基于實數階累加的累積法改進及其應用

張海云，王菊韻，吳正鵬

(中國傳媒大學 理工學部，北京 100024)

基于實數階累加的累積法改進及其應用

張海云，王菊韻，吳正鵬

(中國傳媒大學 理工學部，北京 100024)

基于普通累積法估計模型參數的基本原理，將普通累積法由整數推廣到實數，并用推廣后的實數階累積法估計計量經濟學模型參數，且運用實例與普通累積法估計的結果進行比較。結果表明，實數階累積法也能像最小二乘法及普通累積法一樣，對模型參數進行很好的估計，因此可將累積法推廣到其他模型的參數估計中，以滿足更大范圍的應用。

普通累積法；實數階累積法；計量經濟學模型

1 引言

在計量經濟學的分析步驟中，參數估計是一個非常重要的環節，它依靠統計推斷的理論和方法，利用樣本資料，估計模型內結構參數的數值。結構參數估計常用的方法有兩類，一類是最小二乘估計，另一類是最大似然估計。最小二乘估計的數學理論基礎是由數學家Guass和Markov奠定的，但這種方法使結構參數有所偏離和不一致，且平均誤差較大。在文獻[3]中，曹定愛、張順明兩位作者根據意大利數學家P.Marchsi創立的累積法，探索出累積算子的各階通式，并提出可以取代最小二乘法的普通累積法，進而用來估計聯立方程模型的參數，且開發出一系列參數估計的補充方法。

自鄧聚龍教授提出灰色系統理論以來，灰色預測模型模型已被應用于眾多領域。鄧聚龍教授提出的整數階累加更是許多模型建模的基礎，近年來，隨著灰色系統的發展，許多學者已將鄧聚龍最先提出的整數階累加方法推廣到分數甚至是復數，其中吳利豐等人提出的分數階累加是對灰色系統理論的一個重大發展。在分數階累加的基礎上，吳正鵬等人提出的基于復數階累加運算，是灰色系統理論的又一次完善。

曹定愛等人提出的普通累積法僅限于整數階的累積和，且累積過程與灰色系統的累加過程有很多相似之處。因此本文將曹定愛的工作從整數推廣到實數，并將其應用于計量經濟學模型中的參數估計。

2 實數階累積法

基于普通累積法累積和的求解過程與灰色系統中累加生成的基本原理十分相像，且文獻[6]已將灰色系統中的整數階累加推廣到了復數，因此，本文將普通累積法推廣到實數，相應的提出實數階累積法。

2.1 累加生成算子

針對原始序列x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))T，可以定義r次累加生成。

x(r)=Ax(r-1)=AAx(r-2)=A2x(r-2)=…=Arx(0)，

其中A為一次累加生成矩陣

這樣，我們可以得到

(1)

2.2 實數階累積法

普通累積法的累積和計算過程可以看成是灰色系統先對原始序列進行累加，然后再求和的過程。依據灰色累加的計算，可以將普通累積法具體分為以下兩步：

第一步：求累加生成序列

將一組(有限維)數據{xt：t=1，2，…，n}看作是原始序列，記為：

x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))T

由累加生成算子，該原始數據的一次累加生成序列為：

x(1)=(Αx(0))T=(x(0)(1)，x(0)(1)

+x(0)(2)，…，x(0)(1)+x(0)(2)+…+x(0)(n))，

即

類似的可以得到x(2)=(A2x(0))T，x(3)=(A3x(0))T，…

第二步：求累積和

用S(0)表示對原始序列各項進行累加求和，用S(1)表示對一次累加生成序列各項進行累加求和，…

則：

………………………………

在文獻[6]中，吳正鵬等人已經將矩陣(1)中的r由整數推廣到復數中，得到復數階累加生成矩陣。類似的，實數階累積法首先將矩陣(1)中的r由整數推廣到實數，用原始序列乘該矩陣，得到實數階累加生成序列，然后對實數階累加生成序列進行求和，得到實數階累積和，由此得到實數階累積法。

