基于整體把握高中數(shù)學課程理念的教學設計探究—以“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”一課為例

江蘇省東臺中學(224200) 楊曉翔

基于整體把握高中數(shù)學課程理念的教學設計探究—以“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”一課為例

江蘇省東臺中學(224200) 楊曉翔

高中數(shù)學課程具有嚴格的邏輯體系.教學過程中的任何只注重“課時主義”和“知識點情節(jié)”的行為,都將把數(shù)學知識碎片化、間斷化和片面化,從而違背數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀規(guī)律.只有在整體把握高中數(shù)學課程的理念下進行教學設計,才可能促進學生構建知識,達成三維目標,實現(xiàn)學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和形成.

整體把握 數(shù)學課程 教學設計

高中數(shù)學課程自身具有嚴格的邏輯體系.它既不同于以基礎性、綜合性為特征的小學、初中數(shù)學課程,也不同于以專業(yè)性、應用性為特征的高等數(shù)學課程,它是兩者之間過渡的重要環(huán)節(jié),兼具兩者部分特征,是整個數(shù)學教育體系的核心部分,是學生的數(shù)學知識、思想、方法和能力向深度和廣度大幅拓展、提升的關鍵內容.它們是一個整體,教學過程中的任何只注重“課時主義”和“知識點情節(jié)”的行為,都將把數(shù)學知識碎片化、間斷化和片面化,從而違背數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀規(guī)律,教師在進行教學設計時需要統(tǒng)籌考慮,整體謀劃.正因如此,對于整體把握高中數(shù)學課程理念的教學設計實踐研究也備受重視.

1對整體把握高中數(shù)學課程的認識

所謂整體把握高中數(shù)學課程就是指在感知過程中要把高中數(shù)學課程當作一個整體來對待和處理.具體指教師與學生在教與學的過程中,不僅要關注每個微觀的數(shù)學知識點和思想方法的掌握,更要從宏觀角度,把高中數(shù)學看成是由各個內在相互聯(lián)系的要素構成的有機統(tǒng)一體,科學合理地處理好局部與整體的關系,并注重學生數(shù)學能力和情感態(tài)度的培養(yǎng),努力遵循學生終身數(shù)學教育、終身發(fā)展的理念來認識、建設和處理高中數(shù)學課程.把握高中數(shù)學的整體結構,縱向維度,需要在每一個局部數(shù)學知識模塊的教學中,努力體現(xiàn)其在整個高中階段的地位和作用,從歷史的角度,讓學生真實感知其發(fā)現(xiàn)或發(fā)生、論證或發(fā)展、應用等全部過程;橫向維度,需要上升到課程的高度,把高中數(shù)學作為一個整體,讓學生站在整個高中數(shù)學課程的高度,理解和認識每一知識模塊,進而對高中數(shù)學獲得全方位的認知與感悟.

2基于整體把握高中數(shù)學課程理念的教學設計課例

以筆者2015年12月在江蘇省青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中,應邀開設的研討課“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”(蘇教版)為例,通過簡要介紹教學過程,談談筆者所在課題組在教學設計和實踐中對整體把握高中數(shù)學課程理念的探索和體會.

2.1 教材分析

函數(shù)的單調性是高中學生研究函數(shù)的第一個重要性質,是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念,在“必修一”學生已學會運用定義法和圖像法等初等方法研究函數(shù)的單調性.本章學生是在掌握基本初等函數(shù)的性質和學習導數(shù)的概念與運算的基礎上,特別是在了解導數(shù)的幾何意義的前提下,學習運用導數(shù)法去研究函數(shù)的單調性,為進一步研究較為復雜的復合函數(shù)的極值、最值,進而畫出函數(shù)的草圖,討論“恒成立問題”、“存在性問題”、“零點問題”等打下基礎,同時,也有利于幫助學生了解函數(shù)整體的平均變化率與某點處的瞬時變化率的關系,進一步加深對函數(shù)單調性的理解.

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,學生的認知困難主要有兩個方面：(1)導數(shù)與函數(shù)單調性關系的探索發(fā)現(xiàn).高等數(shù)學是用極限思想給予嚴格的證明,而高中階段只能利用導數(shù)的幾何意義,由特殊函數(shù)在同一單調區(qū)間內導數(shù)值的特征來觀察、分析、歸納和總結規(guī)律.如何聯(lián)想到運用導數(shù)來判斷單調性,以及如何發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律對學生而言是非常困難的;(2)由于導數(shù)法是由特殊函數(shù)的圖像結合導數(shù)值觀察發(fā)現(xiàn)的,是否具有一般性,學生還存有疑問,如何進行理論分析、如何處理是一大難點.根據(jù)以上的分析和高中數(shù)學課程標準的教學要求,確定了本節(jié)課的重點和難點.

