模型思想：一個具有豐富意義的數學概念

徐冬梅

[摘 要] 從數學建模到模型思想的提出，是數學教育理念的一大發展. 從初中數學教學實踐的角度來看，發掘模型思想的重要意義有助于數學教學有效性的落實. 教師要理清從數學建模到模型思想的嬗變，要從培養數學建模意識并促進其應用的角度讓學生在實踐中逐步形成模型思想. 用數學思想來指引數學教學，可以成為初中數學教學的基本認識之一.

[關鍵詞] 初中數學；數學建模；模型思想；意義發掘

關于模型，對于初中數學教學來說并不是一個新概念，在數學抽象、數學建模等討論當中都有這樣的一些提法；至2011年版的《義務教育數學課程標準》的頒布，“模型思想”作為一個正式的數學教學指導思想被正式提出. 眾所周知，在漢語語境里，當一個概念被提高到“思想”的角度時，往往意味著這個概念具有十分豐富的意義. 新的課程標準頒布以來，筆者通過教學觀摩以及數學報紙雜志的閱讀，持續對模型思想進行關注. 這些年的觀察表明，模型思想作為一個概念，已日益為數學教師所熟悉，而在課堂上的具體體現，則出現了百花齊放的狀態，當然，其中也出現了并不罕見的貼標簽的情形. 基于這樣的實際，筆者以為當下仍然需要對模型思想的豐富意義作一個深度發掘，以對一線教師的教學有一個更好的意義參考.

從數學建模到模型思想

模型思想被正式提出之前，人們談論得更多的是數學建模. 當然，在模型思想概念出現之后，數學建模仍然是一個討論的熱詞. 因此，從概念衍生角度分析數學建模與模型思想的演變，可以很好地幫助教師理解模型思想這一概念.

通常認為，數學建模是一個具有一定技術性、模式性的工作. 對于數學建模，通常是這樣描述的：通過建立模型的方法來求得問題解決的數學活動過程. 在這樣的理解中，建立模型是問題解決的途徑，問題解決是數學建模的目標（需要指出的是，這里所說的問題解決不完全等同于數學習題的解答，應當理解為數學問題的解決，包括數學概念的構建、數學規律的探究以及數學問題的解決等）. 從具體流程的角度來看，數學建模的第一步是觀察實際情境，再發現并提出問題，然后通過數學抽象建立數學模型，接著得到數學結果. 對數學結果進行評估之后有兩種可能：如果數學結果符合實際，則數學建模結束；如果數學結果不符合實際，則需要返回到第二個步驟以重新完成一個循環. 從這里可以發現，數學建模是一個綜合的過程，即使從數學學科核心素養的角度來看，這里也包括數學抽象、數學運算與邏輯推理等（當然也有人認為數學建模本身就是核心素養的組成部分）.

建模思想則更多地超越了數學建模的技術層面，旨在讓教師甚至學生通過數學教學感受數學的魅力——一種通過數學模型理解生活實例的魅力. 應當說這是可行的. 從初中角度來理解建模思想，可以考慮讓學生在建模的過程中感受一個形象的生活事例，通過數學抽象就可以變成一個精確的數學模型. 更重要的是，這個模型還可以有效地解決實際問題. 這對于初中數學教師來說并不麻煩. 事實上，每一個重要的數學概念的建立，其實都可以視作數學建模的結果，如初中數學的入門知識“負數”，就是在已知的正數的基礎上通過對生活事例的歸納并抽象，在正數前面加“-”號，則完成對相關事例的概括性描述. 盡管這個過程沒有經歷上述數學建模的全部環節，但已經體現了建模的思路，可以視作是數學建模思想的萌芽. 其后，整式、方程，乃至幾何中的點、線、面、角的學習，其實都具有這方面的特征. 如果在實際教學中能夠從數學建模的角度概括不同知識的特征，則可以讓學生在數學學習的過程中形成一個學習線索——要知道，如果學生在學習過程中有一個明確的線索，那對于相當一部分學生來說都是一件益事，其意味著數學學習不再是零散的，而是有章可循的. 這個“章”，其實就是建模思想的體現.

初數模型思想有效培養

那么，在初中數學教學中模型思想如何才能有效地得到培養呢？筆者一方面分析自己的探究過程，一方面學習、吸收他人的研究成果，在此基礎上提出如下幾點思路供同行批評、指正.

