將數(shù)學(xué)建模思想落到實處

沈國酰

摘 要：數(shù)學(xué)建模思想在替換策略教學(xué)過程中表現(xiàn)得尤為突出。只有真正明確為什么替換、替換的共性、從特殊到一般的應(yīng)用等，才能將數(shù)學(xué)建模思想落在實處，讓學(xué)生易于理解與掌握。

關(guān)鍵詞：替換策略；數(shù)學(xué)建模思想；落實

建模思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要，是小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)的方向。建模是主要針對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的抽象化，忽視數(shù)學(xué)知識脫離學(xué)生現(xiàn)實生活而提出的。然而，現(xiàn)實數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，部分教師沒有透徹地領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模思想的意義，在平時的解決問題教學(xué)中，往往停留在建模的表層，沒有深入到建模的本質(zhì)，教學(xué)效果大打折扣。本文主要以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問題的策略（替換策略）”為例，通過比較、分析一位執(zhí)教老師修改前后的教學(xué)設(shè)計片段（下簡稱“初備片段”和“再備片段”），說明如何將數(shù)學(xué)建模思想落到實處。

一、數(shù)學(xué)建模的實質(zhì)：從“怎么換”到“為什么換”

【初備片段一】

師：（課件出示2架天平圖，圖1天平平衡，左盤有1個蘋果，右盤有2個梨；圖2天平平衡，左盤有1個蘋果和2個梨，右盤是400克的砝碼）（指圖1）仔細(xì)觀察這架平衡的天平，左盤裝有蘋果，右盤裝有梨，請大家思考：從這架平衡的天平上，你能發(fā)現(xiàn)一個蘋果與一個梨的質(zhì)量存在哪種關(guān)系？

生：一個蘋果的質(zhì)量等于2個梨的質(zhì)量，或者一個梨的質(zhì)量是1個蘋果質(zhì)量的一半。

師：很好，即1個蘋果質(zhì)量是1個梨的2倍。你能求出它們各自的質(zhì)量嗎？

學(xué)生回答：1個蘋果重200克，1個梨重100克。

師：能說一下你是怎樣思考的嗎？

生1：我是這樣想的，可以把圖1左盤中的那個蘋果換成2個梨，這樣可以推算出4個梨的質(zhì)量是400克，一個梨的質(zhì)量是100克，進(jìn)而推算出一個蘋果的質(zhì)量是200克。

生2：我與他的想法基本一樣，但我是將圖2左盤中的2個梨換成1個蘋果，可以看出，2個蘋果的質(zhì)量是400克，1個蘋果的質(zhì)量是200克，很容易地算出1個梨質(zhì)量是100克。

依據(jù)學(xué)生的回答，教師隨時用課件動態(tài)演示上述兩個學(xué)生的思考過程。

師：剛才同學(xué)們用的是“換一換”的方法，這在解決數(shù)學(xué)問題過程中非常重要，這種策略通常被稱為“替換”。同學(xué)們都讀過“曹沖稱象”的故事，1700多年前，曹沖小朋友就已經(jīng)會用這個“替換的策略”了。（課件出示曹沖稱象的圖）

師：曹沖是怎么稱大象的質(zhì)量的？

生：是用石頭替換大象。

【再備片段一】

師：（課件出示3幅天平圖）請同學(xué)們仔細(xì)觀察三幅天平圖，說一說你分別能求出什么？

生：能求出第一個天平的每個蘋果重150克，因為2個蘋果重300克；第二個天平上5個橘子重600克，所以能求出每個橘子重120克；第三個天平上6個x重1200克，能求出每個x重200克。

師：觀察得很仔細(xì)，說得也很好。同學(xué)們，有沒有發(fā)現(xiàn)這三幅圖有什么相同之處？

生：這三幅圖都是求一個東西的質(zhì)量是多少？

師：好，在數(shù)學(xué)上，我們把同一種東西又稱為“同一種量”。對同學(xué)們來說，像這樣求一種量的每份是多少，十分簡單。（出示另一幅天平圖）請大家仔細(xì)觀察，現(xiàn)在的天平與剛才的三幅有什么不同？

生：現(xiàn)在天平左盤裝有1個梨和1個蘋果，右盤是240克的砝碼，說明1個梨和1個蘋果共重240克。

師：有誰能推算出1個梨和1個蘋果分別重多少克嗎？

生：不能，現(xiàn)在是兩個不同的東西了。

師：說得好。兩個不同的東西在數(shù)學(xué)上又可稱為兩種不同的量。那你們想想怎么才能求出1個梨和1個蘋果分別重多少克呢？

生：如果知道蘋果的質(zhì)量是梨的幾倍就可以把蘋果變成梨了。

師：是呀，這樣又可以變成同一種量了。

師：由于提供的信息不同，替換的方法也不相同，但它們有一個共同之處，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：就是把不同的量換成同一種量。

