一類對合冪等元半環的刻畫

王紅喜

【摘要】 本文研究了滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的對合冪等元半環簇的一個子簇，討論了該簇中成員的一些性質，最后，給出了這類對合冪等元半環的幾個等價刻畫.

【關鍵詞】 對合冪等元半環；簇；單演雙半格

一、引言與預備知識

在半環代數理論的研究中，對冪等元半環的研究是十分活躍的領域.近年來，許多專家學者對其進行了深入細致的研究.Sen M.K等研究了滿足恒等式x+xy+x≈x+yx+x≈x的冪等元半環簇的一個子簇R + ○ D.對合半環在代數學的不同領域和計算機科學中占有重要地位.例如，在形式語言和自動機理論中語言對合半環豐富了Kleene循環運算理論.近年來，Dolinca I對對合半群和對合半環做了大量的研究.

本文給出了滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的對合冪等元半環簇的一個子簇，討論了該簇中成員的一些性質，最后，得到了這類對合冪等元半環的幾個等價刻畫.

若非空集合S上裝有兩個二元運算加法+和乘法·，其中（S，+）和（S，·）是半群，且滿足乘法對加法的分配律，即（a，b，c∈S），a（b+c）=ab+ac，則稱（S，+，·）是半環.以下在不引起混淆的情況下，半環（S，+，·）簡寫為S.

冪等元半環是指（S，+，·）是半環，且（a∈S），a+a=a，aa=a.

含對合運算的半環（S，+，·，）是指（S，+，·）是半環，且有下式成立：

（a，b∈S）（a+b）=b+a，（ab）=ba，（a）=a.

即是S上的反自同構，也可以看作半環上的一元運算.把含對合運算的冪等元半環簡稱為對合冪等元半環.

簇是關于同態像、直積和子代數封閉的代數類.所有對合冪等元半環形成的類是滿足一組給定等式的代數類，因而它就是一個簇.雙半格是滿足恒等式x+y≈y+x，xy≈yx的冪等元半環.單演雙半格是滿足恒等式x+y≈xy的雙半格，左零半環是滿足恒等式x+y≈xy≈x的半環.為了以下敘述的方便，本文將用I表示對合冪等元半環簇，用M表示對合單演雙半格簇，用Lz表示對合左零帶簇.兩個冪等元半環類V和W的Mal′cev積，記為V ○ W.它是滿足下面條件的冪等元S的全體：S上存在同余ρ使得S/ρ∈W和每個ρ-類都是S的子代數，且都在V中.

若（S，+，·）是半環，則D + 和D · 分別表示加法和乘法半群上的格林關系，若S∈I，易得D + 是S上的同余關系，而D · 不是S上的同余關系，但D + 和D · 分別是（S，+）和（S，·）上的最小半格同余.

二、主要結果

我們主要來研究滿足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的對合冪等元半環，為此先來給出一個引理.

引理2.1 若對合冪等元半環S滿足附加恒等式

x+y≈xy， （1）

x+y+x≈x+y. （2）

則S滿足

x+xy+x≈y+yx+y≈y+x， （3）

x+xy≈xy+y≈xy. （4）

引理2.2 若S是滿足（3）與（4）的對合冪等元半環，則D + 是S上的最小單演雙半格同余.

定理2.3 若S是對合冪等元半環，則下列命題等價

（ⅰ）S滿足（1）與（2）；

（ⅱ）S滿足（3）與（4）；

（ⅲ）D + 是S上的最小單演雙半格同余，且每個D + -類滿足x+y≈xy≈x；

（ⅳ）S∈Lz ○ M（這里M是含對合運算的單演雙半格）.

證明 由引理2.1知，（ⅰ）（ⅱ）成立.

下證（ⅱ）（ⅲ），由引理2.2知，D + 是S上的最小單演雙半格同余，只需證每個D + -類滿足x+y≈xy≈x即可.由D + 的定義得每個D + -類是矩形帶，又D + -類也滿足（3）與（4），故有

a+b=a+ab+a=ab+a=a+b+a=a，

ab=a+ab=a（a+b）=a（a+ab+a）=aa=a.

（ⅲ）（ⅳ）.

易知S上的對合運算可誘導S/D + 上的對合運算，即M是含對合運算的單演雙半格.

（ⅳ）（ⅰ）.若S∈Lz ○ M，則存在δ∈con（S），使得S/δ∈M，且每個δ-類屬于Lz，設a，b∈S，則（ab）δ（a+b）δ（b+a）δ（ba），又由每個δ-類是左零帶，所以

ab+ba=ab，ab+bab=（a+b）ab=a+b，

由（ab）δ（ba），得（bab）δ（bba）.

從而（bab）δ（ba），babab=ba，bab=ba，

于是a+b=ab+bab=ab+ba=ab，a+b+b+a=a+b+a=a+b，

所以（ⅰ）成立.