

1.2 能流密度的認識誤區

文獻[3]中駐波瞬時能流密度的推導直接運用了I12=I1+I2這個結論，這會讓我們對瞬時能流密度的認識產生一定的偏差。從后面2.2節的論證就能看出I12=I1+I2這個結論并不總是成立。眾所周知，能流密度是矢量。通常一個物理量能被定義為矢量需滿足兩個條件，一是該物理量有大小有方向，二是兩個物理量的加法滿足平行四邊形法則，例如力F、速度、電場強度E等。但對于瞬時能流密度，其加法是否與矢量的加法相同？因為在兩列(或多列)波相遇時需滿足波的疊加原理。波的疊加原理僅能保證在相遇區域內，任一質元振動的位移是各列波單獨存在時在該點引起位移的矢量和。而由此并不一定能推出總的瞬時能流密度等于兩列波各自的瞬時能流密度之和，所以需從波的疊加原理嚴格證明1.1中式(5)的結論。

2 兩列簡諧波相遇區域內的瞬時能流密度

2.1 瞬時能流密度的普適公式

(6)

運用式(6)亦可得出式(3,4)的結果。

2.2 兩列簡諧波相遇區域內的瞬時能流密度

本小節以沿x軸傳播的兩列簡諧波為例來說明總的能流密度不一定等于兩列波的能流密度之和。設沿x軸傳播的兩列簡諧波的波函數分別為

式(7,8)中k和k′前的正負號分別對應簡諧波沿x軸負向和正向傳播。則由式(6)可知，兩列簡諧波的瞬時能流密度分別為

(9)

根據波的疊加原理可得兩列波的合成為y34=y3+y4，因此從式(6)可得兩列波在相遇區域內的瞬時能流密度為

(10)

式中

(11)

式(11)中的I′是兩列波的疊加項。從式(9-11)可明顯看出，當且僅當式(10)中的疊加項I′=0時才有I34=I3+I4成立。將式(7,8)代入式(11)可得

(12)

2.3 討論

從式(7,8,12)可以看出：

1) 若兩列簡諧波都沿x軸正向傳播，且ωt-kx+φ=nπ或ω′t-k′x+φ′=nπ時，有I′=0，從而I34=I3+I4；

2) 若兩列簡諧波都沿x軸正向傳播，但ωt-kx+φ≠nπ，且ω′t-k′x+φ′≠nπ時，I′≠0，從而I34≠I3+I4；

3) 當兩列簡諧波都沿x軸負向傳播時，經過相同的計算也可得出與1)和2)類似的結論；

4) 而當兩列簡諧波相向傳播時，始終會有疊加項I′=0成立，從而I34=I3+I4；

5) 駐波不僅滿足4)中的條件，而且還需要滿足A=A′，ω=ω′ 以及k=k′。所以對于駐波而言，總的瞬時能流密度等于入射波和反射波各自的瞬時能流密度之和。

從1)和2)可看出，對于特定時刻只有一些特殊的點I34=I3+I4，對于波線上任一特定的點，只在某些特殊的時刻有I34=I3+I4。至此，我們不僅嚴格證明了式(5)，而且還得出結論，即當且僅當兩列任意的簡諧波相向傳播時，波線上任一點的瞬時能流密度始終等于兩列波各自的瞬時能流密度之和。

利用式(5)可清楚地分析出駐波中的能量僅在相鄰的波腹和波節間流動。具體的分析見文獻[3]。下一節我們將從受力的角度定性解釋駐波能量流動的特點。

3 駐波能量流動的定性解釋

考慮式(1)和式(2)中兩列簡諧波形成的駐波。駐波方程為

y-{12}=y1+y2=2Acosωtcoskx

(13)

駐波的波形見圖1。

圖1 駐波波形

腹左邊的介質對右邊的介質沒有力的作用，因而波腹處不存在能量的傳播。波節處有形變，但從對稱性(見圖1)可知任意時刻波節左邊介質和右邊介質對波節的作用力始終大小相等而方向相反，同時波節永遠是靜止的，因此波節處也沒有能量的傳播。所以駐波的能量只能在相鄰的波節和波腹間流動。駐波動能和勢能間的轉化見文獻[4]。

4 結語

本文指出了人們對瞬時能流密度的認識誤區，證明了任意兩列波相遇區域的瞬時能流密度不一定等于兩列波各自的瞬時能流密度之和。最后從受力的角度定性解釋了駐波能量只能在相鄰波節和波腹間流動的原因。

[1] 吳穎,謝遠亮.關于駐波能量的圖示法分析[J].沈陽航空工業學院學報,2007,24(1):84-86. Wu Ying, Xie Yuanliang. Illustration analysis of standing wave energy[J]. Journal of Shenyang Institute of Aeronautical Engineering, 2007, 24(1): 84-86. (in Chinese)

[2] 盧艷,董慎行.用計算機模擬駐波能量的變化[J].物理與工程,2003,13(4):47-49. Lu Yan, Dong Shenxing. Imitating the energy variety of standing wave[J]. Physics and Engineering, 2003, 13(4): 47-49. (in Chinese)

[3] 郭建軍.關于駐波能量的分析[J].大學物理,2005,24(5):23-25. Guo Jianjun. An analysis of the energy of standing wave[J]. College Physics, 2005, 24(5): 23-25. (in Chinese)

[4] 李平.駐波的能量[J].大學物理,1995,14(6):46-47. Li Ping. Energy of standing wave[J]. College Physics, 1995, 14(6): 46-47. (in Chinese)

[5] 蔣練軍,李木林.駐波能量探究[J].湖南理工學院學報:自然科學版.2004,(04):56-58. Jiang Lianjun, Li Mulin. Probe into standing wave energy[J]. Journal of Hunan Institute of Science and Technology(Natural Sciences) , 2004,(04): 56-58. (in Chinese)

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INSTANTANEOUS ENERGY FLUX DENSITY OF STANDING WAVE

Zhang Wen1Zhang Yu2Zhang Ziyun1Heng Taihua1

(1School of Physics and Materials Science，2School of Life Science, Anhui University, Hefei Anhui 230601)

Firstly, we point out the misunderstanding of people, who use the instantaneous energy flux density to explain the energy of standing wave. Then we strictly prove that the instantaneous energy flux density of two harmonic waves at arbitrary point in the crossed region is equal to the sum of the two corresponding instantaneous energy flux densities if and only if the two waves are travelling oppositely. Thus, the conclusion of instantaneous energy flux density of standing wave is strictly proved. At last, by using the force analysis, we explain the energy of standing wave can only be transited between the adjacent wave loop and wave node.

standing wave; instantaneous energy flux density; superposition principle

2015-10-15；

2016-06-30

安徽大學本科教育質量提升計劃項目(xjjyxm14030，ZLTS2015054) ；安徽省省級質量工程項目(2015jyxm051)。

章文，副教授，主要從事大學物理和量子信息方面的教學科研工作,wenzhang@ahu.edu.cn。

章文，張玉，張子云，等. 駐波的瞬時能流密度[J]. 物理與工程，2017，27(1)：44-46.