基于“問題導學”與“核心素養”引領下的數學概念教學

梁竹+黎福慶

一、概念的引入

問題1：觀察圖中的房屋，有你熟悉的空間幾何體嗎？

生：圖中有長方體、棱錐、棱柱等幾何體。

師：（用幾何畫板動態演示從該房屋中抽取出一個長方體）長方體由哪些幾何元素構成？

生：長方體由點、線、面這3個幾何元素構成。

師：點、線、面是空間圖形的基本元素，它們構成了千姿百態的世界。關于點和線，我們在初中已經詳細研究過了，今天主要和大家探討平面及其基本性質。

【評析】這么一棟漂亮的別墅竟然是由一些幾何體組成的，這讓學生感受到自己生活在一個充滿幾何體的世界。這些幾何體到底是什么樣的結構呢？接著，執教老師以學生熟悉的長方體為載體，提出新問題，這樣設計教學有利于激發學生的學習興趣，讓學生感受到學習數學是必要的、有用的。

二、概念的生成

問題2：（1）生活中有哪些事物給了我們直線的形象？（2）直線有哪些基本特征？（3）如何表示直線？

生：黑板的邊緣、空中劃過的閃電都給我們以直線的形象。

師：數學中的直線就是從同學們剛才所舉的例子中抽象出來的。那么，直線有哪些基本特征呢？

生：直線是直的，向兩邊無限延伸，無粗細之分。

師：如何表示直線？

生：在幾何中用線段表示直線，但是直線兩端可以無限延長；用符號表示直線，記作：直線AB或直線a。

【評析】學生已經學習過直線這一概念，這是他們已有的經驗，在此基礎上，執教老師引導學生將學習內容與學生的已有經驗聯系起來，把直線這一原始概念理解透徹。用研究直線概念的方法可以類比、遷移到對平面概念的研究，有助于學生理解抽象的平面概念。這一做法體現了“抱住”直線學習平面的理念。

問題3：（1）生活中哪些例子給了我們平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）如何表示平面？

生：桌面、黑板面、光滑的玻璃面、平靜的水面等都給我們以平面的形象。

師：幾何里所說的平面就是從同學們所舉的例子中抽象出來的。那么，平面有哪些基本特征呢？

生：平面是平的，無限延展，沒有厚薄之分。

師：真不錯！這位同學考慮問題很全面。那么，我們如何表示平面呢？接下來，我們通過類比畫線段表示直線的方法，畫出矩形表示平面，但觀察角度原因，當平面水平放置時，矩形的平面變成為平行四邊形。同樣地，類比直線的表示方法，我們可以將平面記作：平面ABCD，平面AC，平面α。

【評析】縱觀平面概念的生成過程，執教老師通過類比直線的表示方法，幫助學生認識平面，使學生經歷概念形成的過程，對概念理解達到概念學習的水平，同時將直觀與抽象、比較與類比等思維方法貫穿于教學中。

三、性質的探究

師：我們知道，兩點可以確定一條直線，那么多少個點可以確定一個平面呢？

生1：3個點。

生2：4個點。

師：同學們的看法不一樣。這樣吧，我們動手來做一個數學實驗，看看到底幾個點可以確定一個平面？

（一）實驗1：用手指頭將一塊硬紙板固定在空中的某一個位置，保持平衡，至少需要幾個手指頭？

學生動手做實驗，小組討論，最后學生代表分析并展示結果。

師：哪位同學來談一談自己的看法？

生：至少需要3個手指頭才能將硬紙板固定在空中的某一個位置并保持平衡。

師：如果把硬紙板看作一個平面，將一個手指頭看作一個點，你能用一句話歸納你的發現嗎？

生：三點可以確定一個平面。

師：任意三點都可以確定一個平面嗎？

生：不行。如果這三點處于同一條直線上就無法確定一個平面。

師：這位同學抓住了問題的本質，三點不一定可以確定一個平面。那么，正確的表述應該是什么？

生：不在同一條直線上的三點可以確定一個平面。

師：很好。這實際上就是課本第42頁的公理2（公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面）。如何用圖形語言表示公理2以及公理2的作用？請你說說公理2在生活中的簡單應用。

生：在生活中的簡單應用有照相機、測量儀器的三角架定位、三角形所在平面的穩定性等。

【評析】公理2的內容不僅給出了確定一個平面的依據，即“過不在一條直線的三點有一個平面”，而且給出了這樣的平面具有唯一性，即“有且只有一個平面”。另外，公理2還可以判斷直線與平面的位置關系，比如不共線的三點中任意取兩點可以確定一條直線，則這條直線一定在不共線的三點確定的平面內，為學生學習公理1作了鋪墊。

（二）實驗2：如果把硬紙板看作一個平面，把你的筆看作是一條直線的話：（1）你能使筆上的一個點在平面內，而其他的點不在平面內嗎？（2）你能使筆上的兩個點在平面內，而其他的點不在平面內嗎？

師：你能根據上述兩點知道什么？

生：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。

師：這是公理1的內容，我們如何用圖形語言和符號語言表示這個公理呢？

生： 如圖：

師：根據公理1的3種表示方法，請你總結出公理1的作用。

生：公理1為我們提供了一種判斷直線是否在平面內的方法，同時也為我們在平面內畫一條直線提供了理論依據。通過分析，我們知道，直線向兩邊無限延伸，無限延伸的直線放在平面內，說明平面也向四周無限延展。公理1的作用在于用直線的“無限延伸性”來檢驗平面的“無限延展性”。

