一種基于幾何分析的單軸指向磁控算法

寇義民，袁 勤，季艷波，張迎春

(1.深圳東方紅海特衛(wèi)星有限公司，深圳518057;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001)

一種基于幾何分析的單軸指向磁控算法

寇義民1，2，袁 勤1，季艷波1，張迎春1，2

(1.深圳東方紅海特衛(wèi)星有限公司，深圳518057;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001)

為滿足微小衛(wèi)星安全模式與其它特定工作模式下的單軸指向需求，提出一種單軸指向磁控方法。該方法包含以下步驟:首先采用空間幾何分析方法將指向控制轉(zhuǎn)軸的選擇范圍擴(kuò)展到一個(gè)平面內(nèi)，進(jìn)而在衛(wèi)星角速度較小的情況下通過(guò)慣量陣仿射坐標(biāo)變換獲取當(dāng)前磁場(chǎng)下可控的角加速度平面，然后在該角加速度平面內(nèi)以及該平面與轉(zhuǎn)軸平面交線上進(jìn)行速率阻尼與轉(zhuǎn)向控制，從而實(shí)現(xiàn)單軸精準(zhǔn)指向。相較于傳統(tǒng)方法，本方法的優(yōu)勢(shì)包括:無(wú)額外的干擾磁場(chǎng)力矩產(chǎn)生，幾乎不受軌道形狀制約，不要求慣量積為零。在仿真中成功實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星單軸對(duì)地或?qū)θ眨M(jìn)一步校驗(yàn)了該方法的正確性。

微小衛(wèi)星;單軸指向;主動(dòng)磁控;空間幾何分析

0 引 言

衛(wèi)星磁控技術(shù)具有硬件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)活動(dòng)部件、成本低、可靠性高等諸多優(yōu)點(diǎn)，目前已經(jīng)在近地軌道飛行器控制中獲得了較為廣泛的應(yīng)用。然而與傳統(tǒng)控制方法不同的是，磁控力矩方向受地磁場(chǎng)方向的限制，只能在地磁場(chǎng)法平面內(nèi)產(chǎn)生，這導(dǎo)致系統(tǒng)在任何時(shí)刻不是完全可控［1］，故通常難以作為主要姿態(tài)控制方法，而僅能用于速率阻尼、動(dòng)量輪卸載等輔助控制領(lǐng)域。

早期磁控方法是采用經(jīng)典控制方法設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器，求得控制力矩后采用下式反推控制磁矩［2］，如下所示:

式中:T為控制器所需控制力矩，B為地磁場(chǎng)矢量，M即為控制磁矩。由式(1)所獲得的磁矩M實(shí)際產(chǎn)生的磁控力矩為

式中:Tc為總磁控力矩，其分量T為控制器所需力矩，另一分量Td可以看作是干擾力矩。當(dāng)B與T接近垂直時(shí)Td趨近于0，但實(shí)際情況下這幾乎是不可能的。由于Td的存在，控制效果必然受到影響，有時(shí)甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散。

為解決此類問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究工作［3－7］。文獻(xiàn)［3－4，8］設(shè)計(jì)了周期線性二次型調(diào)節(jié)控制器實(shí)現(xiàn)三軸穩(wěn)定控制，文獻(xiàn)［5］采用二階滑膜控器以提升系統(tǒng)魯棒性，文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)有界控制器解決磁控系統(tǒng)全局可鎮(zhèn)定問(wèn)題。但前述方法所基于的數(shù)學(xué)模型均要求衛(wèi)星軌道必須為太陽(yáng)同步圓軌道且慣量積趨近于零，否則會(huì)產(chǎn)生較大控制偏差，運(yùn)算也較為復(fù)雜。也有學(xué)者嘗試采用較為簡(jiǎn)化的控制方案，如文獻(xiàn)［7］采用的被動(dòng)控制方案，雖簡(jiǎn)單易行，但只能令衛(wèi)星單軸跟蹤地磁場(chǎng)磁力線，應(yīng)用范圍有限。

