Neveu-SchwarzLoop代數的導子和自同構

祁杰，付佳媛，張志蘭

(中國傳媒大學理工學部，北京 100024)

Neveu-SchwarzLoop代數的導子和自同構

祁杰，付佳媛，張志蘭

(中國傳媒大學理工學部，北京 100024)

討論了一類超代數：N=2的Neveu-SchwarzLoop代數的結構，具體研究了其導子代數和自同構。

Neveu-Schwarz代數；Loop；導子代數；自同構

1 引言

21世紀以來，數學家們通過研究推廣Virasoro代數到超代數，發現了Neveu-Schwarz代數。隨著研究的深入，Neveu-Schwarz代數的最小模、超正則變換、自同構群及超共型代數的結構等都有了相對完善的結論。特別在2014年，吳合楠結合Loop結構，給出了階化的Virasoro Loop 代數結構。

本文擬討論Neveu-Schwarz Loop代數的結構，主要研究其非零次導子、零次偶導子及自同構的具體作用。

2 預備知識

現在，我們介紹一些與Neveu-SchwarzLoop代數相關的基本定義及結果。

定義1 如果一個代數A可表示成子空間Am，m∈的直和：使得Am·An?Am+n，?m，n∈則稱A是-分次代數，稱Am的元素為m次齊次元。

[x，y]=-(-1)αβ[y，x]；

(-1)αγ[x，[y，z]]+(-1)αβ[y，[z，x]]+(-1)βγ[z，[x，y]]=0，

其中x∈Lα，y∈Lβ，z∈Lγ，α，β，γ∈2，這時稱L是域F上的一個李超代數。

定義4 若L是域F上的李超代數，D是L上的一個線性變換。如果D滿足下述條件：

D([x，y])=[D(x)，y]+(-1)αξ[x，D(y)]，x∈Lξ，y∈L，α，ξ∈?2，

這時稱D是L的一個超導子。記

DerL={D∈gl(L)|D是L的超導子}。

定義5 設L是域F上的李超代數，ad是L上的一個線性變換。對每一個x∈L，所有的y∈L，都有等式(adx)(y)=[x，y]，成立，這時稱adx是L的超內導子。所有內導子的集合adL，稱為內導子代數。對于D∈(DerL)(adL)，稱D為L的外導子。商代數(DerL)/(adL)稱L的外導子代數。

(2.1)

3 Neveu-Schwarz Loop代數的導子代數

D([Litk，Ljtl])=[D(Litk)，Ljtl]+[Litk，D(Ljtl)]，D([Litk，Hjtl])=[D(Litk)，Hjtl]+[Litk，D(Hjtl)]

設

其中{i，j，k∈，r，s∈}，γ∈2。

令i=0，k=0，則

即

D(Ljtl)=[γ-1D(L0)，Ljtl]=adγ-1D(L0)(Ljtl)，

類似可以得到

D(Hjtl)=[γ-1D(L0)，Hjtl]=adγ-1D(L0)(Hjtl)，

由上述可見

D=adγ-1D(L0).

證明：類似引理3.2證明，這里不加以說明。

結合引理3.2和引理3.3，可以得到以下結論：

設

D(Litk)=Litkfi，k(t)+Hitkgi，k(t)，D(Hjtk)=Ljtkhj，k(t)+Hjtkpj，k(t)，

其中{i，j，k∈，r，s∈}。

由導子定義運算可得

(i-j)fi+j，k+l(t)=(i-j)fi，k(t)+(i-j)fj，l(t)，(i-j)gi+j，k+l(t)=igi，k(t)-jgj，l(t)，

(-j)hi+j，k+l(t)=(i-j)hj，l(t)，(-j)pi+j，k+l(t)=(-j)fi，k(t)+(-j)pj，l(t)，

2gr+s，k+l(t)-(r-s)pr+s，k+l(t)=-(r-s)wr，k(t)-(r-s)qs，l(t)，

如果i≠j，則

fi+j，k+l(t)=fi，k(t)+fj，l(t)，

(3.1)

如果i=0，k=0，那么

f0，0(t)=g0，0(t)=us，l(t)=vr，l(t)=0，

(3.2)

