Bn上一類螺形映照子族的不變性

王朝君，崔艷艷

(周口師范學院數學與統計學院，河南 周口 466001)

Bn上一類螺形映照子族的不變性

王朝君，崔艷艷

(周口師范學院數學與統計學院，河南 周口 466001)

將Roper-Suffridge算子在Cn中單位球Bn上加以推廣，討論了α次強β型螺形映照在推廣后的Roper-Suffridge算子下的不變性.從定義出發，利用雙全純映照的增長定理證明了推廣后的Roper-Suffridge算子在一定條件下保持α次強β型螺形性.

雙全純映照；螺形映照；Roper-Suffridge算子

螺形映照[1]是多復變幾何函數論中重要的映照類，在對螺形映照討論的過程中，人們根據映照不同的幾何特征引入了螺形映照的許多子族，如α次β型螺形映照[2]、α次殆β型螺形映照[2]以及α次強β型螺形映照[2].

1995年，Roper-Suffridge算子[3]的引入，使得可以由單復變函數中具有某些特殊幾何性質的雙全純函數構造出多復變函數中相應的雙全純映照，于是許多學者結合Roper-Suffridge算子討論了螺形映照的子族或擴充，證明了推廣的Roper-Suffridge延拓算子在不同空間與不同區域上保持螺形映照子族的性質.[4-7]

2005年，Muir和Suffridge[8]將Roper-Suffridge延拓算子推廣為

并證明了推廣后的算子在一定條件下保持星形性和凸性.2008年Muir[9]將Roper-Suffridge延拓算子在復Banach空間單位球上進一步推廣為

F(z)=(f(z1)+G([f′(z1)]γz0)，[f′(z1)]γz0)′.

本文在前人工作基礎上將Roper-Suffridge延拓算子進行了改進，討論了α次強β型螺形映照在推廣后的Roper-Suffridge算子作用下的不變性.文中用D表示單位圓盤，Bn表示Cn中的單位球.

1 預備知識

下面將α次強β型螺形映照[2]的概念推廣到Cn中單位球Bn上.

則稱f(z)是Bn上的α次強β型螺形映照.

引理1.1[9]令P(z)是m次齊次多項式，DP(z)是P(z)在z點的Frechet導數，則DP(z)z=mP(z).

證明 令

引理1.3[10]設f(z)是單位圓盤D上的正規化雙全純函數，則

2 主要結論及其證明

證明 由定義1.1，只需證明

(1)

事實上，由F(z)的表達式及引理1.1知

(2)

由于f(z1)是D上的α次強β型螺形函數，由定義1.1得

(3)

由(2)與(3)式知

于是由引理1.2─1.3可得

從而(1)式成立，定理得證.

則F(z)是Bn上的強α次殆β型螺形映照.

注2.1 在定理2.1及推論2.1中令β=0則得到相應的關于強星形映照的結論.

[1] SUFFRIDGE T J.Starlikeness，convexity and other geometric properties of holomorphic maps in higher dimensions[J].Lecture Notes in Math，1976，599：146-159.

[2] 馮淑霞，劉太順，任廣斌.復Banach空間單位球上幾類映射的增長掩蓋定理[J].數學年刊，2007，28A(2)：215-230.

[3] ROPER K A，SUFFRIDGE T J.Convex mappings on the unit ball of Cn[J].J Anal Math，1995，65：333-347.

[4] 王建飛，劉太順.全純映射子族上改進的Roper-Suffridge算子[J].數學年刊，2010，31A(4)：487-496.

[5] LIU X S，FENG S X.A remark on the generalized Roper-Suffridge extension operator for spirallike mappings of typeβand orderα[J].Chin Quart J of Math，2009，24(2)：310-316.

[6] 劉名生，朱玉燦.有界完全Reinhardt域上推廣的Roper-Suffridge算子[J].中國科學A輯，2007，37(10)：1193-1206.

[7] 馮淑霞，劉小松，徐慶華.Loewner鏈與推廣的Roper-Suffridge算子[J].數學物理學報，2009，29A(6)：1601-1612.

[8] MUIR J R.A modification of the Roper-Suffridge extension operator[J].Comput Methods Funct Theory，2005，5(1)：237-251.

[9] MUIR J R.A class of Loewner chain preserving extension operators[J].J Math Anal Appl，2008，337(2)：862-879.

[10] DUREN P L.Univalent Functions[M].New York：Springer-Verlag，1983：57-58.

(責任編輯：李亞軍)

The invarity of a subclass of spirallike mappings onBn

WANG Chao-jun，CUI Yan-yan

(School of Mathematics and Statistics，Zhoukou Normal University，Zhoukou 466001，China)

Generalizing the Roper-Suffridge extension operators on the unit ballBnin Cnand the invarity of strong spirallike mappingns of typeβand orderαunder the generalized Roper-Suffridge operators is discussed.From the definition and the distortion theorem of biholomorphic mappings，it is proved that the generallized operators keep strong spirallikeness of typeβand orderαunder some conditions.

biholomorphic mappings；spirallike mappings；Roper-Suffridge operator

1000-1832(2017)01-0029-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.01.006

2015-04-30

國家自然科學基金資助項目(1271359，U1204618)；河南省自然科學基金資助項目(2011B110034)；河南省教育廳科學技術研究重點項目(17A110041)；河南省科技廳軟科學項目(102400450003).

王朝君(1981—)，男，碩士，講師，主要從事多復變函數論研究；通信作者：崔艷艷(1981─)，女，博士，副教授，主要從事多復變函數論研究.

O 174.56 [學科代碼] 110·41

A