基于“問題導(dǎo)學(xué)”與“核心素養(yǎng)”引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

梁竹+黎福慶

一、概念的引入

問題1：觀察圖中的房屋，有你熟悉的空間幾何體嗎？

生：圖中有長方體、棱錐、棱柱等幾何體。

師：（用幾何畫板動態(tài)演示從該房屋中抽取出一個長方體）長方體由哪些幾何元素構(gòu)成？

生：長方體由點(diǎn)、線、面這3個幾何元素構(gòu)成。

師：點(diǎn)、線、面是空間圖形的基本元素，它們構(gòu)成了千姿百態(tài)的世界。關(guān)于點(diǎn)和線，我們在初中已經(jīng)詳細(xì)研究過了，今天主要和大家探討平面及其基本性質(zhì)。

【評析】這么一棟漂亮的別墅竟然是由一些幾何體組成的，這讓學(xué)生感受到自己生活在一個充滿幾何體的世界。這些幾何體到底是什么樣的結(jié)構(gòu)呢？接著，執(zhí)教老師以學(xué)生熟悉的長方體為載體，提出新問題，這樣設(shè)計(jì)教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是必要的、有用的。

二、概念的生成

問題2：（1）生活中有哪些事物給了我們直線的形象？（2）直線有哪些基本特征？（3）如何表示直線？

生：黑板的邊緣、空中劃過的閃電都給我們以直線的形象。

師：數(shù)學(xué)中的直線就是從同學(xué)們剛才所舉的例子中抽象出來的。那么，直線有哪些基本特征呢？

生：直線是直的，向兩邊無限延伸，無粗細(xì)之分。

師：如何表示直線？

生：在幾何中用線段表示直線，但是直線兩端可以無限延長；用符號表示直線，記作：直線AB或直線a。

【評析】學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線這一概念，這是他們已有的經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，執(zhí)教老師引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，把直線這一原始概念理解透徹。用研究直線概念的方法可以類比、遷移到對平面概念的研究，有助于學(xué)生理解抽象的平面概念。這一做法體現(xiàn)了“抱住”直線學(xué)習(xí)平面的理念。

問題3：（1）生活中哪些例子給了我們平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）如何表示平面？

生：桌面、黑板面、光滑的玻璃面、平靜的水面等都給我們以平面的形象。

師：幾何里所說的平面就是從同學(xué)們所舉的例子中抽象出來的。那么，平面有哪些基本特征呢？

生：平面是平的，無限延展，沒有厚薄之分。

師：真不錯！這位同學(xué)考慮問題很全面。那么，我們?nèi)绾伪硎酒矫婺兀拷酉聛恚覀兺ㄟ^類比畫線段表示直線的方法，畫出矩形表示平面，但觀察角度原因，當(dāng)平面水平放置時，矩形的平面變成為平行四邊形。同樣地，類比直線的表示方法，我們可以將平面記作：平面ABCD，平面AC，平面α。

【評析】縱觀平面概念的生成過程，執(zhí)教老師通過類比直線的表示方法，幫助學(xué)生認(rèn)識平面，使學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，對概念理解達(dá)到概念學(xué)習(xí)的水平，同時將直觀與抽象、比較與類比等思維方法貫穿于教學(xué)中。

三、性質(zhì)的探究

師：我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么多少個點(diǎn)可以確定一個平面呢？

生1：3個點(diǎn)。

生2：4個點(diǎn)。

師：同學(xué)們的看法不一樣。這樣吧，我們動手來做一個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，看看到底幾個點(diǎn)可以確定一個平面？

（一）實(shí)驗(yàn)1：用手指頭將一塊硬紙板固定在空中的某一個位置，保持平衡，至少需要幾個手指頭？

學(xué)生動手做實(shí)驗(yàn)，小組討論，最后學(xué)生代表分析并展示結(jié)果。

師：哪位同學(xué)來談一談自己的看法？

生：至少需要3個手指頭才能將硬紙板固定在空中的某一個位置并保持平衡。

師：如果把硬紙板看作一個平面，將一個手指頭看作一個點(diǎn)，你能用一句話歸納你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：三點(diǎn)可以確定一個平面。

師：任意三點(diǎn)都可以確定一個平面嗎？

生：不行。如果這三點(diǎn)處于同一條直線上就無法確定一個平面。

師：這位同學(xué)抓住了問題的本質(zhì)，三點(diǎn)不一定可以確定一個平面。那么，正確的表述應(yīng)該是什么？

生：不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個平面。

師：很好。這實(shí)際上就是課本第42頁的公理2（公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面）。如何用圖形語言表示公理2以及公理2的作用？請你說說公理2在生活中的簡單應(yīng)用。