如果j=0，k=l=0，i≠0，則

h0，0(t)=0，

如果i=-j≠0，k=l=0，則

2gr+s，0(t)-(r-s)pr+s，0(t)=-(r-s)wr，0(t)-(r-s)qs，0(t)，

取m∈，m≠0，m≠i，m≠-j，且i+m≠j-m，那么有

fi+j，k+l(t)=fi+m，k(t)+fj-m，l(t)，fi+m，k(t)=fi，k(t)+fm，0(t)，fj-m，l(t)=f-m，0(t)+fj，l(t)，

那么

fi+j，k+l(t)=fi+m，k(t)+fj-m，l(t)=fi，k(t)+fm，0(t)+f-m，0(t)+fj，l(t)=fi，k(t)+fj，l(t)，

即對于任意的i，j∈，都有

fi+j，k+l(t)=fi，k(t)+fj，l(t)。

(3.3)

由上述等式可得到

如果j≠0，k≠0，l=0，那么(-j)hi+j，k(t)=(i-j)hj，0(t)=0，從而hi+j，k(t)=0，即

hi，k(t)=0，

(3.4)

將(3.4) 代入上述等式可知

qi+s，k+l(t)=pi，k(t)+qs，l(t)，wi+r，k+l(t)=pi，k(t)+wr，l(t)，fr+s，k+l(t)=wr，k(t)+qs，l(t)，

變形可得2gi，k(t)=(r-s)(qi+s，k+l(t)-qs，l(t)-fi，k(t))=(r-s)(pi，k(t)-fi，k(t))=(r-s)p0，0(t)=0，

即

gi，k(t)=0，

(3.5)

由(3.3)代入上述等式可得

qi+s，k+l(t)=fi，k(t)+qs，l(t)，wi+r，k+l(t)=fi，k(t)+wr，l(t)，pr+s，k+l(t)=wr，k(t)+qs，l(t)，

比較得

fi，k(t)=pi，k(t)，

(3.6)

由前面等式可知

fr+s+2i，k+l(t)=wi+r，k+l(t)+qi+s，0(t)，fr+s+2i，k+l(t)=wi+r，0(t)+qi+s，k+l(t)，

化簡得fi，k(t)=wi+r，k+l(t)-wr，l(t)=-qi+s，0(t)+qs，k(t)+f2i，0(t)，即

qs，k(t)=fi，k(t)+qi+s，0(t)-f2i，0(t)=fi，k(t)+fi，o(t)+qs，0(t)-(fi，0(t)+fi，0(t))=f0，k(t)+qs，0(t)，

即有

(3.7)

類似可得fi，k(t)=qi+s，k+l-qs，l(t)=-wi+r，0(t)+wr，k(t)+f2i，0(t)，即

wr，k(t)=wi+r，0(t)+fi，k(t)-f2i，0(t)=fi，k(t)+fi，0(t)+wr，0(t)-2fi，0(t)=f0，k(t)+wr，0(t)，

即有

(3.8)

D(Litk)=Litkfi，k(t)，D(Hitk)=Hitkfi，k(t)，

由(3.3)可得fi，k(t)=fi，0(t)+f0，k(t)=if1，0(t)+kf0，1(t)，令f1(t)=f1，0(t)，f2(t)=f0，1(t)，則

fi，k(t)=if1(t)+kf2(t)。

由

ad(H0)(Litk)=[H0，Litk]=0，ad(H0)(Hitk)=[H0，Hitk]=0，

令D′=D-q(t)ad(H0)，則

D′(Litk)=(D-q(t)ad(H0))(Litk)=Litkfi，k(t)=Litk(if1(t)+kf2(t))，

D′(Hitk)=(D-q(t)ad(H0))(Hitk)=Hitkfi，k(t)=Hitk(if1(t)+kf2(t))，

其中i，k∈。

定義Hom(，F[t，t-1])是群(，+)到群(F[t，t-1]，+)的同態，取ψ∈Hom(，F[t，t-1])，滿足ψ(i)=if1(t)，即ψ(i+j)=ψ(i)+ψ(j)。令Dψ=D′-Dρ，則