教學重點導數(shù)在研究函數(shù)單調性中的應用.

教學難點導數(shù)與函數(shù)單調性關系的探究和發(fā)現(xiàn),以及理論分析.

2.2 教學過程簡錄

2.2.1 復習回顧,引入課題

引例試確定函數(shù)f(x)=x2-4x+3的單調增區(qū)間和減區(qū)間.

問題函數(shù)單調性是如何定義的?如何判斷函數(shù)的單調性?

教師小結圖像法(依性作圖、以圖識性),定義法(取值、作差、變形、斷號、定論).

設計意圖以實際數(shù)學問題為載體,通過解決問題引導學生復習回顧已掌握的證明函數(shù)單調性的初等方法.

問題能利用這些初等方法討論研究所有函數(shù)的單調性嗎?大家能否找出一些反例?

學生不能.例如：含有三次以上冪函數(shù),或含有對數(shù)函數(shù),或含有三角函數(shù)等的函數(shù).

教師根據(jù)同學們的意見,列舉其中三個函數(shù)：

設計意圖引導學生針對在學習過程中遇到的困難,培養(yǎng)好奇心,探究新方法,導入新課.由學生隨意推薦函數(shù),既可以激發(fā)學生學習的興趣,又可以初步感受新的方法研究函數(shù)單調性更具有一般性和有效性.

2.2.2 探索歸納,發(fā)現(xiàn)結論

問題運用現(xiàn)代多媒體技術通過幾何畫板可以試著畫出上述函數(shù)的圖像,根據(jù)上述函數(shù)的圖像,能判斷函數(shù)的單調性嗎?

圖1

圖2

圖3

學生從圖1可以發(fā)現(xiàn),函數(shù)(1)可以,而從圖2、3,不能確定函數(shù)(2)、(3)的單調性,因為難以確定單調區(qū)間之間的“分點”.

設計意圖由于還未學習極值點的判斷,那么對于連續(xù)函數(shù),學生的困難是難以確定單調區(qū)間之間的分界點—極值點的確切位置,這里激起學生的疑問為后面進一步研究極值點埋下伏筆.通過討論,使學生感受到用函數(shù)圖像判斷函數(shù)單調性雖然比較直觀,但有時不夠精確,還需要尋找其它方法進行嚴密化、精確化的研究和嚴格的代數(shù)邏輯推理.

問題除了初等方法,還有其它的更為有效的方法研究這些復合函數(shù)的單調性嗎?函數(shù)單調性是對函數(shù)變化趨勢的一種刻畫,高中數(shù)學還有什么知識也可以刻畫函數(shù)變化的趨勢?又是如何刻畫的?

學生導數(shù).函數(shù)的導數(shù)主要刻畫了函數(shù)在每一點處的瞬時變化率,反映了函數(shù)上升或下降的陡峭程度.

問題能利用導數(shù)去研究函數(shù)的單調性嗎?導數(shù)的幾何意義是什么?函數(shù)在不同的單調區(qū)間內,伴隨著函數(shù)圖像上每一點處切線的變化,其導數(shù)值具有什么相應特征?

學生活動利用幾何畫板,對上述三個函數(shù)的圖像,不斷變化切線的位置,師生共同探究,分組討論,猜想出導數(shù)法的一般結論,板書結論.

猜想對于函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間I上,

(1)如果f′(x)＞0,那么f(x)為區(qū)間I上的增函數(shù);

(2)如果f′(x)＜0,那么f(x)為區(qū)間I上的減函數(shù).

設計意圖通過實例,借助幾何圖形的直觀,觀察特殊函數(shù)圖像切線的變化,引導學生觀察、分析、猜想和提煉出導數(shù)與函數(shù)單調性的密切關系,從而發(fā)現(xiàn)研究函數(shù)單調性的又一種方法—導數(shù)法,培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納總結能力.

問題雖然上述三個函數(shù)是由大家隨意找出的,但能代表所有連續(xù)可導函數(shù)嗎?也就是說上述結論具有一般性嗎?

教師指出上述結論是由上述三個特殊的函數(shù)圖像得到的,只是一種猜想,是否具有一般性,還需要嚴格的數(shù)學證明.

問題對任意連續(xù)可導函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上f′(x)＞0恒成立,幾何意義是什么?

學生函數(shù)圖像在區(qū)間I上任意一點處切線的斜率都大于零.

問題要證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調遞增,根據(jù)定義就是要證明什么?

學生1 任取x1,x2∈I,當x1＜x2時,都有f(x1)＜f(x2)成立.或任取 x1,x2∈ I,當 x1＞ x2時,都有f(x1)＞f(x2)成立.

學生2 任取x1,x2∈I,都有成立.

學生3 函數(shù)圖像在區(qū)間I上連結任意兩點割線的斜率都大于零.

