例談“尚簡”的解題藝術

朱曉琳

摘 要：數學解題追求“簡約而不簡單”的境界，“尚簡”是數學解題的至真追求。為此，教師要引導學生對數學問題展開去偽存真的分析，可以從“退”中求簡、“化”中求簡、“換”中求簡、“設”中求簡 、“借”中求簡、“分”中求簡。通過化繁為簡、刪繁就簡，發掘“簡”的解題之道，生成“簡”的解題智慧與藝術。

關鍵詞：尚簡；解題藝術；簡中求道

當下的數學解題必須走出復雜化、煩瑣化的傾向。簡單、明快、直接、自然應當是數學學科的本質特征。教學中，教師對數學問題的表述要深入淺出，引導學生抓住問題的數學本質，去粗取精、去偽存真，優化解題思路。解題時，要化繁為簡、刪繁就簡，從“簡”中挖掘解題之道，讓數學解題達到“簡約而不簡單”的境界。

一、 從“退”中求簡

老子說，“少則得，多則惑”。在數學解題教學中，教師要引導學生“以小見大”，將復雜、煩瑣甚至無從下手的數學問題化簡。從簡單的情形開始，或許我們就能讀懂題意，理清數量關系，發現題目中蘊含的數學規律，進而找到問題解決的路徑。

分析：本題看上去比較繁復，直接計算是很難得出結果的。我們可以采用“簡約化”的解題原則——“以小見大”，從中可能發現規律。這也就是著名數學家華羅庚先生所倡導的“欲進先退”的解題策略。華羅庚曾經說過：“善于退、足夠的退，退到最原始而不失重要性的地方是學好數學的一個訣竅。”由于1÷7=0……1；11÷7=1……4；111÷7=15……6；1111÷7=158……5；11111÷7=1587……2；111111÷7=15873。顯然，每6個1除以7能夠沒有余數，而商也呈現出015873的反復出現現象，余數呈現出1，4， 6，5，2的周期現象。由于本題中有2016個1，因此我們用2016除以6，得336，正好是6的倍數。所以，本題中的商為15873015873…015873，余數為0。

二、 從“化”中求簡

對數學問題的認知不能停留于表面，而必須深入到數學本質的層面，通過相似聯想、類比推理將陌生的問題“化”成熟悉的問題。從“化”中求簡，往往能夠打破解題的僵局，化難為易。某種意義上，數學的“化”簡來自于學生的數學直覺、數學靈感，即學生能夠在瞬間產生類似于連接電路的思維通路。

例2：小紅星期天在家里做作業。剛開始做作業時，小紅看了一下鐘面，這時分針略超過時針。做完作業，小紅又看了一下鐘面，發現時針和分針恰好互換了位置。你知道小紅做作業用了多長時間嗎？

分析：粗略地看上去，本題中的已知條件比較特殊，沒有一個數據，好像很難找到解題的路徑。但是仔細讀題并展開數學思考，我們就能發現題目中的一個關鍵條件，那就是“時針和分針恰好互換了位置”，這說明什么呢？“時針和分針恰好互換了位置”說明時針走到了原來分針的位置，分針走到了原來時針的位置。因此，時針和分針一共走了1圈。為此，我們可以將本題簡易地“化”成一個“和倍問題”：分針的速度是時針的12倍，分針和時針一共走了60小格，分針走了多少格？由于“和倍問題”是我們熟悉的問題，因此本題也能迎刃而解。

三、 從“換”中求簡

在數學解題中，有時我們會發現數學題目的形式非常復雜但又隱藏著一定的規律，常常讓我們產生一種欲罷不能的解題欲望，但直接展開求解會比較困難、復雜。為此，我們可以對題目中一些有規律的整體元素進行換元，則有可能將題目的表征形式變得簡單。整體換元能夠讓我們發現題目中隱含的解題規律，通過“換”的方式來尋求解題簡便、巧妙的通道，進而在“曲徑通幽處”誕生出迂回的“巧妙解法”。

四、從“設”中求簡

有些數學問題內含的數量關系比較抽象，在解題時不容易找尋到突破口。為此，教師可以化抽象為具體，通過“假設”使抽象的數量關系顯現出來。通過“假設”，可以讓數學解題過程不蔓不枝、清清楚楚、干干凈凈。在“設”中求簡，彰顯的是教師“以設求解”的解題藝術。

五、 從“借”中求簡

“借”是一種重要的解題策略，在數學學習中，有許多問題通過巧妙的“借與還”能夠使其變得簡單起來?！敖琛笔且环N智慧，通過“借來還去”，許多有難度的問題就會迎刃而解，獲得非常漂亮、非常簡潔的解答。

六、 從“分”中求簡

數學解題總的指導原則就是“化復雜為簡單”。教學中，教師可以采用“分”的策略，對復雜的數學問題進行簡約化處理。當然有時運用“分”的策略解題并不是一蹴而就的，而是需要反復嘗試、探索，才能獲得問題的成功解決。在“分”的過程中，教師要把握數學問題的精髓，當某種“分”的方法出現障礙或問題時，要及時變換，而不能在某一種“分”法上過分糾纏。

例6：公交車A車站有公交車192輛，B車站有公交車48輛，每天從A車站發往B車站的公交車有24輛，從B車站發往A車站的公交車有21輛。那么，幾天以后，B車站的公交車是A站的7倍？

分析：從題目中的關鍵句“每天從A車站發往B車站的公交車有24輛，從B車站發往A車站的公交車有21輛”可以看出，每天A車站都會少3輛公交車。由于題目中的問題是“幾天以后，B車站的公交車是A車站的7倍”，就需要知道當B車站公交車數量是A車站的7倍時，A、B兩站各有多少公交車。于是，我們可以對原來稍復雜的數學問題進行分解，讓數學問題的表征變得簡單些。

由題目可知A車站和B車站共有公交車192+48輛，當B車站的公交車數量是A車站的7倍時， A車站有多少輛車？顯然，將A車站的公交車數量看作1份，那么B車站的公交車數量就是7份，則A車站的公交車數量為：（192+48）÷（7+1）=30（輛）。由于A車站原有公交車48輛，當B車站的公交車數量是A車站的7倍時， A車站的公交車數量為30輛，即A車站一共少了18輛公交車，又因為A車站每天少3輛公交車，故這道題的本質就是“求18輛里有幾個3輛”，列式為18÷3=6。如此，通過“分解”策略，對數學問題展開剝蒜頭式的分析，就能將看似繁雜的問題有效化簡。

大道至簡，真水無香。誠如英國著名戲劇家莎士比亞所說，“簡潔是智慧的靈魂”。在數學解題教學中，教師應當刪繁就簡，從簡中求道。教師從“退”中求簡、從“化”中求簡、從“換”中求簡、從“設”中求簡、從“借”中求簡、從“分”中求簡，就能以簡馭繁，生成簡約的解題策略?！吧泻啞钡慕忸}思想背后彰顯的是學生數學學習的大氣、睿智與深刻。教學中，教師引領著學生展開豐富、靈動、有效的數學解題實踐，就能從根本上提升學生的解題素養。