tanθ和 μ的關(guān)系是分析斜面問題的抓手

魏謙

一、基本模型

如圖1所示，一質(zhì)量為M的斜面體放在水平地面上，另一質(zhì)量為m的物體放在斜面上，由于物體m與斜面體M間的動摩擦因數(shù)μ的不同，物體m在斜面上運(yùn)動的情況也會不同，斜面體受到地面的摩擦力情況就不同.

二、分類分析

1.物體m在斜面上恰好勻速下滑

物體勻速下滑時，受力情況如圖2所示，易知重力沿斜面方向的分力與摩擦力相等，即：

此時放在地面的斜面體受力情況如圖3所示.

由于物體對斜面的摩擦力的水平分力是：

而此時物體對斜面的壓力FN的水平分力是：

由于物體對斜面的摩擦力的水平分力和物體對斜面的壓力FN的水平分力是相等的，所以斜體沒有向左右運(yùn)動的趨勢，地面對斜面體沒有靜摩擦力.

此問題也可以這樣理解：由于物體處于勻速運(yùn)動狀態(tài)，受到的三個力平衡，所以斜面對物體的作用力（斜面對物體的支持力和摩擦力的合力）與物體的重力平衡，可以得出斜對物體的作用力方向豎直向上.由牛頓第三定律可知，物體對斜面體的作用力是豎直向下的.由于斜面體只受到豎直方向上的力的作用，故沒有左右運(yùn)動的趨勢，不受地面的摩擦力.

2.物體m在斜面上加速下滑

物體加速下滑時受力與上述圖2相似.只不過此情況下，重力沿斜面方向的分力大于斜面體對物體的摩擦力，即：

由于物體對斜面的摩擦力的水平分力小于物體對斜面的壓力FN的水平分力，所以斜體有向右運(yùn)動的趨勢，則此時，地面對斜面體有向左的摩擦力.

此問題也可以這樣理解：由于物體在斜面體上處于加速運(yùn)動狀態(tài)，所以斜面對物體的作用力（斜面對物體的支持力和摩擦力的合力）與物體重力的合力方向沿斜面體向下，可以得出斜面對物體的作用力方向偏向豎直方向的左上方.由牛頓第三定律可知，物體對斜面體的作用力方向偏向豎直方向的右下方.由于斜面體受到偏向豎直方向右下方的力的作用，故斜面體有向右運(yùn)動的趨勢，所以斜面受到地面的摩擦力方向向左.

3.物體m在斜面上減速下滑

物體在斜面上減速下滑時的情況與加速下滑的不同點(diǎn)是：μ>tanθ

此時，由上述的分析易知：地面對斜面體有向右的摩擦力.同樣：此問題也可以這樣理解：由于物體在斜面體上處于減速運(yùn)動狀態(tài)，所以斜面對物體的作用力（斜面對物體的支持力和摩擦力的合力）與物體重力的合力方向沿斜面體向上，可以得出斜面對物體的作用力方向偏向豎直方向的右上方.由牛頓第三定律可知，物體對斜面體的作用力方向偏向豎直方向的左下方.由于斜面體受到偏向豎直方向左下方的力的作用，故斜面體有向左運(yùn)動的趨勢，所以斜面受到地面的摩擦力方向向右.

三、應(yīng)用實例

例1 如圖4所示，粗糙的斜面體M放在粗糙的水平面上，物塊m恰好能在斜面體上沿斜面勻速下滑，斜面體靜止不動，斜面體受地面的摩擦力大小為F1；若用平行力于斜面向下的力F推動物塊，使物塊加速下滑，斜面體仍靜止不動，斜面體受地面的摩擦力大小為F2；若用平行于斜面向上的力F推動物塊，使物塊減速下滑，斜面體仍靜止不動，斜面體受地面的摩擦力大小為F3.則（ ）.

圖4

A.F2>F3>F1 B. F3>F2>F1

C.F2>F1>F3D.F1=F2=F3

分析 本題中所涉及到的問題屬于μ=tanθ的類型，三個圖中物體對斜面體的壓力沒變，均為mgcosθ，所以摩擦力的大小和方向均沒有變化，由于三種情況下，物體沿斜面方向受力不同，運(yùn)動的性質(zhì)有區(qū)別，圖4的1中仍勻速下滑，圖4的2中加速下滑，圖4的3中減速下滑，由牛頓第三定律可知，斜面受到的力的情況，三個圖完全相同，且此情況下地面對斜面體都沒有摩擦力作用.故F1=F2=F3=0.