問題如果圖像連續(xù)的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上f′(x)＞ 0恒成立,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調遞增,你能簡單說明理由嗎?

學生活動分組討論.從圖4發(fā)現(xiàn),讓經(jīng)過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的 割 線平行移動,當函數(shù)圖像平滑、連續(xù)不間斷時,則必然有一直線與函數(shù)圖像相切,設切點為(x0,f(x0)).

圖4

教師雖然上述證明過程還不是十分的嚴密,但已非常接近于嚴格的數(shù)學證明了,大家發(fā)現(xiàn)了連續(xù)可導函數(shù)在區(qū)間上整體平均變化率與區(qū)間內某點處局部瞬時變化率的關系.等式就是高等數(shù)學中的拉格朗日定理,法國數(shù)學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》的第六章提出了該結論,并進行證明,感興趣的同學課后可以做進一步的研究.上述結論就是導數(shù)在研究函數(shù)中的重要應用.

設計意圖使學生明確猜想只是一種合情推理,判斷是否正確還必須經(jīng)過嚴格的推理證明.對證明上述結論的高等數(shù)學中的拉格朗日定理,采用中學生能夠接受的方式,用直觀的方法來分析和說明,培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力和意識,激發(fā)學生進一步學習高等數(shù)學的興趣和欲望.

問題該結論反之成立嗎?能舉反例嗎?

學生1 成立.學生2不成立.

對于學生錯誤的回答,引導學生舉反例說明.

例如雖然函數(shù)f(x)=x3在(-∞,+∞)上單調遞增,但f′(0)=0,所以逆命題不真.

設計意圖把對導數(shù)法的認識由感性上升到理性的高度,第二次強化了導數(shù)法研究函數(shù)單調性的一般性,培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力.

2.2.3 掌握方法,適當延展

例1 討論確定下列函數(shù)的單調區(qū)間：

針對學生可能出現(xiàn)的問題,組織學生討論、交流.強調單調區(qū)間的區(qū)間形式、不能取并集等注意點.第(1)題教師板書規(guī)范解題過程;第(2)、(3)小題學生板書.

引導學生分組討論,歸納導數(shù)法討論函數(shù)單調性的基本步驟：確定定義域,求導數(shù),解不等式,確定單調區(qū)間.

練習1.利用導數(shù)法研究函數(shù)f(x)=x2-4x+3的單調性.

設計意圖掌握導數(shù)法研究函數(shù)單調性的方法和步驟,并與初等方法進行對比,研究對象從連續(xù)函數(shù)向不連續(xù)函數(shù)推廣,讓學生第三次感受導數(shù)法對研究函數(shù)單調性的易操作性、一般性和有效性.同時滲透極限的思想,為今后利用函數(shù)性質畫出函數(shù)圖像、研究函數(shù)的其它性質打下基礎.

2.2.4 歸納小結,提高認識

問題本節(jié)課你感受最深的是什么?

學生活動交流本節(jié)課學習過程中的體會和收獲.

課外探究利用函數(shù)單調性,畫出函數(shù)的草圖.

3幾點體會

在整體把握高中數(shù)學課程的理念下進行教學設計,最直接、最基本的作用是有利于學生構建知識,在此基礎上,進而可以促進學生達成三維目標,最終實現(xiàn)學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和形成.

3.1 有利于學生進行知識建構

高中階段的導數(shù)在研究函數(shù)單調性方面起承上啟下的重要作用,考慮本節(jié)課在教學大綱中的地位和分量,結合教材特點以及學生認知水平,教師必須站在課程論的高度,運用整體把握的理念進行教學設計,以便于學生更容易自主地建構知識網(wǎng)絡.

本節(jié)課建構的基本環(huán)節(jié)：

皮亞杰認為,學習過程是學習者建構自己的知識經(jīng)驗的過程,而建構在于學習者通過新舊經(jīng)驗的相互作用來發(fā)展自己的知識經(jīng)驗.教師的作用就是要為學生的建構提供載體和支撐,必要時還需加以引導和幫助.因此,教師需要在整體把握高中數(shù)學課程的理念下,充分尊重學生的認知規(guī)律、心理和生理發(fā)展特點,遵循高中數(shù)學內在的知識結構和邏輯思想體系,進而體現(xiàn)高中數(shù)學課程的整體性、規(guī)律性、結構性和連續(xù)性,抓住數(shù)學的內涵和外延,讓學生增強對新舊知識的能動性思考,經(jīng)歷有趣的數(shù)學同化與順應過程,使學生的數(shù)學知識和能力持續(xù)呈現(xiàn)螺旋式上升,從而讓學生的知識結構更加有效和穩(wěn)固.

