妙解函數(shù)圖象問(wèn)題

桂燕

圖象作為表示函數(shù)的重要形式之一，具有直觀、明了的特點(diǎn).考生在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要能夠結(jié)合已知條件來(lái)識(shí)別圖象，學(xué)生要能夠根據(jù)相關(guān)圖形匹配出其相對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，當(dāng)題干中沒(méi)有圖象時(shí)，考生要能夠應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解答相關(guān)問(wèn)題.本文以近三年來(lái)高考中出現(xiàn)的圖像題為載體，分析圖象題的考察方式及解題方法，以達(dá)到拋磚引玉之效.

一、考察內(nèi)容

縱觀近三年各個(gè)省市的高考題，基本上每年的每一套數(shù)學(xué)試卷中都會(huì)有關(guān)于函數(shù)圖象的題目，從選擇題、填空題到大題均有涉及.分析近三年以來(lái)的試題，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象題的考察主要包括函數(shù)解析式、函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等函數(shù)的基本特性，再根據(jù)這些性質(zhì)對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行具體分析判斷.

二、真題精講

例1 （2016四川文科，4）

為了得到函數(shù)y=sin（x+π3）的圖象，只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)（ ）.

A.向左平行移動(dòng)π3個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平行移動(dòng)π3個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向上平行移動(dòng)π3個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向下平行移動(dòng)π3個(gè)單位長(zhǎng)度

答案：A

解析

由題意，為得到函數(shù)y=sin（x+π3），只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向左移π3個(gè)單位，故選A.

點(diǎn)評(píng) 這道題目考察的是三角函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，而三角函數(shù)作為特殊的函數(shù)，其圖象具有周期性的特點(diǎn)，考生經(jīng)常要充分結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行求解.

例2 （2016山東文科，17）

設(shè)f（x）=23sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移

π3個(gè)單位，得到函數(shù)

y=g（x）的圖象，求g（π6）的值.

答案：（Ⅰ）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是

把y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到

y=2sin（x-π3）+3-1的圖象，再把得到的圖象向左平移π/3個(gè)單位，得到

y=2sinx+3-1的圖象，即g（x）=2sinx+3-1.

所以g（π6）=2sinπ6+3-1=3.

點(diǎn)評(píng) 這道題考察了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要考察了三角函數(shù)圖象的伸縮變換.需要注意，圖象縱向伸縮，只需要在函數(shù)值前邊乘以變化的倍數(shù)即可；圖象橫向伸縮，需要變換函數(shù)解析式中的周期.

例3 （2016全國(guó)卷理科，12）

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足

f（-x）=2-f（x），若y=x+1x與y=f（x）圖象的交點(diǎn)為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則

mi=1（xi+yi）=（ ）.

A.0 B.m C.2m D.4m

答案：B

解析 由f-x=2-fx得fx的圖象關(guān)于0，1對(duì)稱，而y=x+1x=1+1x的圖象也關(guān)于0，1對(duì)稱，

∴對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)xi+xi′=0，yi+yi′=2，

∴∑mi=1xi+yi=∑mi=1xi+∑mi=1yi=0+2·m2=m，故選B.

點(diǎn)評(píng) 這道題考察的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)圖象的對(duì)稱問(wèn)題在高中最常見(jiàn)的有三種：關(guān)于x軸對(duì)稱，關(guān)于y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，考生要熟練掌握并運(yùn)用這三種對(duì)稱，其他的對(duì)稱基本上都是在這三種情況的基礎(chǔ)上演變而來(lái).

例4 （2015全國(guó)安徽文科，10）函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖1所示，則下列結(jié)論成立的是（ ）.圖1

解析 由函數(shù)f（x）的圖象可知a>0，令x=0d>0，又f ′（x）=3ax2+2bx+c，可知x1，x2是f ′（x）=0的兩根，由圖可知x1>0，x2>0，∴x1+x2=-2b3a>0x1x2=c3a>0b<0c>0；故A正確.

點(diǎn)評(píng) 這道題考察了考生通過(guò)函數(shù)的圖象來(lái)判斷函數(shù)解析式中系數(shù)的符號(hào)，需要結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性、極值等特點(diǎn)來(lái)判斷.

例5 （2014全國(guó)卷Ⅰ理科，6）

如圖2，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過(guò)點(diǎn)P做直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在＼[0，π＼]上的圖象大致為（ ）.

答案：B

解析 在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，則OM=|cosx|，所以點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x）=OM|sinx|=|cosx|×|sinx|=0.5|sin2x|，周期為T=π/2，最大值為1/2，最小值為0，由圖象可知，只有B符合.

例6 （2014全國(guó)卷文科，21）

已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).

圖3

解析 這道題考察的是函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，考生要學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合，在解題過(guò)程中可以在草稿紙上畫(huà)出草圖.

例7 （2014浙江理科，7）

在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象可能是（ ）.

答案：D

解析 這道題考察的是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題，主要是對(duì)a進(jìn)行分類討論，主要討論a>1以及0

點(diǎn)撥 每一類函數(shù)，都有其函數(shù)圖象的特點(diǎn)，考生要能夠掌握高中基本函數(shù)圖象的畫(huà)法及其特點(diǎn).

筆者結(jié)合自己多年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)解答函數(shù)圖象的問(wèn)題，提出以下幾點(diǎn)注意：

1.利用函數(shù)奇偶性，即看函數(shù)圖象是否有對(duì)稱性.

2.判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的增減情況.

3.在遇到比較棘手的函數(shù)時(shí)，可以嘗試?yán)锰厥庵荡藱z驗(yàn)；

4.極限思想法，利用函數(shù)最大值，最小值來(lái)判斷.