實(shí)際應(yīng)用中純磁控大多情況下只是衛(wèi)星在其它控制部件異常時(shí)采取的應(yīng)急方案，此時(shí)通常只需太陽(yáng)帆板對(duì)日來(lái)保證能源供應(yīng)以便為故障排除贏得時(shí)間;還有部分任務(wù)也只需考慮單軸指向問(wèn)題，如嫦娥一號(hào)衛(wèi)星奔月期間僅采用了單軸指向控制［9］;此外還可替代重力梯度桿實(shí)現(xiàn)天線或載荷對(duì)地。為此本文將提出一種單軸指向磁控方法，該方法通過(guò)空間幾何分析尋找次優(yōu)轉(zhuǎn)軸平面，以及當(dāng)前磁力矩所能產(chǎn)生的角加速度平面，在兩者的交線上進(jìn)行角速度控制，從而實(shí)現(xiàn)令星體上任一軸向指向慣性空間內(nèi)任一目標(biāo)軸的單軸指向控制。相較于現(xiàn)有方法，此方法簡(jiǎn)單易行，沒有額外干擾力矩產(chǎn)生，且基本不受軌道形狀和衛(wèi)星慣量積約束。

1 基礎(chǔ)推導(dǎo)與證明

1.1 轉(zhuǎn)軸平面引理證明

引理1的主要作用是擴(kuò)展了單軸指向控制中轉(zhuǎn)軸的選擇范圍，除最優(yōu)轉(zhuǎn)軸外還可以選擇同一平面內(nèi)的其它轉(zhuǎn)軸令指向，為方便起見后續(xù)平面DOC簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)軸平面。需注意的是，當(dāng)與夾角小于90°時(shí)所需轉(zhuǎn)角小于180°，反之大于180°。此外，轉(zhuǎn)軸平面的單位法向量P的計(jì)算如下所示:

1.2 角加速度平面與轉(zhuǎn)軸平面的交線

根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)方程可知，假定飛行器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣為I，瞬時(shí)角速度為ω，在控制力矩T作用下飛行器的角加速度為:

因磁力矩T位于地磁場(chǎng)B的法平面內(nèi)，T一定可以用該法平面內(nèi)一對(duì)非平行的向量X和Y線性表示，即對(duì)于任意磁控力矩T必有

其中a和b為常數(shù)，將式(13)代入式(12)有

根據(jù)仿射坐標(biāo)變換的平行保持性質(zhì)，因X與Y不平行，仿射變換后X'與Y'也必定不平行，故磁場(chǎng)法平面內(nèi)任意力矩T所產(chǎn)生的角加速度都位于向量X'與Y'所張成的平面內(nèi)(該平面簡(jiǎn)稱為角加速度平面)，由此通過(guò)仿射坐標(biāo)變換形成了由磁場(chǎng)法平面到角加速度平面的一對(duì)一映射關(guān)系。可按照下式獲取角加速度平面的單位法向量Z':

當(dāng)轉(zhuǎn)軸平面與角加速度平面不平行時(shí)必有交線，該交線同時(shí)垂直于兩平面各自的法線，故可按下式求取兩平面交線上的單位向量W

2 控制器設(shè)計(jì)

當(dāng)瞬時(shí)角速度很小時(shí)，磁場(chǎng)法平面內(nèi)磁控力矩所產(chǎn)生的角加速度近似位于角加速度平面內(nèi)，那么根據(jù)引理1的結(jié)論，可按照下述方法實(shí)現(xiàn)單軸指向控制:

式中:Kd為控制系數(shù)，Z'為角加速度平面單位法向量，ω為星體瞬時(shí)角速度，而(ω·Z')Z'為ω中垂直于角加速度平面的分量，故ω－(ω·Z')Z'為ω中平行于角加速度的分量。

