基于有限差分法的二維拋物方程的電波傳播預測

王瑞東，逯貴禎

(中國傳媒大學 信息工程學院，北京 100024)

基于有限差分法的二維拋物方程的電波傳播預測

王瑞東，逯貴禎

(中國傳媒大學 信息工程學院，北京 100024)

拋物方程方法作為一種介于射線跟蹤方法和波動方程全波方法之間的一種方法，具有適用于大范圍計算和兼顧計算精度的雙重優點。本文首先分析了二維拋物方程的導出，在此基礎之上采用有限差分法對二維拋物方程進行了差分近似，得到了可以進行數值求解的矩陣方程。為了驗證該差分方法，用其對經典的單刃峰繞射和雙刃峰繞射問題進行了數值計算。為了驗證計算結果的有效性，建立了室內縮比測試環境，進行了實驗測量。對比分析發現，該方法計算結果與實驗結果基本一致。

電波傳播；拋物方程；有限差分法

1 引言

在無線通信和廣播電視傳輸技術的研究中，復雜地形條件下的電波傳播預測一直是電波傳播領域中的研究熱點。在復雜地形環境中，無線通信和廣播電視中的電波傳播包括視距傳播、反射傳播、散射傳播等多種傳輸方式。由于多種傳輸機制的存在以及計算范圍大的特點，因此極大的增加了復雜地形中電波傳播預測的困難。盡管如此，但是出于工程技術上的需要，電波傳播研究工作者們還是建立了很多電波傳播的預測模型。這些電波傳播的預測模型主要可以分為經驗模型和確定性模型兩種。

經驗模型是通過對大量的實測數據的統計分析，歸納總結得出的計算公式。這其中比較典型的有ITU-R.P1546模型和Okumura-Hata模型。P1546模型適用于頻率范圍在30Mhz至3000Mhz，有效發射天線高度小于3000m、路徑長度在1-1000km之間的陸地路徑、海面路徑和陸地海面混合路徑上的無線電波預測[1]。Hata模型是在Okumura大量測試數據的基礎上用公式擬合得到的，適用于發射天線頻率在150Mhz到1500Mhz的大型城市傳播環境，對其它的傳播環境和地形條件等因素用校正因子加以修正[2]。經驗模型的優點是方法簡單，計算時不需要詳細的地形環境信息。缺點是對于路徑損耗的預測精度不是很高。

確定性模型是從麥克斯韋方程組導出的計算公式。根據電磁波傳播的初始條件和邊界條件，求解這些計算公式就可得到傳播路徑上的電磁波傳播特性。初始條件由發射天線決定，一般相對固定，邊界條件則是由傳播媒質與地表分界面的形狀和電磁特性決定，通常隨著傳播環境的變化而不同。目前，大部分確定性模型都是基于射線追蹤的電磁方法，如物理光學法(PO)、幾何光學法(GO)、幾何繞射理論(GTU)、一致繞射理論(UTD)等。射線追蹤法師基于高頻場的“局部性”，將電磁波在路徑上的傳播簡化為直射、反射和繞射波，這樣便可根據地形環境信息搜索主要傳輸路徑，再根據各路徑對場的貢獻最終求得總得場強。這類模型中比較典型的有Longly-Rice模型和Durkin模型。Longly-Rice模型也被稱為不規則地面模型，它預測了在自由空間中由地形的非規則性造成的電波傳播衰減。該模型主要使用于頻段為20Mhz到40Ghz，傳輸路徑長度為1km到2000km的情況。Durkin模型給出了不規則地形的場強預測方法。該模型適用于計算大尺度電波傳播問題，同時還可以計算不規則遮擋物體造成的損耗[3]。由于射線跟蹤方法要根據地形的面、棱和頂點的位置來搜索主要的傳播路徑，因此，當不規則地形或建筑物表面上的面、棱和頂點數目巨大時，需要跟蹤的射線就非常多，從而使得計算非常復雜。此外，還有一些不常用的小尺度電波傳播模型，如積分方程法(IE)和時域有限差分法(FD)，由于計算量太大，只能計算結構簡單的小區域或室內電波傳播問題。總體來說，確定性模型的缺點是計算過程復雜，計算量大，優點是計算精確度高[4]。

拋物方程方法作為一種介于全波方法和射線方法之間的電波傳輸損耗計算方法，最近成為了一個研究的熱點。拋物方程方法既能精確處理復雜地形邊界條件，又能處理復雜大氣波導結構，因而在移動通信和廣播電視覆蓋的電波傳輸研究中具有重要的應用價值。相比于全波方法，拋物方程方法把原波動方程轉化為單向傳輸的偏微分方程，這樣可以通過在傳輸方向步進的方法求解方程，降低了求解全波方程的計算復雜度。拋物方程方法最早的應用是在1946年，Leontovich and Fock用拋物方程分析了電磁波在非均勻大氣中的傳播問題。在1977年，Tappert在聲學研究中采用分步傅里葉變換方法求解拋物方程，表明了拋物方程方法在求解大范圍傳播問題的潛力。James R.Kuttler 在1991年將分步傅里葉變換方法用于分析對流層大氣波導的電波傳播問題[5]。為了分析阻抗邊界條件的電波傳播問題，1996年Dockery引入了混合型分步傅里葉變換方法[6]。

本文首先分析了二維拋物方程的導出，在此基礎之上采用有限差分法對二維拋物方程進行了差分近似，得到了可以進行數值求解的矩陣方程。然后將差分格式的二維拋物方程應用于單刃峰和雙刃電波傳播問題預測中。通常有限差分方法用于中等規模的計算問題，該方法的最大優點在于能夠模擬復雜的地形邊界條件。為了驗證計算結果的有效性，搭建了室內實驗測量平臺，對計算結果進行了實驗驗證。

