說謊者悖論中的T-模式

趙 震

(安徽大學 哲學系，合肥 230601)

說謊者悖論中的T-模式

趙 震

(安徽大學 哲學系，合肥 230601)

T-模式是塔斯基提出的與真有關的一個重要模式，即“x 是真的當且僅當 p”，其中 p 是一個句子，x 是這個句子的名字。因其非常符合“真”這個詞的直觀而成為現代邏輯真理論的一條重要規則。說謊者悖論的產生都與T-模式或其等價式有關。所以研究說謊者悖論必須研究T-模式。T-模式包含兩個關鍵詞：“當且僅當”和“真”。文章討論了這兩個關鍵詞在說謊者悖論及其解悖方案中的理解，以及與T-模式有關的另一條規則“(IP)規則”。

說謊者悖論；T-模式；(IP)規則；真理論

說謊者悖論是一類很有意思的悖論，其產生原因尚不能精確確定，但是似乎都與T-模式有關。T-模式是說謊者悖論產生的重要原因，本文主要討論說謊者悖論及其解決方案中的T-模式。

一、說謊者悖論的例子

首先看一些說謊者悖論的例子。說謊者悖論的例子有很多，這里介紹幾個典型代表：

例(1) 不是真的。

(例1)

這個句子的真值是什么？如果它是真的，根據(1)自身它是假的；如果它不是真的，根據(1)它是真的。用邏輯的方法可以把這個推理描述如下：

1.(1) = (1)不是真的。 (已知)

2.(1)不是真的。 (假設)

3.(1)不是真的不是真的。 (1,2,等值置換)

4.并非 (1) 不是真的。 (3,(T)*(T)是指T-模式，下同。,等值置換)

5.(1) 不是真的并且并非 (1) 不是真的。

6.(1) 是真的。 (2-5,歸謬法)

7.(1) 不是真的是真的。 (1,6,等值置換)

8.(1) 不是真的。 (7,(T) )

9.(1) 是真的并且 (1) 不是真的。

上面這個直接帶有自指的說謊者悖論被稱為“簡單的說謊者”，這個例子還有一些變體，它們沒有直接的自指，但是有間接的自指，比如下面這個例子：

A:B不是真的。

B：A是真的。

(例2)

使用相似的推理可以得出：如果A是真的，那么B不是真的，因而A不是真的；如果A不是真的，那么B不是真的不是真的，所以B是真的，因此A是真的。所以A是真的當且僅當A不是真的。同樣的推理也可以得到B是真的當且僅當B不是真的。

上面的幾個例子的一個典型特點就是都包含自指和否定，這似乎說明說謊者悖論都與這二者有關，但是下面的庫里 (H.Curry) 悖論就沒有否定，至少表面上沒有否定。

令K是后面的這個句子的縮寫：

True(〈K〉)→地球是平的。

(例3)

1.K?(True(〈K〉)→⊥) (K 的構造)

2.True(〈K〉)?(True(〈K〉)→⊥)

(1,(T),等值置換)

3.True(〈K〉)→(True(〈K〉)→⊥)

(2,?-)

4.(True(〈K〉)(True(〈K〉))→⊥

(3,一階邏輯定理)

5.True(〈K〉)→⊥

6.(True(〈K〉)→⊥)→True(〈K〉)

(2,?-)

7.True(〈K〉) (5,6,MP)

8.⊥ (5,7,MP)

從上面的例子看，雖然不是所有的說謊者悖論都包含否定(至少表面上不包含否定)，但是它們都包含自指。這讓人感覺似乎說謊者悖論必須有自指。但是，并非如此，下面這個雅布羅悖論的例子將表明可以不使用自指也能構造出說謊者悖論。

設想一個無窮的句子序列 (S1),(S2),(S3)……每一個句子說的都是接下來的句子都是不真的：

(S1) 任給k>1,Sk是不真的

(S2) 任給k>2,Sk是不真的

?

