如何用代數法和幾何法解析函數與幾何綜合題

陸曉平

函數與幾何是初中數學中的重點，也是中考重點考查的內容之一。函數中的幾何問題，能使代數知識圖形化，而幾何中的函數問題，能使圖形性質代數化。由于函數與幾何結合的綜合題靈活多變，能較好地考查學生的思維水平和數學思想方法，因此不難發現近幾年上海數學中考24題一般都是二次函數與幾何綜合題，進一步研究可以發現其中大部分問題是求滿足某一條件的點的坐標。

本文特選一例來談一談二次函數與幾何綜合題中用代數法和幾何法求點的坐標，期望能達到拋磚引玉的目的。

本小題有兩個直角∠AOB=90°和∠ABC=90°，對“一線三等角”模型熟悉的同學會很容易想到過點C作x軸的垂線，利用相似三角形或銳角三角形來解決，相比前兩種代數法，這種幾何法的計算量更小。

解得a=10，a=-6或a=0，a=4

∴P（0，1），（-6，4），（4，-1），（10，-4）

本小題已知ΔBCP與ΔOAB，并且很容易找到一對直角對應相等，于是分類討論就只有兩類，很容易把BP的長度求出來，因為點P在直線BC上，容易想到設未知數，用一個未知數表示所求點的坐標，再利用兩點之間距離公式建立方程，解出方程的解即可。此代數法容易想到并且不容易漏解，但是相對幾何法計算量稍大。

解法二：幾何法求點P坐標。

∴PH=4，BH=8 ∴P（10，-4）

∴綜上所述：P（0，1），（-6，4），（4，-1），（10，-4）

本小題還可以利用如上平行線成比例或相似三角形對應邊成比例的幾何法來解決，過點P作x軸的垂線，構成相似三角形或平行線基本圖形，利用對應邊或對應線段成比例直接解決過點P的垂線段的長度，從而解決點P坐標。相對于前面代數法，這里幾何法的計算量非常小，但可能容易漏解。

通過對這個二次函數和幾何綜合題的分析，我們不難發現，在二次函數與幾何綜合題中求點的坐標一般都可以用代數法和幾何法解決。代數法一般可以利用兩點之間距離公式、勾股定理，列出方程，求出方程的解即可求出點的坐標或者利用兩個函數解析式聯立方程組求出方程組的解即可解決點的坐標。代數法求點坐標的優點是不易漏解，但有時用代數法計算量可能較大，容易算錯，還有可能出現高次方程不會解。幾何法一般可以過所求的點作與坐標軸的垂線，構成相似三角形、平行線成比例或直角三角形等基本圖形，利用相似三角形、線段成比例、銳角三角比或勾股定理求出過所求點的垂線段長度就可以解決所求點的坐標。幾何法的優勢是計算量比較小，可以使得解題又快又準確，但幾何法對作圖要求比較高，容易漏解。

（作者單位：上海市奉賢區古華中學）