函數凹凸性定義的進一步研究

孟麗君

【摘要】 凹凸函數是一種非常重要的函數，它在最優化理論、泛函分析、不等式證明等方面有重要應用.本文主要以凸函數為主，通過介紹不同凸函數的定義，給出了凸函數定義之間的關系，加深了對凸函數定義的理解，并給出了凸函數的定義在證明不等式中的應用.

【關鍵詞】 函數凹凸性；等價；不等式

一、函數凹凸性的定義

在不同數學教材或論文中，函數凹凸性的定義也不完全相同，本文總結出幾種常用的定義：

定義1 設函數f（x）在區間I上有定義，若x1，x2∈I，λ∈（0，1），有

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）， （1）

則稱f（x）在區間I上是凸函數.

定義2 設函數f（x）在區間I上有定義，若x1，x2∈I，有

f x1+x2 2 ≤ f（x1）+f（x2） 2 ， （2）

則稱f（x）在區間I上是凸函數.

定義3 設函數f（x）在區間I上有定義，若x1，x2，…，xn∈I，有

f x1+x2+…xn n ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xn） n ， （3）

則稱f（x）在區間I上是凸函數.

定義4 設函數f（x）在區間I上有定義，若y=f（x）在區間I上任意點的切線在曲線以下，則稱f（x）在區間I上是凸函數.

二、凸函數定義之間關系

上述定義都是凸函數的定義，但并不能說定義1，2，3，4彼此之間完全等價，本文依次梳理上述定義的關系.

定理1 定義1定義2.

證明 令λ= 1 2 ，由（1）式很容易得出f x1+x2 2 ≤ f（x1）+f（x2） 2 ，即定義1定義2，反之則不成立.

定理2 定義2定義3.

證明 定義3定義2，令（3）式中n=2定義2.重點應該放在證明定義2定義3.

（Ⅰ）由（2）式可知（3）式當n=2時成立.從而x1，x2，x3，x4∈I，有

f x1+x2+x3+x4 4 =f x1+x2 2 + x3+x4 2 2 ≤

f x1+x2 2 +f x3+x4 2 2

≤ f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4） 4 .

即定義3中（3）式當n=4時成立.以此類推，重復上面步驟，可知（3）式當n=2k時皆成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（3）式對一切n取偶數時成立，現在證明重點由n取偶數時成立推出n取奇數時成立.即只要說明（3）式對n=k+1時成立，也對n=k時成立.

令A= x1+x2+…+xk k ，則kA=x1+x2+…+xk，

進而（k+1）A=x1+x2+…+xk+AA= x1+x2+…+xk+A k+1 ，

故有f（A）=f x1+x2+…+xk+A k+1

≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xk）+f（A） k+1 .

上式兩邊同乘k+1，減去f（A），可得

f x1+x2+…+xk k ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xk） k ，

上式說明（3）式對n=k時成立.

定理3 若f（x）連續，則定義1，定義2和定義3等價.

證明 重點應該放在證明定義2，定義3定義1.

（Ⅰ）設x1，x2∈I，為證明（1）式對λ∈（0，1）成立.我們先證明λ= m n ∈（0，1）為有理數時成立，其中為m，n為自然數，而且m

f（λx1+（1-λ）x2）

=f m n x1+ 1- m n x2

=f mx1+（n-m）x2 n

=f x1+x1+…+x1 m +x2+x2+…+x2 n-m n

≤ f（x1）+…+f（x1） m +f（x2）+…+f（x2） n-m n

= mf（x1）+（n-m）f（x2） n = m n f（x1）+ 1- m n f（x2）

=λf（x1）+（1-λ）f（x2）.

從而λ為有理數情況下說明定義2，定義3定義1.

（Ⅱ）對λ∈（0，1）的無理數，則存在有理數λn∈（0，1）（n=1，2，…），使得λn→λ（當n→∞時）.從而有f（λx1+（1-λ）x2）=f[lim n→∞ （λnx1+（1-λn）x2）].

由于f（x）連續，上式為

f（λx1+（1-λ）x2）=f[lim n→∞ （λnx1+（1-λn）x2）]=lim n→∞ f（λnx1+（1-λn）x2）.

由（Ⅰ）可知對于任意有理數λn，有f（λnx1+（1-λn）x2）≤λnf（x1）+（1-λn）f（x2）.

（上接 40 頁）

上式兩端取極限，得出

lim n→∞ f（λnx1+（1-λn）x2）≤lim n→∞ [λnf（x1）+（1-λn）f（x2）]=λf（x1）+（1-λ）f（x2）.

從而得出f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）.

從而說明λ為無理數情況下定義2，定義3定義1.

定義1適用范圍更廣，包含了定義2、3，當函數連續時，定義2、3才等價于定義1，但因為不含參數λ∈（0，1），從而使用起來要比定義1簡單.

定義1與定義4的關系，需要先證明一下引理才可以說明.

引理 設函數f（x）在區間I上有定義，且f（x）在區間I上是凸函數，當且僅當x1，x2，x3∈I，且x1

證明 （Ⅰ）必要性.

由于f（x）在區間I上是凸函數，按照定義1可得x1，x3∈I，λ∈（0，1），有

f（λx1+（1-λ）x3）≤λf（x1）+（1-λ）f（x3）. （*）

取λ= x3-x2 x3-x1 并代入不等式得出

f（x2）≤ x3-x2 x3-x1 f（x1）+ x2-x1 x3-x1 f（x3）. （**）

同減f（x1），同除以x2-x1，

易得出 f（x2）-f（x1） x2-x1 ≤ f（x3）-f（x1） x3-x1 ，

同理可證 f（x3）-f（x1） x3-x1 ≤ f（x3）-f（x2） x3-x2 .

（Ⅱ）充分性.

λ∈（0，1），若令x2=λx1+（1-λ）x3，則取λ= x3-x2 x3-x1 ，從而可由（**）推得（*），故f（x）在區間I上是凸函數.

定理4 若f（x）在區間I內可導，則定義1、定義2、定義3和定義4等價；此命題可以改寫為若f（x）在區間I內可導，則f（x）在區間I上是凸函數，充要條件是：x0∈Io（I全體內點組成的集合），有f（x）≥f′（x0）（x-x0）+f（x0）（x∈I）.

證明 略.

三、凸函數在證明不等式方面的應用

例 （Jensen不等式）若f（x）在區間I上是凸函數，則對xi∈I，λi>0（i=1，2，…，n），∑ n i=1 λi=1，有

f（∑ n i=1 λixi）≤∑ n i=1 λif（xi）. （5）

證明 （Ⅰ）當n=2，由定義1可得（5）式成立；

（Ⅱ）假設當n=k時（5）式成立.即xi∈I，αi>0（i=1，2，…，k），∑ k i=1 αi=1，有f（α1x1+α2x2+…+αkxk）≤α1f（x1）+α2f（x2）+…+αkf（xk），

則x1，x2，…，xk，xk+1∈I，λi>0（i=1，2，…，k+1），∑ k+1 i=1 λi=1，有：

從而對于任何正整數n≥2，f（x）是凸函數，總有（5）式成立.