再談兩圓公共弦所在直線方程

王海平+李大永

在圓的方程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生曾經(jīng)做過這樣一道題：若圓C1：x2+y2-2x-3=0與圓 C2：x2+y2+4x+2y+3=0相交，求公共弦所在直線的方程。有學(xué)生在問題解決后提出了新的問題：“兩圓不相交時，方程作差仍可得到二元一次方程，這個方程所反映的直線與已知兩圓是什么關(guān)系？”

該問題的提出很自然且很有價值，一方面，脫離開幾何直觀意義的代數(shù)運算就變成了純形式化的操作，往往容易忽視操作本身的意義；另一方面，在解析幾何中，方程具有直觀意義——曲線，當(dāng)曲線關(guān)系與方程的運算關(guān)系之間建立不起聯(lián)系時，學(xué)生就產(chǎn)生了困惑。這個困惑恰恰可以反映出解析幾何的思維本質(zhì)特征，同時也反映出學(xué)生在數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng)上還有待提高。

教學(xué)內(nèi)容蘊涵的數(shù)學(xué)思維活動分析：

解析幾何的核心思想是以坐標(biāo)系為基礎(chǔ)將幾何中的點和有序數(shù)對建立聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上運用變量觀點，動點生成的軌跡就和有序數(shù)對（x，y）中的兩變量x，y構(gòu)成的關(guān)系式——方程建立起對應(yīng)關(guān)系。因此，曲線方程中的字母是變量而不是某個未知的常量。從直線、圓和圓錐曲線的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)與形之間的互相表達所依賴的是度量圖形的基本概念——“距離”和“角”，當(dāng)我們描述軌跡上點的特征或解釋方程表達的軌跡時，往往需要回到這兩個基本度量。

學(xué)生的思維基礎(chǔ)和思維障礙：

疑問來自于學(xué)生關(guān)注到了一種現(xiàn)象：對兩個圓的方程實施作差運算，實際上與兩個圓有無公共點無關(guān)。當(dāng)兩個圓相交時，兩個圓的方程作差得到了其公共弦所在直線的方程，若兩圓無公共點，在代數(shù)運算上兩個圓的方程仍可作差，得到的是二元一次方程，從解析幾何的觀點看，它表示一條直線，那么這條直線就顯得很怪了？它和已知的兩個圓有無關(guān)系？有何關(guān)系？學(xué)生自身無法解釋這個疑惑，并不是因為缺乏相關(guān)知識，而是不會從解析幾何基本概念的內(nèi)蘊方法和思想去思考解決問題，學(xué)生完全沒有關(guān)注到兩個圓的方程可以作差的前提是什么。當(dāng)實施作差運算時，其實是認定x，y是同時滿足兩方程的暫時未知的待定常量，否則x，y是兩個方程各自的變量，因此是不同的。

基于以上的分析，本課聚焦于學(xué)生的推理素養(yǎng)和幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展，樹立基于概念內(nèi)涵理解進行思考的習(xí)慣。教學(xué)活動設(shè)計如下：

首先，展示學(xué)生提出的疑問及背景，其次，引導(dǎo)學(xué)生思考討論下面兩個問題：

問題1：提出的疑問中，提到相交兩圓的公共弦所在直線方程可以通過兩圓方程相減得到，這是為什么？

說明：通過回顧與分析，一是聚焦曲線與方程核心概念的本質(zhì)理解，二是引導(dǎo)學(xué)生認識到兩個圓的方程作差時，是把兩個方程中的x，y看作了公共點的坐標(biāo)，因此是未知的待定常量，為學(xué)生解決后續(xù)問題作好鋪墊 。

問題2：提出的疑問中，兩圓不相交時，方程作差仍可得到二元一次方程，這個方程所反映的直線與已知兩圓是什么關(guān)系？

說明：通常情況是學(xué)生沒關(guān)注此時方程作差的意義，直接研究兩圓方程在形式上作差運算所得到的直線，從一般形式入手，或從具體嘗試中歸納發(fā)現(xiàn)直線與圓心連線垂直，之后就陷入困境。教師可引導(dǎo)學(xué)生反思所學(xué)的知識：反思發(fā)現(xiàn)代數(shù)對象的幾何解釋依賴于圖形的基本度量“距離”和“角”，獲得幾何解釋；反思發(fā)現(xiàn)“曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系位置無關(guān)“，獲得簡化運算揭示幾何意義的途徑——使兩圓心在x軸上。學(xué)生到此通常會認為問題得到完美解決了，此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：如何解釋兩圓無公共點情況下兩個方程作差的可操作性？提示學(xué)生思考兩方程作差所得方程中的（x，y）實際上并不是兩圓方程中的（x，y）。引起認知沖突后，引導(dǎo)學(xué)生思考：兩方程作差運算可逆嗎？兩圓方程作差所得方程中的（x，y）并不是原來兩個圓的方程中的（x，y），而是滿足|PC1|2-r12=m，|PC2|2-r22=m的兩個方程作差的結(jié)果，其中m是參數(shù)。

（作者單位：1.首都師范大學(xué)附屬中學(xué)；2.北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校）