中學數學解方程教學中的化歸思想方法探討

楊華

摘要：加強數學思想方法的教學是基礎數學教育現代化的關鍵，而化歸思想方法作為中學數學中一種非常重要的和基本的思想方法，其教學就顯得尤為重要。本文以解方程為例論述了化歸思想方法在中學數學教學中的應用，以此說明其對促進數學課程改革的不斷深入，提高數學課堂教學質量，提高學生學習效率，提高中學數學教師的專業素質均有重要意義。

關鍵詞：中學數學；解方程；化歸思想

引言：化歸思想是中學數學中的重要思想方法之一，所謂化歸就是把待解問題化解開來，歸結為一個或幾個解決了的問題，或簡單易解的問題。學生在學習過程中只要能夠掌握化歸思想方法的核心并能夠自如地運用，在解題過程中就能夠很好的利用這種方法并逐漸建立學生的解題信心，這對于學習者來說是一個非常重要的提高過程，鑒于此，中學數學教學者必須加強對于化歸思想的教授，以此充分提高學生學習數學的興趣。

1.中學階段教學化歸思想方法的可行性

1.1 知識因素

數學方法得以運用的前提是數學知識的鋪墊，只有有了數學知識作為基礎，才能讓數學思想有用武之地。在小學階段，學生已經對于一些基本的數學知識有所了解，換句話說學生通過小學數學的學習已經有了一定的數學基礎，這就為中學階段的繼續學習做好了準備。

1.2 教材因素

中學數學教材中有很多內容都與化歸思想有關，這在很大程度上可以更深一步的幫助化歸思想的教授，同時教材中有很多例題的選定，解題思路都與化歸思想方法有一定的聯系，這就為化歸思想的多角度、分層次、深入的教學提供了各種案例。

2.化歸思想的分析要點研究

中學數學上運用的化歸思想具有豐富性、多樣性和靈活性的特點。對于數學試題來說，往往都要由幾個要素構成，并且各要素之間都是具有一定關聯性的，它們相互聯系、相互依存、相輔相成，它們之間的聯系是可以轉化的，并且轉化的形式多樣。針對數學問題的轉換方法沒有什么標準模式可以遵循，為此，在解題的過程中要認真分析問題，因題而異，尋找恰當的解決方法。一般來說，運用化歸思想解題，分析要點為：注意緊盯化歸目標，保證化歸的有效性、規范性；注意轉化的等價性，保證邏輯上的正確；注意轉化的多樣性，設計合理的轉化方案.在具體的問題處理中，往往會采取多種轉化途徑和方法以解決問題。

3.用化歸思想解方程的具體應用

3.1化主為客

把題目中的待求量看作已知量，把某個已知量看作待求量，變換角度，使問題變得簡捷易解。

例1 解方程

解：設=

則原方程可化為

解關于的方程得，或

從而或

例2 設Z是虛數，W=Z+是實數，且-1

解：設Z=，= ，，∈且≠0）

代入Z·=1得，且

即且，從而|Z|=1，-<<1

3.2化整為分

把整式方程化為分式方程來解，有時會起到意想不到的作用。

例3 解方程

解：原方程可化為

設，則

于是原方程變為

解得，或=-6

從而原方程的解為

3.3化正為反

有些問題正面考慮不易解決，但若從其反面考慮，便會迎刃而解。

例4 解不等式≥8-

解：設全集≥≥5或≤

先解不等式<8-

易得其解集為≤-2或5≤<

從而原不等式的解集為≥

3.4化零為整

從整體上考慮命題中的數量關系，分析命題中整體與局部的關系，找出規律，解決問題。

例5 已知，求的值。

解：由知，，從而 ==

3.5化數為形

“數”和“形”是共存于同一體中的事物的兩個側面，通過圖形架設與數量間的橋梁，使問題獲得簡單。

例6 求函數的最大值

解：將原函數配方得，，則原題可看作是求點，到點（-1，5）與（3，2）的距離之差的最大值，如圖易知，當點在直線AB與軸的交點位置時，最大，最大值是，故。

3.6化無限為有限

數學中的無限問題，通常都可化為有限問題來解決，用有限認識無限是認識上的一個飛躍。

例7 無窮數列，，，…，，…<1，求它的各項和

解：設它的前項和為，則=，，+…+=，從而它的各項和 =（）=<1

3.7化一般為特殊

對于某些一般性的數學問題，有時可考慮其特殊情況，通過解決特殊發問的方法或結果，使問題得以解決。

例8 已知等差數列的公差≠0，且，，，成等比數列，

則=________________。

解：取一個滿足已知條件的特殊等差數列，≠0，且=1，=3，=9成等比數列，則= 。

3.8化抽象為具體

有些命題的表達形式較為抽象，直接探索顯得困難，但是構造一個表達形式具體通俗，且與原命題等價的新命題，往往會使問題迅速獲解。

例9 設，是兩個實數，，，，，，，，，，≤144是平面內點的集合，討論是否存在和使得（1）；（，）C同時成立？

解：原命題可化為：關于，的混合組，≤144，是否有實數解，假設存在實數和滿足上述混合組，

則≤≤·144，由此可得，≤0，即有：，與矛盾，故不存在實數和，使得（1）和（2）同時成立。

3.9化綜合為單一

有些綜合題，涉及知識面廣，運用方法靈活，不是能單純用一個概念、一種方法來解決的，這時我們可將其化為幾個單一的簡單題來解。

例10 設實系數一元二次方程有兩個虛根，，在復平面內的對應點是，Q，求以，Q為焦點且經過原點的橢圓的長軸長。

解：（1）方程問題：因為方程有兩個虛要，，從而<0，即>>0

（2）復數問題：因為，是互為共扼虛數，從而||=||，||=||=||=，且||=||，||=||

（3）解幾問題：由橢圓定義得，長軸長2||+||= ||+||

綜合（1），（2），（3）得，2

結束語

數學思想方法貫穿于整個中學數學教學的過程中，要使學生把數學思想方法內化為自己的觀點、知識，并應用它去解決問題，就要求教師把每章節所表現出來的數學思想方法及時歸納總結出來，有目的、有步驟地引導學生參與數學思想方法的提煉和概括過程。以上列舉了十種化歸的思想和方法，但從中可以發現其思路清晰，步驟簡捷明快，趣味橫生，因此在學習過程中應有意識地培養自己的化歸思想，從而提高解題能力。

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