埃特金迭代法在債券到期收益率計算中的應用

孟祥崗

摘要：在現金流間隔不規范的情況下，債券到期收益率的計算比較復雜，可考慮應用埃特金迭代法進行計算。本文首先介紹了埃特金迭代法的推導過程，然后給出了現金流間隔規范情況下分別應用IRR函數和埃特金迭代計算債券到期收益率的示例，并給出現金流間隔不規范情況下應用埃特金迭代計算債券到期收益率的示例；最后在債券市場價格的正常范圍內和理論極端情況下，探討了應用埃特金迭代法時更合理設置初值的方法。

關鍵詞：到期收益率 埃特金迭代法 IRR函數 現金流間隔

票息率

債券到期收益率是使得未來現金流貼現之和等于債券現在價格的內在收益率，是計算出來的債券指標，是市場流行的債券收益率表述方法，而非真實債券年收益率。當市場利率上升時，債券價格下降，債券到期收益率上升；當市場利率下降時，債券價格上升，債券到期收益率下降。

債券到期收益率實現的假設條件包括：一是票息必須以同樣的到期收益率進行再投資，二是所有現金流的折現率相同，三是收到票息的同時須立刻投資出去。按照上述假設條件，在現金流間隔不規范的情況下，債券到期收益率的計算比較復雜。本文研究了如何應用埃特金（Aitken）迭代法計算債券到期收益率。

埃特金迭代法簡介

埃特金迭代法是數值分析1中的內容，其推導過程如下。

將非線性方程轉化為等價形式，若存在，使和成立，則稱為的一個解。

設是附近的某近似值，可以得到，如此反復，構造迭代公式，，稱為迭代函數。

對于收斂的迭代過程，迭代公式校正一次得，為方便應用Excel進行迭代計算，令，由微分中值定理知：

其中介于和之間。

假設變化不大，近似地取某個值，則有

若將校正值再校正一次，又得，為方便迭代計算，令，同理

公式1與公式2聯立，消去未知的，得到：

由此推知：

于是得到埃特金加速迭代法如下：

由推導過程知，埃特金迭代法是利用兩次迭代巧妙構造的新迭代公式；由及，可以證明2，表明序列的收斂速度比的收斂速度快。

埃特金迭代法的具體應用步驟如下：

1.將一般方程改寫成的形式；

2.設置初值，計算，及；

3.進行迭代計算，直至，是根據需要設定的精確度位數。

根據埃特金迭代法特點，在給出適當初值的前提下，可以應用埃特金迭代法快速求解出債券到期收益率。

現金流間隔規范的債券到期收益率埃特金迭代計算

由債券到期收益率的定義知道，如果債券每年付息一次，每次付息金額相同，債券到期收益率計算公式為：

式中：P 表示債券價格；C表示票息金額；F表示債券面值；表示到期收益率；N表示債券期限；t表示現金流到達時間（期）。

公式4是關于債券到期收益率的N次方程。在具體求解時，Excel試算法簡單，但需要多次調試，較為繁瑣，在此不做介紹；IRR函數適用于求解現金流間隔規范的債券到期收益率情形，現舉例說明。

例1.某剩余期限為5年的國債，票面利率8%，面值100元，年底付息1次，市場價格為102元。

現金流 -102 8 8 8 8 108

IRR（）= 7.5056%

應用IRR函數求解出該債券到期收益率為7.5056%。

下面應用埃特金迭代法求解現金流間隔規范的債券到期收益率，數據如例1所述，根據現金流折現原理，該債券到期收益率滿足：

給出的非線性表達式：

選擇合適的初值進行埃特金迭代計算，直至債券到期收益率的近似解滿足，在此設定精確度位數為6，下同。埃特金迭代的Excel具體實現如圖1所示。

操作步驟：

1. A列的序號及單元格B2中的數據是直接輸入的，在價格波動不大的情況下，債券到期收益率接近票息率，所以B2中的初值選擇輸入票息率。

2.在單元格D2中輸入計算式：

即埃特金迭代法中的計算。

3.在單元格E2中輸入計算式：

即埃特金迭代法中的計算。

4.在單元格B3中輸入計算式：

即埃特金迭代法的計算。

5.在單元格C3中輸入邏輯函數：

=IF（ABS（B3-B2）<=0.000001，"最后結果是：" &ROUND（B3，6），"請繼續計算"）。

6.下拖單元格D2、E2至D3、E3，然后下拖單元格B3、C3、D3、E3，經過6次迭代計算，C列中出現“最后結果是：0.075056”，即求解出債券到期收益率7.5056%。

在現金流間隔規范的情形下，埃特金迭代法求解出來的債券到期收益率與大家熟悉的IRR函數求解出的數值相同。

現金流間隔不規范的債券到期收益率埃特金迭代計算

當債券現金流間隔不規范時，如第1年年底付息1次，第2年半年末和年底各付息1次（每年付息2次），也就是說奇數年付息1次，偶數年付息2次，產生類似現金流或間隔更不規范時，則無法應用IRR函數求解出債券到期收益率。下面應用埃特金迭代法求解現金流間隔不規范的債券到期收益率。

例2.某剩余期限為5年的國債，票面利率8%，面值100元，第1年年底付息8元，第2年半年末和年底各付息4元，第3年年底付息8元，第4年半年末和年底各付息4元，第5年付息8元及償還本金，當前市場價格為102元。根據現金流折現原理，該債券到期收益率滿足：