Dψ(Litk)=(D′-Dρ)(Litk)=Litkif1(t)，Dψ(Hitk)=(D′-Dρ)(Hitk)=Hitkif1(t)，

即

D=D′+q(t)ad(H0)=Dψ+Dρ+q(t)ad(H0)，

故D是外導子。

其中Hom(，F[t，t-1])∩F[t，t-1]{0}，F[t，t-1]∩()={0}，且

D∈Hom(，F[t，t-1])∩()當且僅當D=Dψ，其中ψ(i)=-ix(t)，x(t)∈F[t，t-1]。

證明：取D1∈Hom(，F[t，t-1])∩F[t，t-1]，即存在這樣一個D1=Dψ=Dρ，滿足

Dψ(Litk)=Litkfi，k(t)=Litkψ(i)，Dψ(Hitk)=Hitkfi，k(t)=Hitkψ(i)，

Dρ(Litk)=Liρ(tk)，Dρ(Hitk)=Hiρ(tk)，

Hom(，F[t，t-1])∩F[t，t-1]{0}。

D2(Litk)=-ix(t)Litk，D2(Hitk)=-ix(t)Hitk，

4 Neveu-Schwarz Loop代數的自同構

σ(L0)，σ(H0)∈spanF{L0，H0}。

σ(Litk)=εLεiφi，k(t)+bHεiφi，k(t)，

σ(Hitk)=ξHεiφi，k(t)，

且φi+j，k+l(t)=φi.k(t)φj，l(t)，其中i，j，k，l∈，。

證明：由引理3.2可設

σ(L0)=aL0+bH0，其中a，b∈F，

a[L0，σ(xi)]=-iσ(xi)。

事實上，a≠0。如果a=0，則-iσ(xi)=0，對任意的i∈，有σ(xi)=0，顯然，這與σ∈相矛盾，故a≠0，即[L0，σ(xi)]σ(xi)，因此∈，σ(xi)∈，由于對所有的i∈，都有∈成立，則a=±1，此時σ(xi)∈L±i。

情形1 如果a=1，則

σ(L0)=L0+bH0，σ(xi)∈Li，

故設

σ(Litk)=Lifi，k(t)+Higi，k(t)，σ(Hitk)=Lihi，k(t)+Hipi，k(t)，

將σ作用在(1)兩邊，有

(i-j)fi+j，k+l(t)=(i-j)fi，k(t)fj，l(t)，(i-j)gi+j，k+l(t)=igi，k(t)fj，l(t)-jfi，k(t)gj，l(t)。

(i-j)hi，k(t)hj，l(t)=0，ipi，k(t)hj，l(t)-jpj，l(t)hi，k(t)=0，

如果存在i0∈，使得hi0，k(t)≠0，則對所有的j∈{i0，0}，都有hj，l(t)=pj，l(t)=0成立，顯然與σ∈相矛盾。因此，hi，k(t)=0對所有i∈都成立，故σ(Hitk)=Hipi，k(t)。

設

將σ作用在(1)兩邊，有(b-m1+r)qr，k，m1(t)=0，(b+n1-r)ur，k，n1(t)=0，由于qr，k，m1(t)與ur，k，n1(t)不全為0，故b-m1+r=0，b+n1-r=0，即m1=b+r，n1=r-b，于是

類似的可以得到

將σ作用在(1)兩邊得

qi+r，k+l(t)=pi，k(t)qr，l(t)，ui+r，k+l(t)=-pi，k(t)ur，l(t)。

vi+r，k+l(t)=-pi，k(t)vr，l(t)，wi+r，k+l(t)=pi，k(t)wr，l(t)。

顯然，qr，k(t)與ur，k(t)之間必有一個為0，vr，k(t)與wr，k(t)之間也必有一個為0，如果qr，k(t)與ur，k(t)都不為0，則當i=0，k=0時，由qr，l(t)=p0，0(t)qr，l(t)，可知p0，0(t)=1，由ur，l(t)=-p0，0(t)ur，l(t)，可知p0，0(t)=-1，矛盾。故qr，k(t)與ur，k(t)之間必有一個為0，同理vr，k(t)與wr，k(t)之間也必有一個為0。