假設有Sn是真的，如果Sn說的是真的，那么任給k>n，Sk是不真的。因此(a)Sn+1是不真的，并且(b)任給m>k+1，Sm是不真的。根據(b)，Sn+1所說的恰是這種情況，而這與(a)相矛盾。所以，任給n，序列中的句子Sn是不真的。但是這又恰說明任給n，Sn是真的。因此，對于任何n，Sn是真的當且僅當 Sn不是真的。很明顯，這個例子里并沒有自指，但是，依然產生了與“真”有關的悖論。這個悖論表明我們可以不需要自指而僅需要非良基性就能構造出悖論。

從上面的例子中可以看出，說謊者悖論的產生往往伴隨著自指、否定、T-模式，以及一階邏輯[1]。但是，其中自指不是語義悖論產生的必要條件，因為有不含自指的雅布羅悖論；否定也不是語義悖論產生的必要條件，因為有不含否定(至少表面上沒有否定)的庫里悖論；一階邏輯也不是語義悖論產生的必要條件，因為嚴格地說只是某些相關推理規則才會在悖論的推導過程中起作用，而這些推理規則并不一定只屬于一階邏輯，在別的邏輯中也可能有相同的有效推理[2]。而且，即使換了規則也還有可能用別的規則推出悖論。而T-模式(或者它的等價式)則是所有語義悖論產生的必要條件，所有說謊者悖論的構造都需要用到T-模式(或其等價式)。下面討論T-模式。

二、T-模式中的“當且僅當”

T-模式這個詞最初是塔爾斯基在其著名的論文TheSemanticConceptandtheFoundationsofSemantics中提出的:“……我們形成這個句子的名字，并且用另一個字母，比如說‘x’，代替它?，F在我們問‘x 是真的’和 ‘p’ 這兩個句子之間的邏輯關系是什么。很明顯，從我們有關真的基本概念的觀點看，這兩個句子是等價的。換句話說，下面的等價式是成立的：

(T) x 是真的當且僅當 P

我們把任何這樣的等價式(p 被‘真’這個詞所指稱的語言中任何句子所代替，x 被這個句子的名字所替代)都稱作‘(T)型等價式’?！盵3]這里，塔爾斯基并沒有直接提出T-模式這個詞，但是接下來他又指出：“應該強調的是，表達式(T)自身(它并不是一個句子，而只是一個句子模式)以及(T)型的任何特例都不能被當做真的定義。我們只能說用具體的句子替代P、用這個句子的名字替代 x 所得到的每一個(T)型等價式都只被當做真的一個部分定義，這解釋了這一個具體句子的真之所在。在某種意義上，普遍定義需要所有這些部分定義的邏輯合取?！盵3]從這里可以看出，T-模式本身并不是一個句子，而是類似于邏輯中公理模式的東西。

T-模式并不是對象語言中的模式，而是元語言中的模式，P是句子P在元語言中對應的翻譯，x 是P在元語言中的名字。T-模式的例子比如著名的“‘雪是白的’是真的當且僅當雪是白的”。所有具有T-模式這種模式的句子被稱作對象語言在元語言中的 T-雙值條件句 (T-biconditionals)，簡稱T-雙值條件句。

上面是用自然語言表達的T-模式，在形式語言中可以有更嚴格的表述，比如通常用哥德爾編碼來表示一個句子的名字，用T表示真謂詞，這樣T-模式就可以表示為：

當然這只是T-模式的形式表述的一種方式，而不是唯一方式。其他的表述方式可能與這種方式不一樣，但是它們的本質都是一樣的，即“任給句子 P，x 是真的 iff.P(其中，x 是句子 P 的名字)”這個思想。用塔爾斯基自己的話說就是：“當我們可以斷定或拒絕‘雪是白的’的時候，必須同時斷定或拒絕‘“雪是白的”是真的’。”[3]

其實，在塔爾斯基那里，這個T-模式是不能被滿足的，否則可以構造出說謊者悖論。為此要區分元語言和對象語言，并且把T-模式分割成可數無窮多個的Tn-模式，而且真正被滿足的是這可數無窮個Tn-模式。關于T-模式(或者Tn-模式)的代入例中“當且僅當”有兩類不同的理解[4]，一類是語義上的理解，一類是語形上的理解。語義的理解又有兩種理解：

(1)任給Ln中句子φ，σn+1(Tn(t))=1 iffσn(t)=「φ?并且σn+1φ,其中「φ?是Lm(m

(2)任給Ln中句子φ，σn+1) iff.σnφ。其中σn+1是元語言Ln+1的模型，σn是對象語言Ln的模型。這也就是說，“φ是真n的”在Ln+1中是真的當且僅當有一個Ln的模型σn使得φ在σn中解釋為真。這里需要兩個模型，一個是元語言的模型σn+1，一個是對象語言的模型σn。