答案選D.

拓展 與此問題類似的情況也經(jīng)常出現(xiàn)，前提還是一個粗糙的斜面體放在粗糙的水平面上，物塊恰好能在斜面體上沿斜面勻速下滑，斜面體靜止不動.在物塊下滑過程中，不論在物體上施加一個任意方向的力，只要物塊仍能沿斜面圖5下滑，地面對斜面體的摩擦力均為0.如圖5所示，外力的作用改變了物塊的運(yùn)動狀態(tài)，同時也改變了物塊對斜面體的壓力，同時斜面體對物塊的摩擦力也成比例地發(fā)生變化，斜面體受到的物塊的壓力與摩擦力的水平分力大小仍然相同，方向相反.所以地面對斜面體沒有摩擦力作用.

小結(jié)：本類題的題設(shè)條件已明確，物塊在沒有受到外力作用時，在斜面上勻速下滑，說明μ=tanθ，只要物塊在斜面上仍然下滑，則斜面體受到物塊的壓力和摩擦力成比例變化，但斜面體受地面的摩擦力為0，此時斜面體受到的支持力也會發(fā)生變化.外力的作用會改變物塊的運(yùn)動狀況.

圖6例2 如圖6所示，斜面體A靜止放置在水平地面上.質(zhì)量為m的滑塊B在外力F1和F2的共同作用下沿斜面體表面向下運(yùn)動，當(dāng)F1方向水平向右，F(xiàn)2方向沿斜面體的表面向下時斜面體受到地面的摩擦力方向向左，在作用力改變的過程中斜面體A始終保持靜止.則下列說法中正確的是（ ）.

A.若同時撤去F1和F2，滑塊B的加速度方向一定沿斜面向下

B.若只撤去F1，在滑塊B仍向下運(yùn)動的過程中，A所受地面摩擦力的方向可能向右

C.若只撤去F2，在滑塊B仍向下運(yùn)動的過程中，A所受地面摩擦力的方向可能向右

D.若只撤去F2，在滑塊B仍向下運(yùn)動的過程中，A所受地面摩擦力不變

分析 不論滑塊B受力如何.滑塊B對A的作用力只是壓力的摩擦力，由于斜面體A受到地面的摩擦力方向向左，基于上述的“二、2.中物塊加速下滑”中分析，易知μ

本題的核心是由題設(shè)條件“斜面體受到地面的摩擦力方向向左”得出μ

例3 如圖7所示，一個物塊在斜面處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)給物塊提供 一 個 初 速 度，物塊沿斜面下滑時，斜面體受到水平地面的靜摩擦力為f1 ；現(xiàn)給物塊施加一垂 直 斜 面 向 下 的 力 F，此時物塊沿斜面下滑時，斜面體受到水平地面的靜摩擦力為f2；則下列說法正確的是（ ）.

A.f1 和f2 可能相同

B.f1和f2的方向一定相同

C.f1的大小可能小于f2的大小

D.f1和f2的方向可能相反

分析 由題設(shè)可知，物塊靜止于斜面體上，則物塊與斜面體間的動摩擦因數(shù)μ≥tanθ，當(dāng)物塊有一初速度沿斜面下滑時，有兩種可能，一是μ=tanθ時，物塊沿斜面勻速下滑，另一可能是μ>tanθ時，物塊沿斜面減速速下滑，由本文中的分類分析易知，勻速下滑時，兩種情況下，地面對斜面體均無摩擦力，則此時f1和f2均為0，則A正確；當(dāng)物塊沿斜面減速下滑（μ>tanθ）時，地面對斜面體的靜摩擦力方向均向右，則B正確，此情況下，物塊對斜面體壓力的水平分力小于物塊對斜面體摩擦力的水平分力，F(xiàn)作用后，物塊對斜面體的壓力變大，這兩個水平分力的差值變大了，此時f2大于f1，則C正確.不論F如何，物塊下滑要么是勻速下滑，要么是減速下滑，f1和f2的方向不可能相反，則D錯.

小結(jié)：本題中能抓住物塊靜止在斜面上時，μ≥tanθ是解題的關(guān)鍵.此外勻速和減速下滑的兩種種可能性的討論要注意邏輯關(guān)系，問題就迎刃而解了.

綜上所述，對斜面和物塊組合體相關(guān)問題的分析，結(jié)合題設(shè)的相關(guān)條件，找出tanθ和 μ的關(guān)系.以tanθ和 μ的關(guān)系為抓手，對問題進(jìn)行分析是一條有效途徑.