師：請你舉例說明公理1在生活中的簡單應用。

生：比如工人用直棒檢查墻面是否平整，木匠將繩子拉緊，將兩端置于桌旁，通過是否漏光來檢查桌面是否平整。

（三）實驗3：把三角板的一個角立在桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點B？為什么？

生：不是。

師：平面是向四周無限延伸的，對于兩個不重合的平面，如果有一個公共點，那么一定有一條過該點的公共直線。那么，它們還有除了這條交線以外的公共點嗎？

生：沒有了。

師：請你歸納出關于以上描述的一個基本事實。

生：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

師：這就是公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。我們如何用圖形語言和符號語言來表示公理3？

生：α∩β，如下圖所示

【評析】執教老師設計了3個實驗，通過讓學生操作，直觀感知抽象的點、線、面的關系，降低了學習難度，調動了學生的學習積極性。

四、課堂小結

師：通過這節課的學習，你有什么收獲？

師：思考用類比的思想、聯系的觀點，以及延續本節課研究的3個公理的基本方法，你認為研究線面平行，線面垂直等判定定理、性質時可以從什么地方入手？

【評析】這樣的課堂小結，使得學習內容不只拘泥于認識平面及其基本性質，更為重要的是讓學生初步掌握研究線面平行、線面垂直等定理、性質的基本方法，為整章立體幾何的學習謀好篇、開好局、定好調。

【總評】

一、以“問題串”的形式引領學生的思維，將“數學抽象”與“直觀想象”兩個高中數學核心素養落實在教學中

教學伊始，執教老師設計的問題中有4個小問題：觀察圖中的房屋，有你熟悉的空間圖形嗎？生活中有哪些事物給了我們直線的形象？直線有哪些基本特征？如何表示直線？再到后面的3個實驗，實際上這也是3個問題，最后還有反思性的小結，也以問題的形式出現。可見，在本節課中，教師用“問題”串成了整節課的教學。

《高中數學課程標準》（以下簡稱課標）提出：要培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。要做到這一點，教學時執教老師首先要有“設計問題”的意識，要有準確提出問題的能力，這是因為，“問題”可以驅動學生思考。在這節課里，執教老師將“問題”連成串，前后互相聯系，使學生的思維形成一個整體。此外，教學前后的“問題”呈現出相似的結構特點，如問題2：（1）生活中有哪些例子給了我們直線形象？（2）直線有哪些基本特征？（3）如何表示直線？問題3：（1）生活中有哪些例子給了我們平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？其實，執教老師設計的3個實驗也是3個問題，這就使得學生的思維有了目標。

其次，教師設計的問題要有挑戰性，對于“不共線的三點可以確定一個平面”這個結論，學生的操作非常精彩，這是一個思維精致化的過程，也可以說是批判性思維的過程。在學生學習3個公理的過程中，執教老師借助幾何直觀和空間想象，讓學生感知平面的性質，增強了運用點、直線和平面去想象空間問題的意識，提高了數形結合的能力。

二、以活動促進學生探究

讓學生主動探究是數學教學的目標，本節課就很好地體現了這一教學追求。假如學生在活動中出現“一問一答”的情況，那么這是簡單的回答，思維步子邁得太小。在本節課中，學生通過實驗進行探究、匯報、交流，通過“觀察”“猜想”得出結論，同時進行判斷、驗證并舉出反例，這對促進思維的發展是非常有益的，有助于培養學生用數學建模思想解決問題的意識。

三、研透教材，變換教材中的3個公理的順序并嘗試教學

在設計教學時，執教老師打破教學傳統，將教材中的公理2放在公理1之前學習。

從教材內容順序而言，3個公理的順序依次是公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內；公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。目前，正在修訂的課標和執教老師設計的這個教學順序較為一致，因為正在修訂的課標有可能會把“過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面”作為公理1。其實這個從希爾伯特的公理體系來講，它們都是公理，照理說它們的順序并不重要。比如，過去數學教材把公理1作為定義，其實公理1是最能夠闡釋平面“平”的特征，它是用直線的“直”刻畫平面的“平”，公理2、公理3都出現在公理1之后。而目前正在修訂的課標，擬定將“過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面”作為公理1。筆者認為，這個順序是符合希爾伯特的公理體系的。執教老師的教學設計與希爾伯特這個公理體系比較接近。這樣設計教學的優點在于，學生首先要對平面有所認識，然后才能更好地說明點、線、面的關系。

四、幾點啟發

1.“問題導學”教學模式體現了“學生為主體，教師為主導，探究為主線”的教學理念，突出培養學生的數學能力和數學素養。“問題導學”教學模式的課堂教學，始終圍繞“問題”進行，整個教學過程可以概括為提出問題、探究問題、解決問題、生成問題。那么，教師如何設計問題呢？好的教學一定是源于對教學內容的深刻理解，源于對學生認知基礎、認知能力的準確把握，因此，提問的關鍵是要自然。

2.有效設計數學實驗。數學實驗能夠營造豐富生動的學習情境，使學生積極參與教學過程，真正體現學生的學習主體地位。在實驗過程中，學生始終以研究者的身份出現，變“聽”數學為“做”數學。高中立體幾何課程歷來以培養學生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標，引導學生通過觀察、操作等獲得數學結論，經歷從實際背景中抽象出數學模型、從生活空間中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程。當然，執教老師通過幾何畫板動態演示數學知識的形成過程，增強了教學的直觀性，為學生的研究性學習提供了平臺。

（責編 歐孔群）