進(jìn)一步在已知角加速度的基礎(chǔ)上，利用式(12)來(lái)計(jì)算磁控力矩:

綜上，建立單軸指向控制器的步驟如下:

2)通過(guò)式(10)獲取轉(zhuǎn)軸平面的單位法向量P;

3)取任一與B不平行的矢量與B叉乘并歸一化獲得X，X與B叉乘歸一化獲得Y，由此獲取磁場(chǎng)法平面內(nèi)正交單位向量X和Y;

4)由式(14)和式(15)獲得角加速度平面單位法向量Z';

6)由式(16)獲得轉(zhuǎn)軸平面與角加速度平面交線上的單位向量W，進(jìn)而選擇合適的控制系數(shù)由式(18)～(20)和式(1)計(jì)算控制磁矩M。

需要指出的是式(17)與式(18)為PD控制，式(19)為速率阻尼控制，但具體的穩(wěn)定性數(shù)學(xué)證明仍有待在后續(xù)工作中進(jìn)一步完善。

3 仿真校驗(yàn)

在Matlab下開展仿真校驗(yàn)，采用東方紅海特衛(wèi)星有限公司研制的KT－1A衛(wèi)星作為模擬控制對(duì)象。該衛(wèi)星為120 kg的微小衛(wèi)星，采用偏置動(dòng)量方式進(jìn)行姿態(tài)控制并安裝有三軸磁力矩器。但在仿真過(guò)程中動(dòng)量輪絕對(duì)無(wú)任何力矩或角速度輸出，以確保磁力矩器為唯一控制部件。衛(wèi)星相關(guān)信息參數(shù)詳見表1，其中軌道為非真實(shí)模擬軌道，特地采用了小傾角且存在較小偏心率的近圓軌道以檢驗(yàn)控制器性能。分別模擬令星體Z軸指向地心以及令星體－Y軸指向太陽(yáng)的兩種情況開展仿真。

表1 KT－1A衛(wèi)星參數(shù)Table 1 Parameters of KT－1A satellite

星體Z軸對(duì)地指向控制的初始仿真參數(shù)如表2所示，其仿真結(jié)果如圖2～5所示。由于軌道高度處于500 km以上，仿真中干擾力矩主要來(lái)自重力梯度力矩與剩磁力矩，氣阻干擾將被忽略。

由圖2中仿真結(jié)果可知，系統(tǒng)在約12000 s后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，指向誤差可達(dá)2°以內(nèi)。從圖3可以看出，衛(wèi)星相對(duì)軌道系偏航角在±180°之間變化，而俯仰角與滾轉(zhuǎn)角很小，故星體非三軸穩(wěn)定，而是繞Z軸存在明顯轉(zhuǎn)動(dòng)。

表2 對(duì)地指向仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters of Earth pointing

采用相同的軌道參數(shù)進(jìn)行星體－Y軸對(duì)日指向模擬仿真，其初始仿真參數(shù)如表3所示。仿真結(jié)果如圖6～9所示。

表3 對(duì)日指向仿真參數(shù)Table 3 Simulation parameters of Sun pointing

由仿真結(jié)果(圖6)可知，對(duì)日指向誤差在8500 s內(nèi)收斂于3°以內(nèi)。由圖8可知，Y軸角速度(位于±0.2°/s之間)遠(yuǎn)大于另外兩軸角速度(位于±0.02°/s之間)，說(shuō)明星體大略沿Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。后又采用多組不同初始軌道參數(shù)與初始姿態(tài)，無(wú)論對(duì)日還是對(duì)地指向皆可獲得較好的效果，進(jìn)一步驗(yàn)證了本方法的有效性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)單軸指向控制問(wèn)題，提出了一種基于空間幾何分析和仿射坐標(biāo)變換的全新磁控算法。該方法簡(jiǎn)便易行，避免了磁控干擾力矩的產(chǎn)生，幾乎不受軌道形狀以及星體慣量積等因素制約，具有較強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值。通過(guò)仿真對(duì)本方法進(jìn)行了校驗(yàn)，仿真中采用慣量積非零的星體慣量陣，小傾角非圓軌道，以純磁控實(shí)現(xiàn)了星體單軸對(duì)地或?qū)θ罩赶颍抡娼Y(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本方法的可行性。本方法的穩(wěn)定性證明需要在后續(xù)工作中進(jìn)一步完成。

