數形結合思想在高中數學解題中的有效應用

魏金鳳

摘 要：數形結合思想是高中數學解題中實用性較強的一種方法，在平常的學習和研究中注重對這種思想的靈活運用，根據題目條件合理運用圖形，根據圖形拓展思維，真正做到“數”和“形”的結合，從而提高學生的解題能力。以高中數學為對象，探析數形結合思想在高中數學解題中的有效應用。

關鍵詞：數形結合思想;高中數學;解題

如今，高中數學學習中，多數同學發現問題、提出問題、勇于創新和挑戰的意識還未養成，機械模仿教師方案、簡單套用教學內容的現象十分普遍。學生只是知識的搬運工，無法通過掌握知識的熟練應用，透過數學概念、原理、模型等進行數學學習的深層次延伸。此外，學生對數學中的概念理解不到位，只能做到詞句之間的表征結構對比，無法從內容本質上進行數形結合解題，對提高高中數學解題能力不利。在高中數學解題中使用數形結合思想，能將代數和幾何問題進行靈活轉化，促使復雜的問題簡單化，幫助學生通過圖形直接看出題目的本質，將抽象問題轉化為具體圖形，這也說明數形結合思想能更便捷地幫助學生理解知識，掌握知識，消化知識。

一、數學結合思想的應用價值

數形結合能讓某些抽象的數學知識變得形象化和生動化，從而將抽象思維轉化為具象思維，幫助學生分析和理解，在高中數學解題中有著較為廣泛的應用。數形結合思想作為重要的數學思想之一，從本質上來看是將抽象的數字語言同直觀的圖形語言有機地結合起來，對該思想的應用，關鍵在于促進數字與圖形彼此間的有效轉化，促使數字問題實現圖形化，圖形問題能夠實現數字化，借助這種轉化，讓數學問題從復雜向簡單轉化，使解題過程事半功倍。對于數形結合思想來說，其主要分為兩種：一為以圖形性質為條件，對數值進行求解，即借助圖形的直觀性對數字間關系加以解決;二為以數字為條件，對圖形性質進行分析，即借助數字的嚴謹及精確性，對圖形性質進行分析[1]。隨著高中數學問題抽象化加深，數學學習中知識點理解困難形成學習阻礙，學習壓力提升。而數形結合不僅是一種教學方法，更是一種思維方式和解題策略。在抽象知識的學習中高效應用數形結合思想可以對一些問題采用圖形表示，利用圖形對數學語言進行解釋更為直觀，從而解決抽象的、較難理解的數學問題，幫助學生降低高中數學解題難點[2]。在實際解題過程中，學生可通過題目已知條件，利用圖形獲取答案，找出其中的數量關系。

二、數形結合思想的應用

（一）在集合問題解題中的應用

在高中數學學習中，集合作為其中基礎和重點內容，是較為常考的題目。集合在表示方法上有很多，對集合題目進行求解時，如僅依靠字面意思或數學符號加以理解及解題，會存在較大的難度。對集合類題目進行解題時，如果應用數形結合思想，以文氏圖、數軸等較為明顯的圖像將集合表現出來，能夠使抽象的集合問題簡化，繼而更容易求解出來，有效提升集合問題的解題效率。例如：M、N為集合I的非空真子集，且兩個子集并不相等。如M∩CIM=？準，則M∪N=（? ）。

對這一集合問題進行求解過程中，可對數形結合思想加以引入，通過文氏圖來求解，對解題思路進行簡化。如下圖1所示，M∩CIM=？準，所以N？哿M。由于M≠N，所以N真包含于M，因此M∪N=M。在這一解題過程中，對數形結合思想的應用，使得各類復雜的計算過程得以避免。

（二）在立體幾何解題中的應用

在高中數學學習中，立體幾何屬于重要知識體系，對于很多學生來說也屬于學習難點。從立體幾何的概念可以看出，其具有立體特點，對立體幾何進行學習時，同樣需要具備立體感和空間想象力。在立體幾何問題的解題中，對數形結合思想加以應用，可借助立體幾何圖形和數字的有機結合，實現對立體幾何解題過程的簡化，提高立體幾何解題效率和正確性。如下圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，其底面為平行四邊形。已知∠DAB為60°，且AB=2AD，PD⊥面ABCD。若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

在立體幾何題目中，對二面角進行求解時，通常需要找出對應平面角，在計算其邊長的基礎上，將余弦定理引入然后進行求解。該求解過程需要展開大量計算，且需要通過輔助線進行求解，容易出現錯誤。而對數形結合思想加以應用，通過向量法進行求解，則可使復雜的幾何問題向相對簡單的代數問題轉變，在解題思路與過程上均可得到較大簡化。解題過程中，可根據圖2畫出圖3。

綜上所述，數形結合思想作為解決高中數學題型比較實用的一種方法，特別是在解決高中幾何題型中具有明顯的優勢。本文從數形結合思想應用價值入手依托具體例子，分析其在數學解題中的有效應用。

參考文獻：

[1]孔憲榮.數形結合思想在高中數學中的應用探究[J].高中數理化，2015（12）：13.

[2]周晶.淺談數形結合方法在高中數學解題中的應用[J].中學課程輔導（教學研究），2017，11（5）：224-225.

編輯 謝尾合