“平行四邊形判定”教學中的思維活動

莊麗

教學內容蘊含的數(shù)學思維活動分析：

首先，平行四邊形的判定和性質定理實際上是對平行四邊形概念內涵理解的發(fā)展和深化過程中生成的，對數(shù)學概念理解的深化體現(xiàn)在概念內涵的豐富化和建立豐富的與之相關的概念間的聯(lián)系，概念內涵表現(xiàn)為性質定理，性質定理的命題條件與結論的逆命題即構成了對判定定理的探尋，這種概念與定理的生成分析與組織過程廣泛存在于幾何學習過程中，前面內容學習獲得的思維經(jīng)驗就成了類比聯(lián)想的參照，類比是合情推理的基礎之一，有助于新知的發(fā)現(xiàn)與學習。其次，經(jīng)由類比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)知識發(fā)展的方向后，在發(fā)展知識的過程中，通過實驗與觀察，進而提出猜想，是重要的直觀思維活動，而確認結論的真假則必須以嚴格的演繹推理為基礎，這體現(xiàn)了數(shù)學學科的理性精神和價值取向。整個探究活動中包含的思維活動過程，即“聯(lián)想發(fā)現(xiàn)→實驗觀察→歸納猜想→推理論證”的過程，大量存在于各類問題解決活動中。在學習階段經(jīng)歷這樣的過程，無論是從感悟數(shù)學思想的角度還是從積累思維活動經(jīng)驗的角度來講，對發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)都具有重要的意義。

學生思維基礎和思維障礙分析：

學生在此前經(jīng)歷的平行線、角平分線、垂直平分線的性質與判定的學習過程中積累的數(shù)學思維活動經(jīng)驗是本課學習的思維基礎。此外，在此前幾何學習的過程中，學生對推理論證的必要性已經(jīng)有一定認識，對全等三角形的判定有較為豐富的經(jīng)驗，也有助于在本節(jié)課的探究活動中主動開展推理論證。在論證環(huán)節(jié)，初始的基礎只有定義，但學生的思維可能并不嚴密，會從實際成立但未經(jīng)論證的某個結論出發(fā)，在結論間互相進行推理，造成循環(huán)論證，這反映出學生對公理化思想的理解不夠，但這也恰恰是使學生感悟公理化思想，發(fā)展學生數(shù)學推理素養(yǎng)的時機。

主要教學活動設計與實施：

1.回憶舊知，提出課題

問題：我們已經(jīng)學習了平行四邊形的概念和性質，由平行四邊的性質我們可以知道它在邊、角和對角線方面具備一些特殊屬性。反之，對于一個四邊形，具備什么特點時，就可以判定該四邊形是平行四邊形呢？說明：如果學生有困難，教師可以提示學生回憶平行四邊形有哪些性質，提示學生借助此前學習平行線、角平分線和垂直平分線的研究經(jīng)驗。

2.問題探究，獲取新知

活動：教師請學生分組進行探究和猜想，學生可以利用不同長度的小紙條作為輔助學具，動手拼擺，通過觀察提出猜想，將一個猜想寫在一張預先準備好的長紙條上，并將本組寫好的紙條貼到黑板上來。說明：教師應給予學生充分的探究時間和空間，對學生提出的猜想暫不給出正誤方面的判斷，鼓勵學生大膽猜想。

問題1：這些猜想是如何想到的？請部分學生進行說明，并結合說明過程，對黑板上貼的紙條進行分類整理。說明：教師應幫助學生將雜亂的思維逐步梳理至有序。根據(jù)條件的內容，提出的結論大致可分為：定義、性質定理的逆命題，摘取性質定理中的部分條件進行重組構成的命題。整理過程中，將黑板上的紙條根據(jù)條件的內容進行分類，同類的排在一起，另外也可以對寫有相同結論的紙條統(tǒng)計出現(xiàn)頻數(shù)后，將多余的重復紙條摘去。

問題2：在黑板上的結論中，你能肯定哪些是正確的？請學生發(fā)表意見，交流證明過程或思路。說明：教師要關注學生是否會出現(xiàn)從新提出還未經(jīng)論證的某個結論出發(fā)，在結論間進行互推的現(xiàn)象，必要時加以提示；如果學生形成了多種證明方法，應帶領學生對不同方法進行比較和分析。

問題3：在黑板上的結論中，你能肯定哪些是錯誤的？請學生舉出反例。說明：教師要關注學生在舉反例時語言表達和圖形呈現(xiàn)的適當使用，給學生充分的交流時間。

3.總結提升，承上啟下

教師引導學生圍繞以下問題進行小結：本節(jié)課我們得到了平行四邊形的哪些判定方法？我們是怎樣得出這些判定方法的？這樣的探索過程對你有什么啟發(fā)？

教師布置選做作業(yè)：本節(jié)課提出的結論中，還有一些暫時難以判斷正誤，請你課下繼續(xù)思考，正確的給出證明，錯誤的舉出反例；如果你是教科書的編者，由你來設計平行四邊形的判定定理，你會把剛才證實的哪些真命題列入定理范圍？為什么？說明：在此環(huán)節(jié)，教師應引導學生重點關注思維方法方面的收獲。

（作者單位：中國人民大學附屬中學）