子情形1.1 若qr，k(t)≠0，ur，k(t)=0，即p0，0(t)=1，vr，k(t)=0，wr，k(t)≠0，滿足：

qi+r，k+l(t)=pi，k(t)qr，l(t)，wi+r，k+l(t)=pi，k(t)wr，l(t)，

將σ作用在(1)兩邊，有

fr+s，k+l(t)=wr，k(t)qs，l(t)，2gr+s，k+l(t)-(r-s)pr+s，k+l(t)=-(r-s-2b)wr，k(t)qs，l(t)，

2gr+s，k+l(t)=(r-s)pr+s，k+l(t)-(r-s-2b)wr，k(t)qs，l(t)=2bfr+s，k+l(t)，

即

gi，k(t)=bfi，k(t)，

其中fi，k(t)∈F[t，t-1]，，u(t)∈F[t，t-1]*，i，k∈，且fi+j，k+l(t)=fi.k(t)fj，l(t)。

子情形1.2 若ur，k(t)≠0，qr，k(t)=0，有

其中fi，k(t)∈F[t，t-1]，b∈F，u(t)∈F[t，t-1]*，i，k∈，且滿足fi+j，k+l(t)=fi.k(t)fj，l(t)。

情形2 如果a=-1，則

σ(L0)=-L0+bH0，σ(xi)∈L-i，

故設

σ(Litk)=L-ifi，k(t)+H-igi，k(t)，σ(Hitk)=L-ihi，k(t)+H-ipi，k(t)，

用同樣的方法討論，可以得到下面子情形

子情形2.1 若qr，k(t)≠0，ur，k(t)=0，有

其中gi，k(t)∈F[t，t-1]，，q(t)∈F[t，t-1]*，i，k∈，且gi+j，k+l(t)=gi.k(t)gj，l(t)。

子情形2.2 若ur，k(t)≠0，qr，k(t)=0，有

其中gi，k(t)∈F[t，t-1]，b∈F，u(t)∈F[t，t-1]*，i，k∈，且gi+j，k+l(t)=gi.k(t)gj，l(t)。

由上可知：對任意的σ∈AutL，存在x(t)∈F[t，t-1]，φ∈Hom(×，F[t，t-1]*)，ξ，ε∈{±1}，b∈F，使得

σ(Litk)=εLεiφi，k(t)+bHεiφi，k(t)，

σ(Hitk)=ξHεiφi，k(t)，

且φi+j，k+l(t)=φi.k(t)φj，l(t)，其中i，j，k，l∈，。

5 結論

[1]HenanWu，SongWang，XiaoqingYue.StructuresofGeneralizedLoopVirasoroAlgebras[J].CommunicationsinAlgebra，2014，42(4)：1545-1558.

[2]JiayuanFu，QifenJiang，YucaiSu.ClassificationofModulesofTheIntermediateSeriesoverRamondN=2SuperconformalAlgebras[J].JournalofMathematicalPhysics，2007，48，043508.

[3]JiayuanFu，YongcunGao.TheDerivationAlgebraandAutomorphismGroupofTheGeneralizedRamondN=2SuperconformalAlgebra[DB/OL].arXiv：0811.3306v1 [mathRT] 20，Nov，2008.

[4]JiayuanFu，ShaoXia，TanXiao.TheStructureofNeveu-SchwarzN=2SupercomformalAlgebra[J].中國傳媒大學學報(自然科學版)，2014，21(3)：32-41.

(責任編輯：王謙)

Derivations and Automorphism of Loop Neveu-Schwarz Algebras

QI Jie，FU Jia-yuan，ZHANG Zhi-lan

(Faculty of Science and Techonology，Communication University of China，Beijing 100024，China)

This paper discusses a class structure of super algebraic：N=2Neveu-Schwarz Loop algebra，and study its derivation algebras and the automorphism.

Neveu-Schwarz algebra；Loop；derivation algebra；automorphism

2016-04-22

國家自然科學基金(HG1308)；中國傳媒大學理工科規劃項目(3132014XNL1403)

祁杰(1989-)，男(漢族)，江蘇鹽城人，中國傳媒大學碩士研究生.E-mail：qizhengjie3296@sina.com

O

A

1673-4793(2017)01-0051-10