2 理論分析

在二維直角坐標系下，電波傳播滿足以下二維波動方程

(1)

假設電磁波以很小角度沿x軸正向傳播，于是可作如下近似

u(x，z)=φ(x，z)e-jk0x

(2)

代入方程(1)得

(3)

方程(3)剝離了快速變化的相位部分，因此u關于x的二階導數遠小于一階導數

(4)

忽略關于x的二階導數項，并近似認為大氣折射率n=1，于是可得如下二維拋物方程

(5)

對方程(5)用Crank-Nicolson有限差分法[7]進行離散，

(6)

(7)

其中△x和△z分別為x方向和z方向的離散步長。

將式(6)和(7)帶入方程(5)得如下矩陣方程

u(xm，zj+1)+(a-2)·u(xm，zj)+u(xm，zj-1)=a·u(xm-1，zj)

(8)

3 數值計算和實驗對比

多刃峰障礙物的繞射問題是一個典型的復雜環境電波傳播問題。許多實際電波傳播的預測公式都是在單刃峰繞射的基礎上進行改進的結果。下面選擇刃峰繞射問題驗證以上所述的計算方法。我們從拋物方程計算和實驗測量兩個方面進行比較分析。實驗測量采用縮比模型在實驗室環境下研究刃峰的電波繞射問題。實驗配置如圖1所示，實驗平臺搭建在理想導體平面上，周圍采用吸波材料包圍。實驗中工作頻率選擇9.35GHz，發射天線采用單極子天線，接收天線采用波導天線。

圖1 實驗平臺構建

在單刃峰繞射問題中，為了得到可以和二維拋物方程比較的計算結果，使用高度為6.5cm的金屬條作為刃峰1。刃峰1距離發射天線的距離為30cm，其寬度取的足夠長，以避免從側邊方向過來的繞射波。圖2 給出了單刃峰繞射的二維拋物方程法差分計算的結果和實驗結果的對比。從實驗結果可以看到，實驗結果與拋物方程的仿真結果基本一致。圖3所示是雙刃峰繞射問題的拋物方程差分法的計算結果和實驗結果的對比。在雙刃峰繞射問題中，在刃峰1的基礎上增加了刃峰2。刃峰2的高度為4.9cm，其寬度也取得足夠長，以避免從側方向傳過的繞射波。由圖2和圖3可以看出，二維拋物方程差分法的計算結果同實驗結果具有相同的變化規律。其中拋物方程法的計算結果略小于實驗結果，主要是相關近似造成的。

圖2 單刃型障礙物的拋物方程計算與實驗比較

圖3 雙刃型障礙物的拋物方程計算與實驗比較

4 結論

拋物方程差分法的求解是一種步進迭代的算法，每次計算一步便可以得到該步進上的場分布，再加上拋物方程本身包含電波傳播所表現的繞射和折射效應，不需要再去專門考慮在傳播路徑上所產生的各種不同的傳播機理，因此具有計算過程簡單和計算精度高等優點。本文通過差分近似，得到了二維拋物方程的矩陣表示形式。通過對單刃峰和雙刃峰繞射問題的數值計算和實驗測量，驗證二維拋物方程的差分求解的有效性，表明了該方法可以用于復雜環境中的電波傳播預測。

[1]RecommendationITU-RP1546-5.Methodforpoint-to-areapredictionsforterrestrialservicesinthefrequencyrange30MHzto3000MHz[R].2013.

[2]MHata.Empiricalformulaforpropagationlossinlandmobileradioservices[J].IEEETransactionsonVehicularTechnology，317-325，September，1981.

[3]TSRappaport.WirelessCommunications[M].PearsonEducation，150-154，SecondEdition.

[4]胡繪斌.預測復雜環境下電波傳播特性的算法研究[D].國防科技大學，2006.

[5]LeontovichMA，FockVA.SolutionofpropagationofelectromagneticwavesalongtheEarths’surfacebythemethodofparabolicequations[J].JPhysUSSR，1946，10(1)：13-23.

[6]KuttlerJR，DockeryGD.Theoreticaldescriptionoftheparabolicapproximation/Fouriersplit-stepmethodofrepresentingelectromagneticpropagationinthetroposphere[J].RadioScience，1991，26(2)：381-393.

[7]任明.電波傳播損耗預測拋物型方程模擬[D].杭州電子科技大學，2012.

(責任編輯：宋金寶)

The Radio Wave Propagation Prediction Using Two Dimensional Parabolic Equation Based on Finite Difference Method

WANG Rui-dong，LU Gui-zhen

(Information Engineering School，Communication University of China，Beijing 100024，China)

The parabolic equation(PE)is a computational method for radio wave propagation loss besides the full wave method and ray tracing method.It has the capability to compute large range radio wave propagation problem and high computational accuracy.In this paper，we introduced the two dimensional PE firstly，and then we adopted finite difference method to approximate the PE.By doing this，we obtained the matrix equation which can be solved numerically.To verify this method，the classic single knife-edge and double knife-edge diffraction problems were computed.To investigate the validity of the computation results，we built the indoor scaling experiment environment to measure the propagation loss.It was found that the computational results and the measurement data are basically identical.

radio wave propagation；parabolic equation；finite difference method

2016-09-22

王瑞東(1987-)，男(漢族)，寧夏人，中國傳媒大學博士研究生，E-mail：123495518@qq.com.

TN92

A

1673-4793(2017)01-0027-04