【分析】

比較“初備片段一”和“再備片段一”這兩個教學(xué)片段，可以發(fā)現(xiàn)初備和再備的教學(xué)都是從學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實生活發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題并解決的過程。然而，對于“替換”策略的教學(xué)，初備和再備存在著明顯的不同。“初備片段一”的教學(xué)設(shè)計重點在于“怎么換”，直接使用兩架天平圖，讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)存在的數(shù)量間的相等關(guān)系，然后進(jìn)行等量代換，感知數(shù)學(xué)中的“替換”策略，后面附以“曹沖稱象”的故事，再次加深學(xué)生對運用“替換”解決實際問題的印象。

而“再備片段一”的設(shè)計重點在于不僅強(qiáng)調(diào)替換方法的重要性，更讓學(xué)生知道“為什么替換”。教學(xué)片段中，通過設(shè)置四幅天平圖，讓學(xué)生充分理解“替換”的本質(zhì)，即由兩種量轉(zhuǎn)化為一種量，強(qiáng)化所建立的數(shù)學(xué)模型與學(xué)生腦中已有的數(shù)學(xué)模型存在的必然聯(lián)系。

二、數(shù)學(xué)建模的理解：從“換的方法”到“換的共性”

【初備片段二】

出示例題：小明將720毫升果汁分別倒入6個小杯和1個大杯，大小杯都被倒?jié)M。已知小杯容量是大杯容量的，大杯和小杯的容量分別是多少？

師：讀題后，你能直接求出大杯和小杯各自的容量是多少毫升嗎？

學(xué)生思考后回答直接求是不行的。

師：思考一下，用剛才的替換策略能解決嗎？請大家在練習(xí)紙上畫出替換簡圖，然后列式解答，求出小杯和大杯的容量，最后和同桌進(jìn)行交流。（學(xué)生畫圖、列式、計算、交流）

師：兩種替換方法都能解決這個問題。替換策略真的可以幫助我們解決數(shù)學(xué)實際問題，請同學(xué)們思考一下，如果把例題中的一個條件改成“大杯的容量比小杯多20毫升”，還能替換嗎？（學(xué)生紛紛猜測、畫圖、解決、交流）

學(xué)生匯報：用小杯替換大杯時，果汁總量增加，增加了720-6×20=840毫升；用大杯替換小杯時，果汁總量減少，減少了720-20=700毫升。

師：改變條件后的例題與原例題在做法上出現(xiàn)了什么不同？

學(xué)生總結(jié)：從上面的替換過程中可以看出，假如條件存在著倍數(shù)關(guān)系，那么替換后，杯子的總個數(shù)出現(xiàn)了變化。但是假如條件存在著相差關(guān)系，替換后，杯子的總個數(shù)卻沒有發(fā)生變化。

師：是啊，數(shù)學(xué)奧妙無窮！在“變”與“不變”中有著千絲萬縷的內(nèi)在聯(lián)系。

【再備片段二】

師：（課件出示：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，結(jié)果全部倒?jié)M）請大家思考：如果想知道小杯的容量和大杯的容量，你認(rèn)為還需要什么信息，怎么來解決？

生：還需要知道大杯和小杯的容量存在的關(guān)系。

師：能具體說一說要知道大杯和小杯的容量存在什么關(guān)系嗎？

生：比如大杯的容量是小杯幾倍，或者大杯的容量比小杯多幾毫升等等。

師：老師提供兩個關(guān)系：“小杯的容量是大杯的”和“小杯的容量比大杯少20毫升”。現(xiàn)在請同學(xué)們思考，要用什么方法解答這兩個問題？請比較兩種替換的不同點與相同點。（學(xué)生解答后交流匯報）

生：相同點是，不論大杯和小杯存在何種關(guān)系，都要把兩種量替換為同一種量，才能解決問題。

【分析】

仔細(xì)分析“初備片段二”和“再備片段二”，容易看出兩次的教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)存在著共同點，就是在解決問題后，通過比較替換的方法強(qiáng)化對“替換”策略的理解。然而深入分析便發(fā)現(xiàn)兩者存在明顯的不同：“初備片段二”的設(shè)計，主要側(cè)重于讓學(xué)生比較替換方法的不同，即比較條件是倍數(shù)關(guān)系的替換和條件是相差關(guān)系的替換，前者杯子的總個數(shù)出現(xiàn)變化，后者杯子的總個數(shù)沒有變化；而“再備片段二”的設(shè)計，不但讓學(xué)生比較替換方法的不同，更讓學(xué)生充分理解倍數(shù)關(guān)系的替換和相差關(guān)系的替換存在的共性，即把兩種量轉(zhuǎn)化為同一種量，切實把握住了用替換策略解決問題的本質(zhì)。

三、數(shù)學(xué)模型的價值：從“特殊→特殊”到“特殊→一般”

【初備片段三】

出示三幅天平圖，學(xué)生讀圖，圖1天平的左盤放1個蘋果，右盤放2個梨；圖2天平的左盤放4個梨，右盤放1個菠蘿；圖3天平的左盤放1個蘋果和1個菠蘿，右邊托盤是問號，不知要放什么。

