論數學思想之數學模型思想

趙澤福，黃永

（云南昭通學院數學與統計學院，云南昭通657000）

論數學思想之數學模型思想

趙澤福，黃永

（云南昭通學院數學與統計學院，云南昭通657000）

數學思想方法是發展人腦思維能力的拱心石，也是數學發展的關鍵和主導因素，同時在我們學習工作中發揮著重要作用，并終生受益.模型思想在數學思想方法中是不可缺少的，畢竟數學創新和數學解題的思維過程其實就是數學問題轉變的過程，也是數學原型與數學模型之間的相互轉變過程.因此模型思想應該成為教與學的根本思路，同時也是數學發現、數學解題的常用思想方法.

數學思想；模型思想；數學原型；數學模型

1 問題的提出

數學的發展史包含著數學思想和方法的積淀,當然數學本質的飛躍要算數學思想方法的重大突破.所以[蘇]弗里德曼認為：“數學邏輯結構的一個特殊、重要的要素就是數學思想，整個數學學科就是建立在這些思想的基礎上，并按照這些思想發展起來.”

數學思想是發展數學能力的拱心石，正如日本數學教育家米山國藏所說：“我們所學的數學知識，如果沒有機會應用，時間一長，就會被忘掉，然而銘記在頭腦中的數學精神和數學思想方法，卻長期在生活和工作中發揮重要的作用，受益終生.”因此，開發學校數學課程，必須加強數學思想與方法的滲透，強化數學思想方法，特別是數學模型思想方法的培養和訓練，全面提高學生的數學思維能力.

2 數學思想概述

當今數學教育中，“數學思想”是個核心概念，然而，什么是數學思想？學術界卻沒有統一的答案.但是從多角度去解釋數學思想，應該會更好.

張奠宙先生認為：數學思想尚不成為一種專有名詞，人們常用它來泛指某些有重大意義的、內容比較豐富、體系相當完整的數學成就.當然，同一數學成就，當用它去解決別的問題時，稱之為方法，當論及它在數學體系中的價值和意義時，就稱之為數學思想.比如：M.克萊因的巨著《古今數學思想》，說的都是古今數學方法.但是從數學史角度看，人們在本巨著中，更加注重的是那些數學大師們的思想貢獻，文化價值，因而稱此巨著為《古今數學思想》.

丁石孫先生認為，數學思想就是人們對于數學的看法.但是，從數學教育的角度來看，數學思想就是對數學內容、方法的本質認識，也是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規律的理性認識.因此，數學思想貫穿于解決數學問題過程中的思維方法的普遍策略和規律.所以學生是能否有意識、主動運用數學思想解答數學問題，是衡量其數學能力和數學綜合素質高低的重要標志.

3 數學思想之數學模型思想

建立模型思想是數學中常用的數學思想方法之一.

“數學模型方法”就是把研究的對象或問題轉化為本質同一的另一對象或問題，并加以解決的思想方法.它既是處理數學理論問題的思想，也是解決各種實際問題的方法.

在論述模型思想時要涉及“模型”與“原型”兩個基本概念.“模型”是相對“原型”而言的.原型是指在現實世界中的客觀事物，也通常指被研究的對象或問題.而“模型”則是對客觀事物本質屬性的模擬，從而轉化成相對定型的、模擬化、結構化的對象或問題.所謂數學模型——是指使用數學符號、式子、數學關系描述特定問題或具體實際事物關系的數學結構.數學模型是對原型作出的一種簡化而本質的描摹.

在教學中，數學模型轉化為原型，我們應盡量選取學生所熟悉的生活實例來還原現實情景背后的數學，最終使學生感受到這些數學概念不是人為硬性規定的，而是與實際生活密切聯系的.所以從普遍意義上說，實際問題比模型化的純數學問題更符合問題的實質，同時更能揭示數學知識的本質，更易被學生接受.

反過來，把原型轉化為數學模型.通過用數學知識來解決熟知的、貼近生活的實例，使學生體會到應用數學知識解決實際問題的愉悅感，從而體現數學的實際應用價值.這實際上也增強學生對數學知識的應用意識，使學生感受到數學不再是高深的理論、枯燥乏味的東西.至于原型轉化為數學模型的一個最典型的例子，要數歐拉把哥尼斯堡“七橋問題”轉化為歐拉回路一筆畫問題.

因此，數學模型與原型間的相互轉化，應該是教與學的根本思路.但是，所建立的模型必須真實反映原型的結構、關系等數學本質特征和變化規律.

當然，我們所學過的數學概念、公式、定理、法則、原理等，以及各類問題及其解答規律，都以不同程度地保留在我們的記憶之中，我們也稱之為數學模型.波利亞巨著《怎樣解題》中說到:“你以前見過它嗎？你是否見過相同的或形式稍有不同的問題？你是否知道與此有關的問題等？這樣在我們正要解答某數學問題時，把待解答的問題與已掌握的數學模型進行比較，解法也就自然有了.”這也表明波利亞在強調模型思想的重要性.