1.？搖以學生的感悟為主，教師尋找點撥契機

作為一種學習思想，數學建模不宜硬生生地插入學生的學習過程中，而應當讓學生在學習的過程中產生感悟，而后教師加以點撥，以讓學生形成的相對隱性的感悟變成更為顯性的認知. 如教學“一元一次方程”時，筆者讓學生在原有簡單方程的基礎上思考：當初是怎樣通過設未知數建立方程的？哪些問題可以通過方程來解決？建立方程的過程如果用語言來描述，可以怎樣描述？這一教學環節，教師沒有直接告知學生什么情況下怎樣列方程，而是通過問題驅動，讓學生的原思維在不斷深入的基礎上對方程的建立產生一個理性理解，有了這一理解，再給出新的實際問題（如人教版教材給出的就是一個行程問題），讓學生利用自己剛才所形成的理解去分析新問題中的數量關系并建立等式，于是學生對方程的理解就經歷了一個從感性向理性、又向實際問題感性回歸的過程. 這個過程中，學生對方程形成的認識是深刻的，而多次對實際問題進行分析與解決，可以讓學生在方程模型建立的過程中進一步形成模型意識，生成模型思想.

2. 為學生設計相對固定且長期可用的數學建模過程

模型思想的形成絕非一朝一夕之事，如上面所說，從數學建模這種技術性的動作到模型思想的真正形成，一定是一個日積月累的過程. 在實際教學中，更多的是對模型思想的教學. 實際教學中往往是遇到比較明顯的數學建模過程時，教師才作強調，這個強調往往還是概念性的（也就是標簽性的），這其實難以讓學生真正形成模型思想. 因此，模型思想的形成需要教師幫學生形成一種相對固定的長期使用的模式. 比如有人提出的“創設問題情境——建立數學模型——形成模型思想”教學思路就是一種比較好的方式，只要有數學建模的場合，就跟學生強調這一思路，久而久之，學生自然會形成數學建模意識. 而在意識驅動之下，如果學生能夠自主利用建模思路建立數學概念、規律或解決數學問題，那就意味著數學思想初步形成了. 如上面所說的“方程”這一模型就可以進一步明晰化：從實際問題（行程問題）抽象成數學問題，然后分析其中的已知量、未知量以及等量關系，接著建立等式（即方程）并求解，在對解的合理性作出判斷之后，要么重新進行數學抽象，要么形成定解. 事實證明，只要學生生成這一思路，那么在以后的方程問題中，許多問題都可以迎刃而解.

3. 通過教學評價促進學生建模思想的形成

教學評價對于初中生來說十分重要，因為教師的引導對學生的學習方式影響很大. 這里筆者想強調的是因材施教，即對不同學生給予不同的指導. 教學經驗讓筆者意識到，初中生對數學建模的領悟水平大不相同，有的學生概括能力強，往往兩三個例子即可讓學生大體上感受到一類數學模型的建立思路，而有的學生可能十個例子都不行. 對于前者，筆者的評價是促進他們的精細化、顯性化，即讓他們能夠清晰地說出什么情況下應當如何建立模型，如方程的建立；對于后者，則更多的是讓他們在實例分析中慢慢感悟，不強求短時間內能夠用語言表達，如在方程模型建立中，讓他們重復抽象與分析的過程，讓他們重復發現數學問題并尋找已知量、未知量、等量關系的過程，在做中學、在做中悟，這對于這部分學生來說，是形成方程思想的重要途徑.

模型思想指引數學教學

模型思想無疑具有豐富的含義，其更多的體現在教師的教上，其前提是教師理解豐富的模型思想含義. 筆者提出一個觀點：用模型思想來指引初中數學教學.

這一觀點的提出并不是過度強調模型思想在初中數學教學中的作用，而是試圖通過這一重要的數學知識形成方式，并通過長時間的運用，以在學生的數學學習乃至生活中形成一種模型意識，并在這種意識的驅動之下，將繁雜的生活對象抽象成簡潔的數學模型，以更為理性迅速地發現問題的實質所在. 要知道，當前義務教育數學課程標準已經明確提出了“四基”的概念，其中就有基本思想一說. 那么，哪些思想是基本思想？筆者以為，模型思想就是其中之一，以“四基”支撐的數學教學自然離不開模型思想這根重要的支柱. 國內知名數學教育家史寧中先生認為，數學發展有三個基本思想：抽象、推理與模型，而數學建模的過程中又有抽象、推理的存在，因此，以模型思想來指引數學教學的提法有其合理性. 尤其是對于初中生而言，一個清晰的學習主線可以幫助他們將不同的知識學習聯系起來，這樣的輔助性作用是其他方式難以替代的.