數學思想方法的教學有效性研究*
——基于“不等關系”教學實錄

何 睦

數學思想方法的教學有效性研究*
——基于“不等關系”教學實錄

何 睦

當前的數學思想方法的教學現狀不完全令人滿意。針對現狀，基于對“不等關系”教學示范課的研究，進一步指出有效的數學思想方法教學的相關特征：立足理解，挖掘思想；教學示范，范式引領；顯隱結合，形式多樣；情境遷移，經驗提升。

數學思想方法；數學理解；數學遷移；數學經驗

數學思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂。數學離不開數學思想方法，數學的教學更離不開數學思想方法的教學。隨著新一輪數學課程改革的不斷推進，數學思想方法的教學已經成為數學課堂教學的一個重要環節。但相關研究表明［1］，當前的數學思想方法的教學還沒有完全落到實處，數學思想方法的教學現狀也不完全令人滿意，具體表現為：教師對數學思想方法的認識不足；學生對數學思想方法的理解不透，獲得的數學思想方法形式單一，對數學思想方法的學習僅僅是一種簡單的模仿，等等。

怎樣設計數學思想方法的教學，什么是有效的數學思想方法的教學理應成為一個亟待開展的課題。因此，有必要通過對數學課堂教學的考察，探討在數學教學過程中應如何實施有效的數學思想方法的教學。一堂高效、有序的數學思想方法的教學實例能為我們從事有效的數學思想方法的教學指明方向。蘇州中學樊亞東老師的“不等關系”就是這樣的一節課。

一、課堂教學實錄

在簡單的自我介紹后，樊老師就開始組織“不等關系”的課堂教學了，他花了不到10分鐘的時間和學生一起分析了教材上的3個實際問題。正當在場的所有聽課教師為樊老師“捏把汗”時，誰也沒有料到一堂成功、精彩、高效、有序的數學思想方法的課堂教學這才拉開序幕。以下僅展示后30分鐘的教學片段。

【片段 1】

樊：我們學習時，要養成一個好習慣：當我們接觸一個新的數學內容時，請思考一下是否有我們已經學過的知識和它是有關聯的。大家覺得我們即將要學習的“不等式”內容和我們之前學習的哪些內容能產生聯系？

生1：一元一次方程。

生2：一元一次不等式。

生3：函數。

……

樊：同學們的回答提醒我們，我們之前已經學過了許多相關知識。我和大家交流一下我的看法，假如我來學不等式，我覺得發生關聯最多的應該是等式的問題。剛才有同學說一元一次方程，這就是一個特殊的等式。還有同學說到一元一次不等式，這是提醒我們已經學過不等式。可以看出，等式和已經學過的不等式會和今天要學的不等式發生最密切的聯系。下面，我們就順著這個思路，先來回顧一下我們學過哪些相關的等式知識。

【片段 2】

樊：觀察兩個式子1＋1＝2和x+2=3，它們一樣嗎？

生：雖然它們形式上都是等式，但是表達的意思不一樣。

樊：兩者不相同。這就是關于等式分類的問題了。1+1=2是絕對成立的等式，我們稱為恒等式。而x+2=3，這個等式成立的條件是什么呢？

生：x=1。

樊：如果x=1就是等式，那么x=3就不是等式了。對于x+2=3這個等式，存在使它成立的條件，也有使它不成立的條件。因此我們常常要做的一件事就是解方程。即等式有兩類：一類為恒成立的，一類為非恒成立的。在等式中，我們碰到過很多恒成立的式子，比如（a+b）2=a2+2ab+b2，我們往往做的工作就是證明它成立；我們還會碰到解等式的問題，如剛才的等式x+2=3何時成立。也就是說，研究等式，一般有兩類工作要做：一是證明恒等式，二是解等式，即解方程。

樊：那么，類比一下，大家覺得這一章不等式我們會研究哪些內容？

生：我覺得不等式這一章研究的內容會和等式一樣：證明恒成立的不等式和解不等式。

【片段 3】

樊：在等式中，若a=b，則ac=bc，等式的兩邊同時乘以一個數以后，等式仍然成立。那么，類比等式的性質，對照起來能推出什么結論呢？

生：若 a＞b，則 ac＞bc 成立。

樊：這個不等式一定成立嗎？

生：不一定成立，若 c＞0，則 ac＞bc；若 c＜0，則ac＜bc。

樊：這就告訴我們在進行類比遷移時需要注意的問題了，等式和不等式的成立各自需要一定的條件，我們從等式的性質引申出不等式的性質特別要注意這個問題。

【片段 4】

樊：剛才大家提到，今天要學習的不等式不僅和等式有關，還和已經學過的不等式有關。在初中，我們學過了一元一次不等式，我們一起來回顧一下是如何研究一元一次不等式的，不妨以一元一次不等式x+1＜0為例。我們先構造一次函數y=x+1，并作出它的圖象。在圖象y=x+1中，如果令y=0，就轉化為一個一元一次方程x+1=0，解這個方程也就是找圖象和x軸的交點（-1，0），這個交點為，其中-1叫作方程的一個解。如果令y＜0，就變成了一元一次不等式x+1＜0，我們已經知道了方程和相應的函數之間的聯系，那么，怎樣從圖象上來分析研究x+1＜0呢？