所以《普通高中數學課程標準實驗》明確提出，數學課程要求把數學探究、數學建模思想等，以不同的形式滲透在各模塊或專題內容之中.因此，為了數學教育能夠適應現代社會對人才的需求，需將數學“雙基”發展成“四基”，即基本知識、基本技能、基本數學思想、基本活動經驗.所以形成數學思想，能用數學模型的思維來解決問題，歷來都是中學數學課程教學目標之一.

4 數學模型思想應用舉例

為更好強調數學建模思想在數學教與學中的重要價值，現列舉幾個數學教學實例：

實例1上面所提的哥尼斯堡“七橋問題”，數學家歐拉顯示出大數學家的智慧，把原型問題簡化，去掉不必要因素，比如橋的長度，從而把被河流隔開的四塊區域縮成4個點，七座橋就被看成連接4個頂點的七條邊.這就得到一個數學模型，即為4個頂點、7條邊的圖，原問題即被抽象成：能否找到一條起點與終點重合，并且經過每條邊一次且僅一次的一條回路.從而這就極大方便了此問題解決.這就是1736年歐拉所貢獻的圖論中最基本的歐拉回路問題，體現出了數學模型思想在數學創新中的巨大作用.

實例2近幾年高考題目更加突顯出其應用性和問題設計的新穎性和創造性，方興未艾的新課改在時時刻刻提醒著我們“思路決定出路”.2011年廣東高考數學試題(理科)第13題：某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，則該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為_____cm.這個普通的生活問題其實就是一道一元線性回歸分析問題，我們的解答思路是將這生活原型轉化為數學模型進行解答.

面對上面這一實際問題，我的思路是：在一組具有相關關系的變量數據（X與Y）間，我們通過相關圖可觀察出所有數據點都分布在某條直線的附近，這樣的直線可以畫出許多條，而我們希望其中的一條最好反映出X與Y之間的關系，即我們所要找出的那條直線“最貼近”已知的數據點.這直線就是回歸模型直線，因為模型中有殘差，并且殘差無法消除，所以就不能用二點確定一條直線的方法來得到直線方程.但是要保證盡量多的實測點都聚集在所要的回歸直線l上，這就需要數據點到直線l的距離的平方和最小.所以，只要有了這樣思想，所要的最好的擬合直線l就不難找到吧.

實例3經假設、簡化、抽象、計算等手段,對變速運動與曲邊梯形面積（原型）的研究，創立了微積分這個數學模型,并用此模型,解決了諸如變速運動的速度、曲線的切線和弧長、曲邊平面圓形的面積以及不規則幾何體的體積等一系列的現實問題.可以說，微積分這個數學模型,開創了研究變量數學的新紀元,微積分的發明本身也是數學建模思想成功的一個光輝典范.

當然，中小學的列方程解應用題；構成函數模型來研究實際問題；《線性規劃》中由實際問題列出約束條件得線性方程組，由此再討論由問題得到的目標函數的最值，從而達到原問題所要的最優化設計；等等這些均是現實原型轉化為數學模型的思想的具體表現.

實例4聚會總人數超過或等于6人，證明：其中至少有3人互相認識，或者互相不認識.（1947年匈牙利數學競賽題）

有數學思想的人與沒有數學思想的人之間有截然不同之處，前者能把一個說起來模模糊糊的問題變成一個非常清楚、確切的問題.現就把原問題（原型）抽象化：6個人用6個點表示，每兩個人之間的關系用連接點的不同顏色的線表示，不妨設紅線h表示認識，藍線l表示不認識.這樣就得到了由這6個頂點，且每兩個頂點之間用h或者l連接的共15條線構成的圖.從而原問題自然就變成：證明這個圖中至少存在一個三邊同色的三角形.通過這個圖就把原問題變成每個人都能聽清楚的確切的數學問題.

實例5德摩根定理是集合論中一個非常重要的定理，在隨機事件的概率計算中，有著十分重要的作用，但學生對定理的理解、記憶都不是很輕松，若構造直流電路圖輔助說明，把數學模型轉換為原型，既直觀又淺顯，方便學生記憶理解.

總之，數學思想是解決數學問題的心智，它總是指向問題的變換，最終達到掌握問題對象的數學特征、關系結構等目的.因此數學創新、解題的思維過程其實是數學問題轉變的過程，也是數學原型與數學模型之間的相互轉變過程.

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G642

：A

：1673-260X（2017）03-0011-02

2016-11-27

云南省教育廳科學研究基金項目資助（2014Y499）