［1］ 郭延寧.衛(wèi)星姿態(tài)的磁控制方法研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2008.［Guo Yan-ning.Satellite attitude control methods using only magnetorquers［D］.Harbin:Harbin Institute of Technology，2008.］

［2］ 屠善澄.衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)與控制(2)［M］.北京:中國(guó)宇航出版社，1998:283－289.

［3］ Fredrik S H.Optimal attitude control of a double cubesat using magnetorquers［D］.Trondheim: Norwegian University of Science and Technology，2011.

［4］ Wisniewski R.Linear time-varying approach to satellite attitude control using only electromagnetic acuation［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2000，23(4):640－647.

［5］ Janardhana S，Mashuq U N，Pyare M T.Attitude control of magnetic actuated spacecraft using super-twisting algorithm with nonlinear sliding surface［C］.The 12th IEEE Workshop on Variable Structure Systems，Mumbai，India，January 12－14，2012.

［6］ Zhou B.Global stabilization of periodic linear systems by bounded controls with applications to spacecraft magnetic attitude control［J］.Automatica，2015，60(1):145－154.

［7］ Takaya I，Kentarou I，Junhwi B，et al.Interplanetary magnetic attitude control in small sized spacecraft［C］.2016 IEEE Aerospace Conference，Montana，USA，March 6－11，2016.

［8］ Chasset C，Noteborn R，Bodin P，et al.3－axis magnetic control:flight results of the TANGO satellite in the PRISMA mission［J］.CEAS Space，2013，23(5):1－17.

［9］ 張洪華，王芳.欠驅(qū)動(dòng)撓性航天器的單軸指向控制［J］.宇航學(xué)報(bào)，2011，32(7):1491－1501.［Zhang Hong-hua，Wang Fang.Single axis pointing control for underactuated flexible spacecraft［J］.Journal of Astronautics，2011，32(7):1491－1501.］

通信地址:深圳市南山區(qū)科園路2002號(hào)衛(wèi)星大廈425房間(518054)

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(編輯:牛苗苗)

A Geometry Approach to Single Axis Pointing Control Using Only Electromagnetic Actuation

KOU Yi-min1，2，YUAN Qin1，JI Yan-bo1，ZHANG Ying-chun1，2
(1.Aerospace Dongfanghong Development Ltd.，Shenzhen 518057，China; 2.Department of Control Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

A control strategy for single axis pointing of micro-satellites is proposed which uses only magnetictorquers.This method is useful in satellites'safe modes and other specific situations.It contains the following steps:firstly，a geometry algorithm is utilized to extend the collection of the rotation axis to a plane，along which the current and target directions can coincide;secondly，an angle acceleration plane is found by affine transaction from the perpendicular plane of the local geomagnetic field with the satellite's inertial matrix;thirdly，a controller that works along the intersecting line of the rotation axis plane and the angle acceleration plane is constructed to control both the rotating direction and the speed.Compared with the existing methods，this new method has advantages such as no additional disturbance from magnetic torque，less limitation from orbit shape as well as inertia products need not to be zero.The performance of the controller is validated in simulation，in which the Sun pointing and the Earth pointing with single axis are realized.

Micro-satellite;Single axis pointing control;Active magnetic control;Geometry analysis

V412.4

A

1000-1328(2017)01-0066-06

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.01.009

寇義民(1980－)，男，博士，高級(jí)工程師，主要從事微小衛(wèi)星姿控系統(tǒng)與星務(wù)數(shù)管系統(tǒng)研究。

2016-04-22;

2016-10-28