語形的理解也可以有兩種，為此先假定一個元語言Ln+1的理論S:

塔爾斯基本人對這里的“當且僅當”的理解是語形意義上的第(2′)種理解。

三、T-模式中的“真”

關于T-模式中的“T”也有不同的意義和理解方式，下面將一一介紹。

“真”這個詞在自然語言(以英語為例)中有兩種用法，一是作為謂詞，比如“Whatyousaidistrue”；一是作為算子，比如 “Itistruethat…”后一種用法類似于“可能”或“必然”等模態詞。通常都把“可能”“必然”等詞處理為算子，并進而發展出很多理論來。“真”這個詞顯然也是可以這樣處理的，而且由此可以得到與算子真有關的T*-模式如下：

T*(φ) ?φ

這里的算子T*其實就相當于一個同一算子，在這種情況下的T*-模式不會導致說謊者悖論，因為算子只能應用于句子(而且是先在的句子)而不能應用于詞，從而既可以避免自指的發生又可以避免非良基的情況出現。一般而言，說謊者悖論中用到的T-模式中的 “T” 是謂詞意義上的真，而不是算子意義上的真*真謂詞和真算子的區分在以往的討論中也有過出現，比如費弗曼 (S.Feferman) 在Toward Useful Type-Free Theories. I這篇文章中就提到過。。

雅布羅認為(謂詞意義上的)真這個詞有強和弱兩層意思[5]。弱的真觀念是指句子φ和“φ是真的”在所有情況下都有相同的值。即使當“φ是真的”有既不真也不假的值時φ也是既不真也不假，或者當“φ是真的”是既真又假時φ也是既真又假。反過來，φ 取任何值“φ是真的”也取相同的值。強的真觀念是指“φ是真的”和φ之間的取值并不是完全一樣的，比如，當φ的取值是既不真也不假的時候“φ是真的”可能是取值為假。一般來說，弱的真觀念比強的真觀念包含更多的信息，并且當語言的邏輯資源足夠豐富的時候，弱的真觀念可以定義強的真觀念。說謊者悖論中用到的T-模式中的“T”一般是弱的真觀念意義上的真。

此外，“真”這個詞還有絕對意義和相對意義之分。絕對意義上的真是指相對于現實世界或者反映現實世界的模型來說的真；而相對意義上的真是指相對于通常意義上的模型是真的，即“模型中的真”。與絕對意義上的真相對的現實世界(或者反映現實世界的模型)的定義域不是一個集合，而是一個真類；與相對意義上的真相對的模型的定義域是一個集合。這里所說的T-模式中的“T”就其本意來說是絕對意義上的“真”，但是因為這種意義上的“真”會導致悖論，所以作為一種解悖方案中的T-模式中的“真”卻是相對意義上的真，即相對于某個模型類來說的T-模式。說謊者悖論中的 T-模式中的“T”一般來說有絕對意義上的“真”也有相對意義上的“真”。

需要強調的是，相對于模型的真和在這個模型中語義值為 t并不是必然等同的。雖然在大多數邏輯中都是把一個句子在這個模型中的語義值為 t定義為這個句子在這個模型中為真，但是也有例外，比如普瑞斯特 (Priest) 的方案中不僅語義值為 t的句子是真的，而且有第三值(p)的句子也被當做是真的，即t和p都是LP中的指定值。

一般來說，構造說謊者悖論的時候用到的T-模式往往是謂詞意義上的、強的、絕對或相對意義上的“真”[6]。而各種解悖方案中的T-模式中的“真”則是上面說的謂詞意義上的、弱的、相對意義上的“真”。

四、T-模式與(IP)規則

與T-模式有關的另一個重要概念是(IP)規則，即：如果句子C和D幾乎一樣，只是在一個句子中出現句子“A”的地方另一個句子中出現“T(「A?)”，那么可以從C推出D并且從D推出C。

在經典邏輯中IP規則與T-模式是等價的，但是同時它們也是有問題的。最大的問題就是可能導致悖論，比如說謊者悖論。T-模式一經提出就被當做是體現了“真”的某種本質。既然T-模式如此重要，但又可能導致悖論，所以絕大多數解悖方案所要做的一個很重要的工作就是如何在盡量多地保留T-模式的本質的前提下解決悖論。當然這只是“大多數”，也有“少數”解悖方案是直接修改或間接修改T-模式。而在解決說謊者悖論的處理過程中，往往為了一些目的或處于某些考慮而不能保證二者始終等價。

