解三角形起始課

高磊+李大永

教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)分析：

正、余弦定理是由初中對(duì)三角形的定性研究為主轉(zhuǎn)向定量化研究發(fā)展出的知識(shí)。在初始階段的定性研究中，學(xué)生通過(guò)對(duì)兩個(gè)三角形的全等與相似的研究，已經(jīng)能夠建立起確定三角形形狀與大小的要素構(gòu)成的直觀想象。幾何學(xué)研究的是空間形式，空間的基本概念是位置，幾何學(xué)中用點(diǎn)來(lái)標(biāo)記位置，因此，三角形的空間存在形式本質(zhì)在于三個(gè)頂點(diǎn)的位置關(guān)系，而頂點(diǎn)的位置關(guān)系是以“角”和“邊”的概念來(lái)共同描述的，“角”的要素反映了三角形的形狀，而邊長(zhǎng)確定了其大小。三角形判定是以三個(gè)基本事實(shí)ASA，SAS，SSS從不同角度來(lái)揭示三角形的形狀與大小的。在ASA中，已知兩角，就意味著三個(gè)角確定，即三角形形狀就確定了，再給出一邊，確定了其大小和形狀；在SAS中，本來(lái)一個(gè)角的大小僅能反映三角形的局部形狀，但是兩條邊的長(zhǎng)度使兩個(gè)頂點(diǎn)的位置得以確定（這兩個(gè)頂點(diǎn)被角和距離確定了）；在SSS中，邊確定了三角形的大小，但是形狀是如何確定的呢？實(shí)際上，共點(diǎn)兩邊構(gòu)成了“角”的圖形，第三邊起到了確定角的作用（實(shí)際上，在數(shù)學(xué)史上，托勒密就是在圓中用圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)來(lái)度量圓心角的大小），這種用線段長(zhǎng)確定角的大小的思想在高中建立弧度制概念中還會(huì)用到。

在初中階段，對(duì)圖形的定量研究在直角三角形中得到初步體現(xiàn)，勾股定理和銳角三角函數(shù)都是量化思想下發(fā)展出的成果，這一成果體現(xiàn)了直角三角形在“邊”“角”要素上的量性規(guī)律。

學(xué)生思維基礎(chǔ)和思維障礙分析：

高中階段要學(xué)習(xí)的正、余弦定理，即一般的三角形的邊、角量性規(guī)律的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)蘊(yùn)含在初中對(duì)三角形的定性研究中，僅需要一定情境的誘導(dǎo)和激發(fā)。而揭示并表達(dá)出這一量性規(guī)律的知識(shí)、技能和思維方法也蘊(yùn)含在了初中的直角三角形以及高中的平面向量和解析幾何的學(xué)習(xí)之中。上述這些內(nèi)容蘊(yùn)含的思想方法和思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成了正余弦定理學(xué)習(xí)的思維基礎(chǔ)。

學(xué)生本節(jié)學(xué)習(xí)的思維障礙主要集中在發(fā)現(xiàn)獲得三角形的邊、角關(guān)系的量性規(guī)律的途徑與方法。因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的思維基礎(chǔ)都存在于以往學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)之中，所以教學(xué)的關(guān)鍵就在于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下幾個(gè)問(wèn)題的思考：

首先是理解問(wèn)題“由已知的邊、角要素的數(shù)量求出其余邊、角要素的數(shù)量”實(shí)質(zhì)是求距離（邊長(zhǎng)）和角的問(wèn)題，依次去回憶并調(diào)取與之相關(guān)的知識(shí)。

其次是比較發(fā)現(xiàn)在ASA，AAS，SAS，SSS中，哪一個(gè)更容易和相關(guān)的知識(shí)建立聯(lián)系，其余的邊、角要素中，先求哪一個(gè)更容易實(shí)現(xiàn)。