巧用坐標式三角形面積公式簡化解題過程

虞懿

一、坐標式三角形面積公式

此公式乃坐標式三角形面積公式，其形式與平面向量共線的充要條件的坐標公式特征極其相似，這樣可有助于對其理解和掌握（可以這樣理解：當向量OA與OB不共線時，三點A，O，B就能構成三角形，就有其面積；當向量OA與OB共線時，三點A，O，B就不能構成三角形）.倘若將該公式應用于解決解析幾何中有關三角形面積問題時，別有一番情趣，可使解題過程得到簡化.下面就用該公式求解幾道相關試題并將過程展示出來，以饗讀者.

二、應用舉隅

例1 （2014浙江省高中數學競賽第12題）若平面上四點A，B，C，D，滿足任意三點不共線，且4AC+2AB=AD，則S△ABDS△ABC=.

評注 本題的解法多種多樣，但運用坐標式三角形面積公式解決，可使思路清晰，過程優化.

例2 （2015山東省高中數學競賽第13題第（1）問）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，不過原點的直線l和橢圓相交于兩點A，B，求三角形△OAB面積的最大值.

解析 設A（x1，y1），B（x2，y2），若直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx+m，

從而S△OAB≤ab2，由此可得，對任意的k，S△OAB≤ab2，等號成立當且僅當a2k2+b2=2m2.

若直線l的斜率不存在，設l的方程為x=m，則易證S△OAB≤ab2，等號成立當且僅當a2=2m2.所以三角形ΔOAB面積的最大值為ab2.

評注 利用坐標式三角形面積公式求解關鍵在于確定三角形各點的坐標.對于求解方程比較困難（方程的根不是十分簡便）或含字母參數時可利用根與系數的關系進行合理轉化.

例3 （2015四川省高中數學競賽第15題）過雙曲線x2-y24=1的右支上任意一點P（x0，y0）作一直線l與兩條漸近線交于點A，B，若P是AB的中點.

（1）求證：直線l與雙曲線只有一個交點；

（2）求證：△OAB的面積為定值.

解析 （1）略.

（2）雙曲線兩條漸近線方程為y=±2x.

評注 解析幾何問題的本質是用代數方法解決幾何問題，坐標式三角形面積公式自然地提供了解決解析幾何中有關三角形面積問題的一條捷徑.

例4 （2011河南省數學競賽11題）在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心，分別以a，b（a>b>0）為半徑作兩個圓.點Q是大圓半徑OP與小圓的交點，過點P作AN⊥Ox，垂足為N，過點Q作QM⊥PN，垂足為M，記當半徑OP繞點O旋轉時點M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）設A，B，C為曲線E上的三點，且滿足OA+OB+OC=0，求△ABC的面積.

解 （1）設M（x，y），取∠xOP為參數φ，則x=acosφy=bsinφ，消去參數φ，得x2a2+y2b2=1，即為曲線E的方程.（2）設A，B，C的坐標依次為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），由上又可設A，B，C的坐標依次為（acosα，bsinα），（acosβ，bsinβ），（acosγ，bsinγ），

則由條件OA+OB+OC=0，得

acosα+acosβ+acosγ=0bsinα+bsinβ+bsinγ=0，進而可化為cosα+cosβ+cosγ=0sinα+sinβ+sinγ=0，消去γ，

得cos（β-α）=-12，所以sin（β-α）=-32或32，

由坐標式三角形面積公式S△AOB=12x1y2-x2y1=12|abcosαsinβ-absinαcosβ|

=ab2sin（β-α）=3ab4.

同理，得S△BOC=S△COA=3ab4，

所以S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA=33ab4.

評注 這里應用坐標式三角形面積公式及用橢圓的參數方程形式表示橢圓上的點的坐標，將已知條件轉化為三角函數求值問題，避免了復雜的運算.從而使解題過程清晰流暢，令人賞心悅目，流連忘返.

縱觀上述幾例，應用坐標式三角形面積公式來解決三角形面積問題，由于在解題過程中避免了求邊長和該邊上的高兩個步驟，因此使解題過程變得簡潔，這對優化學生的思維品質，提高學生的解題能力是大有益處的.