在各種解決說謊者悖論的方案中T-模式與(IP)規則往往不能同時成立。在經典的真理論(即塔爾斯基的真理論)中二者都不成立。有的真理論中T-模式不成立但(IP)成立，比如克里普克的理論；在有的真理論中(IP)不成立但T-模式成立，比如普瑞斯特的理論；而在有的理論中二者(在某種意義上)都成立，比如菲爾德 (H.Field) 的理論。菲爾德把包含(IP)和T-模式的真理論稱作素樸真理論[7]或經典真理論[8]。

在塔斯基的真理論中，T-模式和(IP)規則都不成立，成立的是無數多個Ti-模式和與之相應的(IP)規則。塔斯基的理論保留了足夠多的推理能力，但是卻損失了一些表達力，比如不能自己說自己真或不真。在克里普克的極小固定點真理論中，(IP)規則成立，但是T-模式并不成立；其代價是推理能力和表達力都變弱，比如同一律、排中律，以及由之推出的其他一些一階邏輯定理都不再成立。另外，在其中無法表達排除性否定。普瑞斯特的雙面真理論可以使T-模式成立，但是卻不能使(IP)規則成立；其代價是推理能力變弱，比如MP規則、矛盾律、爆炸律以及由之推出的其他一階定理都不再有效；菲爾德的真理論可以使T-模式和(IP)規則同時成立，但是它的T-模式中的“當且僅當”已經不再是由否定和析取定義的等值，而且他的方案有極大的特設性。一個既能使T-模式和(IP)規則同時成立，又能保留足夠強的推理能力和表達力的真理論依舊尚未出現。

[1] 趙震.說謊者悖論中的自指與否定[J].重慶理工大學學報(社會科學).2016.30(1):27-30.

[2] 陳曉平.語義悖論、直觀悖論和決策悖論——關于悖論的分類和解決[J].重慶理工大學學報(社會科學).2016,30(9):6-13.

[3] TARSKI A.The semantic concept and the foundations of semantics[J].Philosophy and Phenomenological Research,1944,4(3):344-361.

[4] HALBACH V.Tarski hierarchies[J].Erkenntnis,1995,43(3):339-367.

[5] YABLO S.Truth and reflection[J].Journal of Philosophical Logic,1985,14(3):297-349.

[6] 胡義昭.作為真值談論句的說謊者[J].重慶理工大學學報(社會科學).2016,30(12):13-17.

[7] FIELD H.Saving truth from paradox[M].New York:Oxford University Press,2008:12.

[8] FIELD H.Saving the truth schema from paradox[J].Journal of Philosophical Logic,2002,9(1):6-7.

(責任編輯 張佑法)

The T-Schema in the Liar Paradox

ZHAO Zhen

(Department of Philosophy, Anhui University, Hefei 230601, China)

The T-schema, which is introduced by Tarski, is a very significant rule of modern truth theory. It is that “x is true if and only if p”, where p is a sentence and x is the name of the sentence. The T-schema corresponds very well to the common sense of the word “true”, so it is widely discussed in the study of the Liar paradox and modern truth theory. The liar paradox is related to the T-schema or its equivalent form. There are two key words in the T-schema: “if and only if” and “true”. This paper mainly talks about how to understand the two concepts in the Liar paradox and its solutions. Besides, the relationship between the T-schema and the (IP) rule will also be discussed in this essay.

the liar paradox; T-schema; (IP) rule; truth theory

2017-02-07 基金項目：安徽省高校人文社會科學研究項目“說謊者悖論與形式真理論”(SK2016A0082)；安徽大學博士科研啟動經費項目“悖論相關問題研究”(J01001319，子項目代碼J10113190101)；安徽大學哲學系“固本強基”資助項目“當代分析哲學家邏輯思想研究”

趙震(1984—)，男，河北滄州人，講師，博士，研究方向：悖論與真理論。

趙震.說謊者悖論中的T-模式[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2017(3):20-24.

format：ZHAO Zhen.The T-Schema in the Liar Paradox[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(3):20-24.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.03.004

B81

A

1674-8425(2017)03-0020-05