解三角形的常見錯誤總結

邱春林

解三角形問題在全國高考中一直占有一定的比重，解三角形中涉及到正余弦定理、面積公式、三角恒等變換誘導公式及各種的角邊互化公式，變形較多，知識點中跨度較大，綜合性強，解題中存在方法技巧，切入點需準確無誤。學生在處理此類問題時，往往不注重條件，經常有思路不清，審題不仔細，考慮不周而導致各種類型的錯誤，下面對一些學生錯誤進行適當分類，以便大家參考，如有不足請指正：

一、三角公式性質不熟

例1. 在三角形△ABC中，已知■=■，判斷△ABC中形狀。

誤解：由正弦定理可知■=■，易得：sin2A=sin2B，所以2A=2B，即A=B，故△ABC是等腰三角形。

解析：由sin2A=sin2B，得2A=2B，這是典型的等式兩邊相消的錯誤，原因是對三角性質及變換不熟悉。

二、三角形內角條件制約

例2. 在△ABC中，若a=1，C=60°，c=■，則A的值為（ ）

A. 30°

B. 60°

C. 30°或150°

D. 60°或120°

誤解：由正弦定理得sinA=■=■=■，所以A=30°或150°，選C。

解析：三角形內角和為180°，而且邊角要互相對應，大角對大邊。

三、公式選擇不當，解法繁瑣

例3. 已知△ABC中，C=60°，b=1，S△=■，求■的值。

誤解：由C=60°，b=1，S△=■，由面積公式S△=■absinC可得a=4，由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=13得c=■。

又由正統定理分別求出sinA=■=■，sinB=■=■，所以■=■=■。

解析：對正弦定理中的邊角互化公式不熟悉，方法不當產生復雜計算量。

四、對邊角判斷不當，多解或漏解：

例4. 在△ABC中滿足A=45°，a=2，c=■，那么角B= 。

誤解：由正弦定理得sinC=■=■，所以C=60°，即B=180°-A-C=75°。

解析：對誘導公式不熟，漏解。

五、對條件考慮不周

例5. 在△ABC中，c是最大邊，若c2

誤解：因為c20。

按余弦定理cosC=■>0，C為三角形內角，易知0°

解析：對條件審查不嚴，沒有做到文字條件的利用，c邊是最大邊，不是普通的邊長，造成結果的錯誤。

六、解題思想不完整，過程缺失

例6. 已知三角形中的三條邊的邊長分別是a2、b2、c2，求證長度分別為a、b、c的三條線段能構成銳角三角形。

誤解：由于三邊長度未知，不妨設三角形的三邊a2c2。

根據余弦定理可知cosC=■>0，可知以a、b、c為線段的三角形中C<90°，C為銳角，又由假設知a

解析：銳三角形的辨別有兩個條件：1. 兩邊之和大于第三邊；2. 最大邊所對角為銳角。這里只驗證了第2個條件，是否三角形還有待認定。

責任編輯 鄒韻文