生：在生活中的簡單應(yīng)用有照相機(jī)、測量儀器的三角架定位、三角形所在平面的穩(wěn)定性等。

【評析】公理2的內(nèi)容不僅給出了確定一個平面的依據(jù)，即“過不在一條直線的三點(diǎn)有一個平面”，而且給出了這樣的平面具有唯一性，即“有且只有一個平面”。另外，公理2還可以判斷直線與平面的位置關(guān)系，比如不共線的三點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)可以確定一條直線，則這條直線一定在不共線的三點(diǎn)確定的平面內(nèi)，為學(xué)生學(xué)習(xí)公理1作了鋪墊。

（二）實(shí)驗(yàn)2：如果把硬紙板看作一個平面，把你的筆看作是一條直線的話：（1）你能使筆上的一個點(diǎn)在平面內(nèi)，而其他的點(diǎn)不在平面內(nèi)嗎？（2）你能使筆上的兩個點(diǎn)在平面內(nèi)，而其他的點(diǎn)不在平面內(nèi)嗎？

師：你能根據(jù)上述兩點(diǎn)知道什么？

生：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

師：這是公理1的內(nèi)容，我們?nèi)绾斡脠D形語言和符號語言表示這個公理呢？

生： 如圖：

師：根據(jù)公理1的3種表示方法，請你總結(jié)出公理1的作用。

生：公理1為我們提供了一種判斷直線是否在平面內(nèi)的方法，同時也為我們在平面內(nèi)畫一條直線提供了理論依據(jù)。通過分析，我們知道，直線向兩邊無限延伸，無限延伸的直線放在平面內(nèi)，說明平面也向四周無限延展。公理1的作用在于用直線的“無限延伸性”來檢驗(yàn)平面的“無限延展性”。

師：請你舉例說明公理1在生活中的簡單應(yīng)用。

生：比如工人用直棒檢查墻面是否平整，木匠將繩子拉緊，將兩端置于桌旁，通過是否漏光來檢查桌面是否平整。

（三）實(shí)驗(yàn)3：把三角板的一個角立在桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？

生：不是。

師：平面是向四周無限延伸的，對于兩個不重合的平面，如果有一個公共點(diǎn)，那么一定有一條過該點(diǎn)的公共直線。那么，它們還有除了這條交線以外的公共點(diǎn)嗎？

生：沒有了。

師：請你歸納出關(guān)于以上描述的一個基本事實(shí)。

生：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

師：這就是公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。我們?nèi)绾斡脠D形語言和符號語言來表示公理3？

生：α∩β，如下圖所示

【評析】執(zhí)教老師設(shè)計(jì)了3個實(shí)驗(yàn)，通過讓學(xué)生操作，直觀感知抽象的點(diǎn)、線、面的關(guān)系，降低了學(xué)習(xí)難度，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

四、課堂小結(jié)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

師：思考用類比的思想、聯(lián)系的觀點(diǎn)，以及延續(xù)本節(jié)課研究的3個公理的基本方法，你認(rèn)為研究線面平行，線面垂直等判定定理、性質(zhì)時可以從什么地方入手？

【評析】這樣的課堂小結(jié)，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容不只拘泥于認(rèn)識平面及其基本性質(zhì)，更為重要的是讓學(xué)生初步掌握研究線面平行、線面垂直等定理、性質(zhì)的基本方法，為整章立體幾何的學(xué)習(xí)謀好篇、開好局、定好調(diào)。

【總評】

一、以“問題串”的形式引領(lǐng)學(xué)生的思維，將“數(shù)學(xué)抽象”與“直觀想象”兩個高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)在教學(xué)中

教學(xué)伊始，執(zhí)教老師設(shè)計(jì)的問題中有4個小問題：觀察圖中的房屋，有你熟悉的空間圖形嗎？生活中有哪些事物給了我們直線的形象？直線有哪些基本特征？如何表示直線？再到后面的3個實(shí)驗(yàn)，實(shí)際上這也是3個問題，最后還有反思性的小結(jié)，也以問題的形式出現(xiàn)。可見，在本節(jié)課中，教師用“問題”串成了整節(jié)課的教學(xué)。

