對瞬心的動量矩定理的兩種形式

項秉坷

摘要：關于作平面平行運動的剛體相對于過質心并且與固定平面平行的薄片上的動量矩定理，大多數教材均已討論了其對固定點和對質心成立。本文給出了對瞬心的動量矩定理的兩種形式，并分別得出了剛體對瞬心的轉動定理及其適用條件。

關鍵詞：剛體；動量矩定理；本體極跡

1.引言

在剛體平面平行運動的動力學中，為了結合質心運動定理，通常選擇質心作為基點，得到質心的平動和繞質心轉動的方程。但是，選取瞬心作為基點來分析剛體上各點的速度非常方便，并且有時以瞬心作為基點的動力學方程也更加簡潔。

2.對瞬心的動量矩定理的推導

在作平面平行運動的剛體上取一過質心C且與固定平面平行的薄片，為其瞬心，取固定系O-XY如圖2-1所示。

圖2-1

剛體對瞬心的動量矩為

（1）

又因為

（2）

代入（1）式，可得

（3）

其中，剛體對固定點的動量矩，剛體的總動量。隨著時間變化，我們始終將取為瞬心，（3）式始終成立，等式兩邊對時間求導，并代入剛體相對于固定點的動量矩定理中，得

（4）

其中 ，，故（4）式可化為

（5）

（5）式即為剛體相對于瞬心的動量矩定理。根據，，可得

（6）

又因為為瞬心，，（6）式可化為，根據雙重矢積公式展開得

（7）

因為垂直于，故

（8）

即當質心與瞬心的距離保持不變時，對瞬心的動量矩定理與對定點的動量矩定理有相同形式，此時

（9）

又

（10）

兩邊對時間求導：

（11）

式（11）即為當瞬心到質心距離保持不變時，剛體對瞬心的轉動定理。

3. 對瞬心的動量矩定理的另一種形式

另外，我們知道剛體對任意點的動量矩定理還有如下形式：

（12）

將該任意點取在瞬心即成為剛體對瞬心的動量矩定理，的充要條件為。即與在一條直線上。

而我們知道，薄片的運動實際上是本體極跡B在空間極跡S上的無滑滾動，如圖3-2所示。

圖3-2

在任一瞬時，此兩軌跡的公切點即為該時刻的瞬心。而此時的方向應與這條公切線垂直。又因為與在一條直線上，說明質心C在本體極跡B過的法線上。我們知道本體極跡是瞬心在薄片上所描繪的軌跡，現本體極跡的所有法線都經過質心C，這說明曲線B是一段圓弧，質心C即是圓弧的圓心，也就是質心到瞬心的距離始終不變。下面證明若平面上一條連續曲線的所有法線都經過同一點，則這條曲線是一段圓?。?/p>

設曲線方程為，所有法線過定點，則對于曲線上任意的x、y，下式恒成立。

（13）

即

（14）

對于這個全微分方程，，故其可以寫成，

采用湊微分法，可得

（15）

即得到曲線的軌跡方程為，取C為正數這是一個圓的方程，則說明成立的充要條件是質心到瞬心的距離保持不變。

參考文獻

[1]周衍柏.理論力學教程（第三版）[M].北京.高等教育出版社，2009

[2]呂茂烈.對不同矩心的動量矩定理的辨異[J].力學與實踐，1990，3