師：如果讓你在圖3天平右邊托盤中只放一種水果，注意是一種，你將怎樣放？

生：在右邊托盤中可以放3個蘋果，或者6個梨，或者1.5個菠蘿。

師：太好了。假如是放兩種水果呢？

生：放兩種水果，可以是2個蘋果+2個梨，或者4個梨+1個蘋果，或者是2個梨+1個菠蘿。

師：同學(xué)們很聰明，能很快地說出答案。假如天平右邊的托盤中是600克的砝碼，這時天平達(dá)到平衡。你能推算出1個梨、1個蘋果和1個菠蘿各自重多少嗎？（學(xué)生解決、交流匯報略）

【再備片段三】

師：課前我們討論了船長的年齡問題，大家知道只根據(jù)牛羊的數(shù)量無法求出船長的年齡。如果添加一些數(shù)學(xué)信息，你能選用其中的信息算出船長的年齡嗎？（課件出示：A. 船長和大副的年齡加起來105歲；B. 羊的平均年齡是3歲；C. 船上有1名船長，1名大副，5名船員；D. 最老的牛是5歲；E. 船長的年齡是大副的1.5倍；F. 大副比船長小21歲）

學(xué)生分組討論，分別選A和E或者A和F，并用替換的方法解決問題、匯報結(jié)果。

師：數(shù)學(xué)信息不論有多復(fù)雜，只要理清信息之間的關(guān)系，問題就變得簡單。同學(xué)們很好地用替換的方法解決了一些數(shù)學(xué)問題。說一說為什么要替換，替換時要注意什么？

生：替換都是把兩種不同的量轉(zhuǎn)化為同一種量，最終求出每種量分別是多少的方法。

師：如果問題中有兩種以上不同的量，比如三種、四種、甚至更多，你又如何去解決呢？

生：理清這些量之間的關(guān)系，替換成同一種量逐個解決。

【分析】

數(shù)學(xué)建模的重要一環(huán)是通過建立數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解釋、應(yīng)用與拓展的目的，即讓學(xué)生應(yīng)用模型解決實際問題，明確數(shù)學(xué)模型能夠解決何種問題，感悟數(shù)學(xué)模型的價值，而不是單純地讓學(xué)生對模型的方法進(jìn)行模仿或簡單應(yīng)用。“再備片段三”的設(shè)計真正實現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的意圖。求船長的年齡問題設(shè)計，除了讓學(xué)生知道能用數(shù)學(xué)模型解決一些實際問題，還要讓學(xué)生清晰理解這類問題的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，即要求兩種不同的量，必須知道這兩種量之間的關(guān)系，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷了用這個模型來解決更一般的問題，實現(xiàn)了“從特殊到一般”的拓展。而“初備片段三”的設(shè)計雖然也是對替換方法的應(yīng)用，但這種應(yīng)用只是“從特殊到特殊”的過程，沒有很好地進(jìn)行模型應(yīng)用的拓展。

四、效果測評比較：從“勉強(qiáng)解決”到“得心應(yīng)手”

當(dāng)學(xué)習(xí)完并形成關(guān)于替換問題的數(shù)學(xué)模型后，進(jìn)入鞏固應(yīng)用階段。“初備”和“再備”的練習(xí)題是一樣的。練習(xí)題設(shè)計如下：（1）2輛大客車和5輛小客車，正好載滿100人，每輛大客車比每輛小客車多載8人，每輛大客車和每輛小客車各載多少人？（2）小華購買了3個數(shù)學(xué)本和1個鉛筆刀共10.8元，一個鉛筆刀的價格是一個數(shù)學(xué)本的6倍，求數(shù)學(xué)本和鉛筆刀的單價各是多少？

在“初備”的課堂教學(xué)中，當(dāng)練習(xí)題逐個出示后，只有少數(shù)學(xué)生能夠獨立解決，絕大部分同學(xué)經(jīng)過討論后得以解決，說明了數(shù)學(xué)模型在同學(xué)們頭腦中建立得并不是太牢固，或者說并沒有真正建立。遇到類似問題只是能“勉強(qiáng)解決”。

而在“再備”的課堂教學(xué)中，當(dāng)出示這兩個練習(xí)題后，絕大多數(shù)學(xué)生幾乎異口同聲地回答道：第一題屬于相差關(guān)系的等量替換，第二題屬于倍數(shù)關(guān)系的等量替換。學(xué)生們能夠正確地將兩題區(qū)分開來，說明在他們的頭腦中已經(jīng)建立起了這兩種替換的數(shù)學(xué)模型。更重要的是，學(xué)生在運用數(shù)學(xué)模型解決這兩道題時，還能發(fā)現(xiàn)，“載得多的”和“價格貴的”可以看作“大的”，而“載得少的” 和“價格低的”可以看作“小的”。明顯看出，同學(xué)們運用剛學(xué)過的數(shù)學(xué)模型解決此類問題時變得更加“得心應(yīng)手”了。