題組變式訓練(二)
——數學文化高考訓練題

2017-03-28 05:59:37山東尹承利

教學考試(高考數學) 2017年1期

關鍵詞：數學

山東尹承利

【編者按】2016年9月26日，教育部考試中心下發《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》，公布了2017年各學科高考大綱的主要修訂內容.數學考綱最大的變化就是第一次明確地提出在高考數學中考查數學文化.一時間，“數學文化怎樣考”成為2017屆師生關注的話題.為此，本刊特歸納一組《數學文化高考訓練題》，以助力2017屆師生復習備考.

【函數、不等式】

1.“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”——這說明同一事物從不同角度看，我們會有不同的認識.在數學解題活動中，倘若能恰當地改變分析問題的角度，往往會有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的豁然開朗之感.請閱讀以下問題及其解答：

問題：對任意a∈[-1,1]，不等式x2+ax-2≤0恒成立，求實數x的取值范圍.

解：令f(a)=xa+(x2-2)，則對任意a∈[-1,1]，不等式x2+ax-2≤0恒成立，

類比其中所用的方法，可解得函數g(x)=2x3-ax2-8x-(a2+4a)(a<1)的零點為________.

【數列與推理】

1.我國古代數學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：

第二步：將數列①的各項乘以n，得數列(記為)a1，a2，a3，…，an.

則a1a2+a2a3+…+an-1an等于

( )

A.n2B.(n-1)2

C.n(n-1) D.n(n+1)

2.(2012·山東模擬)將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數列5,9,14,20，…為梯形數，根據圖形的構成，此數列的第2 012項與5的差即a2 012-5=

( )

A.2 018×2 012 B.2 018×2 011

C.1 009×2 012 D.1 009×2 011

3.古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,6,10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1,4,9,16…這樣的數稱為“正方形數”.如圖，可以發現，任何一個大于1的正方形數都可以看作兩個相鄰的三角形數之和，下列等式中，符合這一規律的表達式是

( )

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36.

A.①④ B.②⑤ C.③⑤ D.②③

4.欣賞中國古代數學詩(明朝·程大位作)：遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增.共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？則該塔塔頂有________盞燈.

5.《九章算術》之后，人們進一步用等差數列求和公式來解決更多的實際問題，《張丘建算經》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現在一月(按30天計)，共織390尺布”，則每天比前一天多織( )尺布.(不作近似計算)

( )

6.下表中數陣稱為“森德拉姆篩”，其特點是每行、每列都是等差數列，則表中數字206共出現________次.

23456…357911…47101316…59131721…611162126…………………

7.某少數民族的刺繡有著悠久的歷史,如下圖①②③④是她們刺繡的最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成,小正方形數越多刺繡越漂亮.現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同),設第n個圖形包含的小正方形個數為f(n)，

則(Ⅰ)f(n)-f(n-1)=________(n≥2,n∈N)；

(Ⅱ)f(2 015)-f(2 013)=________.

8.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個格子的方法數為

( )

A.8 B.13 C.21 D.34

9.第七屆國際數學教育大會的會徽圖案是由下圖中一串直角三角形演化而成的，其OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，記OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的長度所成的數列為{an}(n∈N*,1≤n≤8).

(1)寫出數列{an}的通項公式；

(2)如果把圖中的直角三角形繼續作下去，那么OA2018的長為多少？

10.(2013·湖北文)在平面直角坐標系中，若點P(x,y)的坐標x，y均為整數，則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S，其內部的格點數記為N，邊界上的格點數記為L.例如圖中△ABC是格點三角形，對應的S=1，N=0，L=4.

(1)圖中格點四邊形DEFG對應的S,N，L分別是；

(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數.若某格點多邊形對應的N=71，L=18，則S=________(用數值作答).

【立體幾何】

1.(2016·黃岡中學模擬)《九章算術》商功章有題：一圓臺形谷倉，谷倉口直徑為六尺，谷倉底直徑為一丈八尺，谷倉高一丈八尺，若谷倉屯米高九尺，則谷倉屯米約為( )斛.(1斛≈1.62立方尺，1丈=10尺，π≈3)

A.650 B.950 C.1 950 D.2 850

2.如圖，取一個底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體與一個半徑為R的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環面(圖中陰影部分).設截面面積分別為S圓和S圓環，那么

( )

A.S圓>S圓環B.S圓=S圓環

C.S圓

【概率、統計】

1.(2012·湖北·13)回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3 443，94 249等.顯然2位回文數有9個：11，22，33，…，99；3位回文數有90個：101，111,121，…，191，202，…，999.

(1)4位回文數有________個；

(2)2n+1(n∈N*)位回文數有________個.

2.如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列：1，2，3，3，6，4，10，…，記這個數列的前n項和為S(n)，則S(16)等于

( )

A.144 B.146 C.164 D.461

3.(2007·湖南)將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖所示的01三角數表.

第1行________ 1 1

第2行 1 0 1

第3行 1 1 1 1

第4行 1 0 0 0 1

第5行 1 1 0 0 1 1

…________… …

從上往下數，第1次全行的數都為1的是第1行，第2次全行的數都為1的是第3行，…，第n次全行的數都為1的是第________行；第61行中1的個數是________.

5.如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的S為

( )

A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值

B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值

C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值

D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值

參考答案與提示

【函數、不等式】

【數列與推理】

3.【解析】這些三角形數依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形數是三角形數中相鄰兩數之和，易得15+21=36,28+36=64，只有③⑤是對的.故選C.

6.【解析】第i行第j列的數記為Aij.那么每一組i與j的解就是表中一個數.因為第一行數組成的數列A1j(j=1，2，…)是以2為首項，公差為1的等差數列，所以A1j=2+(j-1)×1=j+1.所以第j列數組成的數列Aij(i=1，2，…)是以j+1為首項，公差為j的等差數列.所以Aij=(j+1)+(i-1)×j=ij+1.令Aij=ij+1=206，即ij=205=1×205=5×41=41×5=205×1，所以，表中206共出現4次.

7.【解析】(Ⅰ)根據前面四個發現規律：

f(2)-f(1)=4×1，

f(3)-f(2)=4×2，

f(4)-f(3)=4×3，

…

f(n)-f(n-1)=4(n-1)(n≥2,n∈N).

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，f(2 015)-f(2 014)=4×2 014，

f(2 014)-f(2 013)=4×2 013，

故f(2 015)-f(2 013)=f(2 015)-f(2 014)+f(2 014)-f(2 013)=4×2 014+4×2 013=16 108.

8.【解析】設跳到第n個格子的方法種數有an，則到達第n個格子的方法有兩類：

①向前跳1格到達第n個格子，方法種數為an-1；

②向前跳2格到達第n個格子，方法種數為an-2，則an=an-1+an-2，由數列的遞推關系得到數列的前8項分別是1，1，2，3，5，8，13，21.