生：x+1＜0 就是 y＜0。

樊：體現在圖象上是怎樣呢？

生：x＜-1，圖象位于x軸下方的部分。

樊：y＜0在圖象上有好多個點，這些點對應的x就是使得這個不等式成立的x。把所有的解集中起來，就得到了不等式的解集。這就是利用函數圖象研究一元一次不等式求解集的方法，我們在此基礎上進一步研究不等式。

樊：如果我們碰到的不等式是x2+2＜3呢？能否類比初中所學的一元一次不等式的解法，來研究這個一元二次不等式呢？為方便起見，我們先將其變成x2-1＜0，請大家思考如何研究這個不等式？

生：先構造二次函數y=x2-1，并作出它的圖象，令y=0，得到x=-1和x=1，也即找出了函數圖象上與 x軸的交點：（-1，0）和（1，0）。解不等式 x2-1＜0，就是解y＜0，從圖象上容易發現，當所取的x的值在（-1，1）內時，對應的 y 值小于 0，即（-1，1）就是不等式x2-1＜0的解集。

【片段 5】

樊：今天的課就上到這里，我給大家布置三個課后思考題。

（1）周長為1的正方形和圓，哪個圖形的面積更大？

（3）請同學們先作出函數 z=1-（x+y）的圖象，再用陰影表示不等式x+y≥1的解集。

二、分析與討論

不難看出，樊老師組織了有效的數學思想方法的教學。教材中的三個問題情境僅是引入不等式這一章的一個小序曲，樊老師考慮到大部分學生已具備從現實情境中構建不等關系的能力，并未將此作為教學重點，而是在深刻理解教材的基礎上，對教材上三個問題情境的教學內容進行了壓縮，創造性地使用了教材，充分挖掘了“不等式”這一章所蘊含的數學思想方法。

1.實施有效數學思想方法教學的前提：立足理解，挖掘思想。

樊老師在片段1中通過提示語“我們即將要研究的不等式和之前學過的哪些內容能產生聯系？”逐漸地喚醒學生關于本章新知的已有認知：“等式”和“已經研究過的不等式”。樊老師以學生的已有認知作為本節課新知的重要生長點，由此慢慢地拉開了本章的序幕。不難看出，片段1的教學意圖是引導學生將“等式”和“不等式”、“函數”和“不等式”聯系起來，為在后續的三個教學片段中使用類比的數學思想方法研究不等式的內容和性質以及利用數形結合的思想研究不等式的解集做好鋪墊。

通過對片段1的教學分析不難發現，樊老師在理解數學、理解教學和理解學生［2］的基礎上，充分挖掘了“不等式”一章在研究過程中常用的數學思想方法：類比和數形結合思想。并在后續三個片段中不斷強化它們。在片段2的教學中，樊老師通過兩個簡單的等式 1＋1＝2 和 x＋2＝3， 引出等式要研究的兩個問題：證明恒成立的等式和解方程。類比等式的研究內容，得出不等式的研究內容：證明恒成立的不等式和解不等式。由等式類比不等式，自然地得出不等式章節的研究內容；在片段3的教學中，類比等式的性質，得出不等式的相關性質，并提醒學生在類比過程中可能會遇到的異化情況；在片段4的教學中，類比一元一次不等式的解決方法，得出一元二次不等式的解決方法，在類比過程中，多次滲透數形結合的思想方法。

章建躍博士的“三個理解”是從事一切數學教學活動的基礎，理應成為實施有效數學思想方法教學的前提。理解學生：學生在此以前學過哪些與本章（節）有聯系的知識？學生積累過哪些與本章（節）有聯系的數學思想方法和與之相應的數學基本活動經驗？理解教學：教學中應滲透哪些數學思想方法？如何滲透？理解數學：本章（節）的數學本質是什么？從數學角度來看，本章（節）理應滲透怎樣的數學思想方法？只有立足三個理解，才能充分挖掘本章（節）的數學思想方法，才可能實施有效的數學思想方法的教學。

2.實施有效數學思想方法教學的過程：教學示范，范式引領。

“讓學生在課堂上像數學家那樣發現定理，這當然是好的學習方式。但是這種課不能上得太多，因為費時間。 ”［3］學生的學習時間是有限的，所以，從實際出發，方法上的“模仿”仍將是數學學科學習的一種主要方式。著名數學教育家弗萊登塔爾在《數學教育再探》中提出“行動的范例”的概念。他指出，一種行動以作為另一種行動的范例，它可能會引起類似的行動。［4］

樊老師在進行數學思想方法教學時，多次進行教學示范，他示范了等式要研究的兩類問題，由此引導學生類比不等式的研究內容；他示范了等式具有的性質，由此引導學生類比不等式具有的性質；他示范了利用數形結合的思想方法研究一元一次不等式的解的全過程，由此引導學生類比一元二次不等式的圖形解法。學生通過一個個類比和數形結合思想方法如何具體應用的例子，自主建構對數學思想方法的理解，對應用數學思想方法解決問題的理解，不斷地積累運用思想方法解決問題的基本活動經驗。這些教學示范，起到了范式引領的作用，無疑促成了數學思想方法教學的有序和高效。