給出的非線性表達式：

埃特金迭代的Excel具體實現操作如下。

1.以例1中圖1為基礎，直接輸入A列的序號及單元格B2中的數據，B2中的初值選擇輸入票息率；

2.在單元格D2中輸入計算式：

3.在單元格E2中輸入計算式：

4.單元格B3中的計算式輸入及單元格C3中邏輯函數的輸入與例1的操作相同。

5.同例1一樣下拖單元格，經過7次迭代計算，C列中出現“最后結果是：0.075641”，即求解出債券到期收益率為7.5641%。

下面考慮更為復雜的債券現金流情況。

例3.假設有一特殊的企業債券，剩余期限為6年，票面利率10%，面值100元，第1年年底付息10元；第2年1季度末付息2.5元，半年末付息2.5元，年底付息5元；第3年每個季度末付息2.5元；第4年半年末付息5元；第5年1季度末付息7.5元，年底付息7.5元；第6年年底付息10元及償還本金；當前市場價格為97元，則其到期收益率滿足：

給出的非線性表達式：

埃特金迭代的Excel具體實現如圖2所示。

操作步驟：

1.直接輸入A列的序號及單元格B2中的數據，B2中的初值暫且輸入票息率。

2.在單元格D2中輸入計算式：

3.在單元格E2中輸入計算式：

4.單元格B3中的計算式輸入及單元格C3中邏輯函數的輸入與例1的操作相同。

5.同例1一樣下拖單元格，經過384次迭代計算，C列中出現“最后結果是：0.108897”，即求解出債券到期收益率為10.8897%。

例3中，在設置票息率為初值的情況下，應用埃特金迭代法要進行多次迭代計算才能得到滿意的數值解，所以需要探討尋找更合適的初值，減少迭代次數，快速得到數值解。

埃特金迭代法初值設置探討

在債券價格波動不大的情況下，票息率與到期收益率比較接近，所以通常將票息率設置為埃特金迭代法中的初值。在債券價格波動較大的情況下，如設置初值為票息率，則需要大量迭代次數才能計算出數值解，有時還可能出現無法計算的情況，因此需要尋找更接近于真實到期收益率的初值進行迭代計算。對于計算現金流間隔不規范債券的到期收益率，下面給出價格處于正常合理范圍內初值的設置方法，及理論上極端價格情況下初值的設置思考。

（一）埃特金迭代初值的設置方法

首先將現金流間隔不規范的債券簡化成間隔規范的債券，然后應用IRR函數求解出該簡化債券的到期收益率，將之設置為埃特金迭代法中的初值并進行迭代計算。如例3，將該特殊企業債券的現金流簡化為：前3年年底各付息10元，第4年年底付息5元，第5年年底付息15元，第6年年底付息10元及償還本金100元的年度間隔規范債券，債券當前市場價格為97元；由IRR函數求解出該簡化債券到期收益率約為10.6%，即IRR（-97，10，10，10，5，15，110）=10.6%；將10.6%設為例3中埃特金迭代法的初值，進行7次迭代計算即可得到數值解10.8897%，大大減少了迭代次數。

結合例3，假設債券的當前市場價格為80元，將票息率10%設為埃特金迭代法中的初值，按其應用步驟計算出，將數值-4.7969代入單元格E2中的表達式，則式中有許多項無法計算，如第3項，因此迭代不能進行，主要原因是初值10%距離較遠；若將由IRR函數求解出的簡化債券的到期收益率15.2%設置為初值，進行10次迭代計算就能得到滿足精確度要求的數值解15.6376%。另假設上述債券當前市場價格為120元，將票息率10%設為埃特金迭代法中的初值，需要進行268次迭代才能得到滿足精確度要求的數值解6.0301%；若將由IRR函數求解出的簡化債券到期收益率5.9%設為初值，進行5次迭代就能得到數值解6.0301%。在例3中，如果假設債券的當前市場價格分別為80、90、95、97、100、105、108、110、120和130元，通過改變相應單元格中價格和初值的設置，表1給出了埃特金迭代法初值設置的敏感性情況，凸顯了初值設置的重要性。

（二）極端價格情況下埃特金迭代法初值設置思考

由債券的凸性可知，當債券價格上升到一定程度后繼續上升時，其到期收益率下降的幅度越來越小，對價格的敏感性減弱，埃特金迭代法初值的設置受其影響較小，將IRR函數求解出的簡化債券到期收益率設置為初值即可。當債券價格下降到一定程度后繼續下降時，其到期收益率上升的幅度越來越大，對價格的敏感性急劇增強，不利于初值的設置。隨著債券市場價格下降至理論上的極端價格，如20元，初值可能需要在IRR函數求解出的簡化債券到期收益率基礎上進行修正，如乘以（1+票息率），否則將出現不能計算的情況，迭代無法進行。

在例3中，假設理論上的債券市場價格為500元，將由IRR函數求解出的簡化債券到期收益率-19.3%設置為的初值，進行5次迭代計算得到滿足精確度要求的數值解-19.4845%。另假設理論上的債券市場價格為20元，將由IRR函數求解出的簡化債券到期收益率63.2%設置為的初值，埃特金迭代不能進行，主要原因是的初值63.2%距離較遠；現將63.2%進行修正，乘以（1+票息率10%）得到69.5%并設之為的初值，進行18次迭代計算得到滿足精確度要求的數值解67.6019%。隨著債券市場價格繼續深度下降，埃特金迭代法的設置可能需要根據實際情況做進一步修正。但極低（高）的債券市場價格只是理論上給出的，在現實中幾乎是不存在的。

注：1.數值分析也稱作計算數學，主要內容包括高次代數方程近似解的迭代方法、線性代數方程組求解的高斯法等系列方法、微分方程的近似解及邊界問題、以插值法為基礎的函數數值逼近問題、矩陣特征值的求法等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問題。

2. 具體證明過程為：由埃特金加速迭代法（公式3）知：

由于，及，因此可得