3 用實數階累積法估計計量經濟學模型參數

由2.2可知實數階累積法的計算過程，按照參考文獻[3]中模型參數的估計方法，可實現實數階累積法對參數模型的估計。

例3.1據統計資料知，我國1952年—1957年工農業總產值如表1，試估計我國工農業發展的相關模型。

表1 我國1952～1957年工農業總產值

單位：億元(按1952年不變價格計算)

根據相關因素分析，設工農業發展的相關模型為

yt=β0+β1xt+εt

(2)

其中工業總產值記為yt，農業總產值記為xt，且誤差項記為εt。

[3]中作者已經用普通累積法和最

小二乘法求解，得到變量之間的經驗關系為：

(1)普通累積法得到的經驗關系式為：

(3)

(2)最小二乘法得到的經驗關系式為：

(4)

用實數階累積法得到的模型參數估計值表2所示：

表2 實數階累積法得到的參數估計值

(1) 1/3次累加得到的經驗關系式為：

(5)

(2)π/4次累加得到的經驗關系式為：

(6)

(3) 1次累加得到的經驗關系式為：

(7)

表3 實數階累積法得到的因變量的估計值、誤差和誤差率

將實數階累積法的計算結果與普通累積法和最小二乘法的計算結果進行比較，見表4：

表4 普通累積法、最小二乘法及實數階累積法結果比較

y值與不同方法計算的估計值之間的具體差異情況見圖1。

圖1 普通累積法、最小二乘法及實數階累積法估計值比較

通過以上過程可以看出，文獻[3]中曹定愛等人提出的普通累積法，實際上是實數階累積法累加次數為1的特殊情況。實數階累積法不同累加次數得到的總誤差率雖有差異，但整體效果都不錯，這表明實數階累積法和最小二乘法一樣對估計計量經濟學模型參數具有較好的效果。從圖1中發現，最小二乘法和實數階累積法得到的y估計值具有同樣的趨勢。

4 結論

本文主要通過累加生成矩陣，將普通累積法累加生成序列的計算過程由整數推廣到實數，由此得到實數階累積法。普通累積法就是實數階累積法累加次數為1的特殊情況，且實數階累積法也能很好的估計計量經濟學模型參數。

文中對于曹定愛等人在文獻[3]中提及的其他的參數估計的補充方法沒有用實數階累積法進行驗證；對于文章一開始提及的復數階灰色累加沒有相應的推廣；對本文中如何選取最佳的實數階累加次數，以使總誤差率達到最小以及為什么最小二乘法和實數階累積法得到的y估計值具有相同的趨勢等問題沒有進一步的研究，這些問題在今后的工作中會加以說明。

參考文獻

[1]鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢：華中科技大學出版社，2002.

[2]肖新平，毛樹華.灰預測與決策方法[M].北京：科學出版社，2013.

[3]曹定愛，張順明.累積法引論[M].北京：科學出版社，1991.

[4]古亞拉提(GujaratiDN).張濤，譯.經濟計量學精要[M].北京：機械工業出版社，2006.

[5]吳利豐，劉思峰，姚立根.基于分數階累加的離散灰色模型[J].系統工程理論與實踐，2014，34(7).

[6]吳正鵬，劉永菲.復數階累加運算及其在反復GM(1，1)中的應用[J].中國傳媒大學學報(自然科學版)，2016，23(1)：6-11.

[7]李子奈，潘文卿.計量經濟學(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

(責任編輯：王謙)

The Improvement and Application of Accumulation Method Based on the Real Order Accumulation

ZHANG Hai-yun，WANG Ju-yun，WU Zheng-peng

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

This article is based on the principle of ordinary accumulation method，and will promote the ordinary method to real.Use the promoting realorder accumulation method to estimate the econometric model，and compare the instance’s estimated results with ordinary accumulation method.Results showed that the real order accumulation method can be like the least square method and ordinary accumulation methodto estimate the model parameters is very good.So the accumulation method can be extended to other model parameter estimation，in order to satisfy a wider range of applications.

ordinary accumulation method；real order accumulation method；econometric model

2016-05-04

張海云(1991-)，女(漢族)，山東濰坊人，中國傳媒大學碩士研究生.E-mail：haiyun665287@163.com

O241.5

A

1673-4793(2017)01-0071-04