3.實施有效數學思想方法教學的形式：顯隱結合，形式多樣。

鄭毓信教授認為，數學思想方法有兩種意義。“第一種意義的一個重要特征是其從屬于具體的數學知識。第二種意義則是指與具體數學知識內容相分離，并具有更大的普遍意義的思維模式或原則。第二種意義上的數學思想具有更強的方法論意義。”［5］鄭毓信教授提出的兩種意義下的數學思想方法，即從屬于具體數學知識的數學思想方法以及與具體數學知識內容相分離的數學思想方法。相應地，我們也可以將數學思想方法的教學分為兩種，即數學思想方法隱性教學和數學思想方法顯性教學。數學思想方法隱性教學，必須借助具體數學知識的教學得以實現，也就是說，其教學伴隨著具體數學知識的教學。高中數學教學中大多數數學思想方法的教學屬于隱性教學；數學課堂教學不僅要有數學知識的教學，同時也要有方法的直接教學，為了與數學思想方法的隱性教學對應，這里把直接教學認為是顯性教學。依據鄭毓信教授對數學思想方法的分類，我們知道，第二種意義下的數學思想方法一定程度上與具體數學知識內容相分離，在數學課堂教學中可以進行直接教學，此種意義下的數學思想方法教學，我們稱之為數學思想方法顯性教學。［1］

在高中數學教學中，顯性數學思想方法的教學相對較少，這就造成了學生習得數學思想方法的形式單一。樊老師的“不等關系”的教學是顯性數學思想方法教學的一個示范，類比和數形結合都是重要的數學思想方法，是數學發現和數學創造的重要源泉。樊老師沒有結合具體的數學知識來講思想方法，而是直接將“類比”和“數形結合”方法作為教學內容來教。事實上，除此以外，在高中階段可以考慮開設諸如“數學方法論”“數學思想方法選講”等顯性數學思想方法教學的拓展類課程，作為隱性數學思想方法的補充。只有將顯性教學和隱性教學結合起來的多樣化的數學思想方法教學方式，才能促進學生產生多樣化的數學思想方法的學習行為，從而保障數學思想方法教學的有效實施。

4.實施有效數學思想方法教學的結果：情境遷移，經驗提升。

調查表明，學生對數學思想方法的理解不透，學生對數學思想方法的學習僅僅是一種簡單的模仿。“教師應解釋并示范解決各類數學題的推理過程，然后鼓勵學生自己推理。 ”［6］同樣地，教師應解釋并示范各種數學思想方法應用的實例，然后鼓勵學生運用數學思想方法嘗試解決一些新的問題。

在片段1的后續內容展開過程中，樊老師連續多次反復強調類比法，在片段4中，樊老師用了整整10分鐘時間，先讓學生回憶一元一次不等式的圖形解法，不斷引導學生將符號語言轉化為圖形語言，學生在學習中也多次經歷語言的轉化過程，因此在之后一元二次不等式的解法探索過程中，學生很容易地能運用圖象解決問題。學生在學習過程中不斷使用類比和數形結合的方法，使得數學思想方法能得到不斷的鞏固和深化。這不僅有效地幫助學生自主建構對數學思想以及運用數學思想方法解決問題的理解，還能幫助學生不斷積累和提升運用數學思想方法解決問題的基本活動經驗，使得學生完全有能力將習得的數學思想方法遷移至其他問題情境之中，研究和解決一系列新的問題。

教育意義下的“生長”，應該是一種優質的生長，是一種有效的生長。數學思想方法的教學也應該是一個有效“生長”的過程。每個個體都會從已有的實踐活動和經驗中尋求從事新的實踐活動的重要啟示和生長點，數學思想方法的學習也不例外。只有不斷地給學生創造時機和豐富的、多樣化的學習機會，引導學生從“做中學”，學生才能積累和提升應用數學思想方法解決問題的能力和活動經驗，才能在新的問題情境中利用這些能力和經驗進行正向的遷移和生長。

［1］束艷.數學思想方法的教學現狀研究［D］.徐州：江蘇師范大學，2013.

［2］章建躍.發揮數學內在力量，為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（02）.

［3］張奠宙.數學教育研究導引［M］.南京：江蘇教育出版社，1994.

［4］弗萊登塔爾.數學教育再探［M］.劉意竹，楊剛，等，譯.上海：上海教育出版社，1994.

［5］鄭毓信.數學方法論入門［M］.杭州：浙江教育出版社，2006.

［6］古德，布羅菲.透視課堂［M］.陶志瓊，王風，鄧曉芳，等，譯.北京：中國輕工業出版社，2002.

G633.6

A

1005-6009（2017）51-0034-04

何睦，江蘇省張家港市常青藤實驗中學（江蘇張家港，215600）教師，二級教師，江蘇師范大學（江蘇徐州，221116）數學與統計學院研究生。

*本文系江蘇省教育科學“十二五”規劃2015年度重點自籌課題“高中數學研究性學習的實踐與認識”（編號：B-b/2015/02/121）的階段性研究成果。