3.2 有利于學生達成三維整體目標

數(shù)學課程的“三維目標”往往需要跨學期、跨學年的長期滲透和培養(yǎng),不可能只通過一節(jié)課全部實現(xiàn),但“三維目標”的實現(xiàn)又離不開課堂教學,教師必須對高中三年數(shù)學課程進行整體規(guī)劃,并細化、分解、落實到每一學期、每一單元、每一節(jié)課,努力以每一節(jié)課為載體和主渠道,積極嘗試,逐步積累,最終整體實現(xiàn)“三維目標”.

本節(jié)課通過引導學生研究自己遇到的實際數(shù)學問題、學習困難,利用幾何畫板借助函數(shù)圖像直觀地探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系,初步掌握研究函數(shù)單調性的導數(shù)方法.讓學生逐步經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程,感受和體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的一般歷程.通過對導數(shù)與函數(shù)單調性關系的探究,滲透數(shù)形結合的思想方法,培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣.通過初等方法與導數(shù)方法在研究函數(shù)單調性過程中不斷的比較,先后完成對導數(shù)法研究函數(shù)單調性的三次層層遞進式的認識,使得學生不斷深入對導數(shù)和單調性概念的理解和認識,逐步體會到導數(shù)方法在研究函數(shù)單調性中的一般性和有效性,引起學生學習研究數(shù)學的興趣,助推學生真正走進高中數(shù)學,感受數(shù)學的應用和文化價值,培養(yǎng)學生嚴格的邏輯思維能力、科學的思想和精神.

圖5 認知系統(tǒng)三重圓模型

整體把握學校課程,日本學者石井英真提出了如圖5所示的“認知系統(tǒng)三重圓模型”[2],即(1)知識的習得與鞏固(知曉水準);(2)知識的意義理解(理解水準);(3)知識的有意義運用與創(chuàng)造(運用水準).與此相一致,《江蘇省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試說明》對數(shù)學知識的考查所提的要求分為三個層次,依次為：(1)了解.對知識的含義有基本的認識,并能解決簡單問題;(2)理解.對知識有較深刻的認識,并能解決基本綜合性的問題;(3)掌握.系統(tǒng)地把握知識的內在聯(lián)系,并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.重點強調了數(shù)學基本能力和綜合能力考查的重要性,突出了數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想方法以及數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)考查.由于學生是課堂教學的主體,學生的發(fā)展才是教育的最終目標,因此,教師需要在整體把握高中數(shù)學課程的理念下進行教學設計,除了考慮上述數(shù)學知識層面,更應關注學生的情感、態(tài)度和價值觀教育,努力發(fā)揮數(shù)學課堂的教育功能.

3.3 有利于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

鐘啟泉教授認為,核心素養(yǎng)指的是同職業(yè)上的實力與人生的成功直接相關的涵蓋了社會技能與動機、人格特征在內的統(tǒng)整的能力,其核心在于重視運用知識技能、解決現(xiàn)實課題所必需的思考力、判斷力與表達力及其人格品性[2].羅增儒教授則對具體的中學數(shù)學核心素養(yǎng)進行了界定：是具有數(shù)學基本特征、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力,是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)[3].基于核心素養(yǎng)的課程發(fā)展直面的第一個挑戰(zhàn)是把握學校課程的整體結構,對數(shù)學教學進行整體設計.

數(shù)理學科群,應該聚焦認知方略與問題解決能力,這需要教師在問題情境中借助問題解決的實踐培育起來[2].本節(jié)課,筆者對問題情境進行了整體的設計,由簡單到復雜,層層遞進,首先提出研究二次函數(shù)的單調性,讓學生復習初等方法;其次引導學生尋找自己遇到的運用初等方法無法研究單調性的一些復合函數(shù),啟發(fā)學生探尋、發(fā)現(xiàn)、驗證導數(shù)法;然后,再讓學生嘗試運用導數(shù)法研究連續(xù)函數(shù)的單調性;最后研究不連續(xù)函數(shù)的單調性.讓學生在真實的數(shù)學情境中,在自己切身遇到問題時,學會努力地觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)、猜想和證明,使學生即使遇到的問題不是明顯的或直接的數(shù)學問題,也能夠從數(shù)學的角度去認識問題、以數(shù)學的態(tài)度去思考問題、用數(shù)的方法去解決問題[3],落實培養(yǎng)即將頒布的《普通高中數(shù)學課程標準(修訂稿)》中明確提出的高中階段的六種核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析,從而有助于保障每一個學習者的知識建構與人格建構.

[1]鐘啟泉.基于核心素養(yǎng)的課程與發(fā)展：挑戰(zhàn)與課題[J].全球教育展望,2016(1).

[2]石井英真.何謂新時代的學力和學習[M].東京：日本標準股份公司, 2015：22.

[3]羅增儒.從數(shù)學知識的傳授到數(shù)學素養(yǎng)的生成[J].中學數(shù)學教學參考,2016(7)：2—7.