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱課標(biāo)）提出：要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。要做到這一點(diǎn)，教學(xué)時執(zhí)教老師首先要有“設(shè)計(jì)問題”的意識，要有準(zhǔn)確提出問題的能力，這是因?yàn)椋皢栴}”可以驅(qū)動學(xué)生思考。在這節(jié)課里，執(zhí)教老師將“問題”連成串，前后互相聯(lián)系，使學(xué)生的思維形成一個整體。此外，教學(xué)前后的“問題”呈現(xiàn)出相似的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如問題2：（1）生活中有哪些例子給了我們直線形象？（2）直線有哪些基本特征？（3）如何表示直線？問題3：（1）生活中有哪些例子給了我們平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？其實(shí)，執(zhí)教老師設(shè)計(jì)的3個實(shí)驗(yàn)也是3個問題，這就使得學(xué)生的思維有了目標(biāo)。

其次，教師設(shè)計(jì)的問題要有挑戰(zhàn)性，對于“不共線的三點(diǎn)可以確定一個平面”這個結(jié)論，學(xué)生的操作非常精彩，這是一個思維精致化的過程，也可以說是批判性思維的過程。在學(xué)生學(xué)習(xí)3個公理的過程中，執(zhí)教老師借助幾何直觀和空間想象，讓學(xué)生感知平面的性質(zhì)，增強(qiáng)了運(yùn)用點(diǎn)、直線和平面去想象空間問題的意識，提高了數(shù)形結(jié)合的能力。

二、以活動促進(jìn)學(xué)生探究

讓學(xué)生主動探究是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，本節(jié)課就很好地體現(xiàn)了這一教學(xué)追求。假如學(xué)生在活動中出現(xiàn)“一問一答”的情況，那么這是簡單的回答，思維步子邁得太小。在本節(jié)課中，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行探究、匯報(bào)、交流，通過“觀察”“猜想”得出結(jié)論，同時進(jìn)行判斷、驗(yàn)證并舉出反例，這對促進(jìn)思維的發(fā)展是非常有益的，有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模思想解決問題的意識。

三、研透教材，變換教材中的3個公理的順序并嘗試教學(xué)

在設(shè)計(jì)教學(xué)時，執(zhí)教老師打破教學(xué)傳統(tǒng)，將教材中的公理2放在公理1之前學(xué)習(xí)。

從教材內(nèi)容順序而言，3個公理的順序依次是公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)；公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面；公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。目前，正在修訂的課標(biāo)和執(zhí)教老師設(shè)計(jì)的這個教學(xué)順序較為一致，因?yàn)檎谛抻喌恼n標(biāo)有可能會把“過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面”作為公理1。其實(shí)這個從希爾伯特的公理體系來講，它們都是公理，照理說它們的順序并不重要。比如，過去數(shù)學(xué)教材把公理1作為定義，其實(shí)公理1是最能夠闡釋平面“平”的特征，它是用直線的“直”刻畫平面的“平”，公理2、公理3都出現(xiàn)在公理1之后。而目前正在修訂的課標(biāo)，擬定將“過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面”作為公理1。筆者認(rèn)為，這個順序是符合希爾伯特的公理體系的。執(zhí)教老師的教學(xué)設(shè)計(jì)與希爾伯特這個公理體系比較接近。這樣設(shè)計(jì)教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)在于，學(xué)生首先要對平面有所認(rèn)識，然后才能更好地說明點(diǎn)、線、面的關(guān)系。

四、幾點(diǎn)啟發(fā)

1.“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式體現(xiàn)了“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，探究為主線”的教學(xué)理念，突出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式的課堂教學(xué)，始終圍繞“問題”進(jìn)行，整個教學(xué)過程可以概括為提出問題、探究問題、解決問題、生成問題。那么，教師如何設(shè)計(jì)問題呢？好的教學(xué)一定是源于對教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，源于對學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、認(rèn)知能力的準(zhǔn)確把握，因此，提問的關(guān)鍵是要自然。

2.有效設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驙I造豐富生動的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生積極參與教學(xué)過程，真正體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。在實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生始終以研究者的身份出現(xiàn)，變“聽”數(shù)學(xué)為“做”數(shù)學(xué)。高中立體幾何課程歷來以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作等獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型、從生活空間中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程。當(dāng)然，執(zhí)教老師通過幾何畫板動態(tài)演示數(shù)學(xué)知識的形成過程，增強(qiáng)了教學(xué)的直觀性，為學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)提供了平臺。

（責(zé)編 歐孔群）