平面幾何入門學習困因分析及其教學策略

廣東省佛山市南海區(qū)西樵鎮(zhèn)樵北初級中學(528211) 許剛

平面幾何入門學習困因分析及其教學策略

廣東省佛山市南海區(qū)西樵鎮(zhèn)樵北初級中學(528211) 許剛

我們先來看一道題,這是由北師大版教材七年級下冊第四章《三角形》第一節(jié)的課后練習題.

如圖,一艘輪船按箭頭所示方向行駛,C處有一燈塔,輪船行駛到哪一點時距離燈塔最近?當輪船從A點行駛到B點時∠ACB的度數(shù)是多少?

對于剛接觸幾何表達的七年級學生來說,以下解答比較常見.

因為∠B=180°?70°= 110°,又因為∠A+∠B+∠C= 180°,所以∠C=180°?30°?110°=40°.

圖1

在解答過程中,我們發(fā)現(xiàn)該學生已經掌握了一些基本的幾何邏輯推理的方法,掌握了基本的知識點,如平角的定義、三角形內角和定理等.但我們也發(fā)現(xiàn)該學生在一些基本的幾何符號表示和推理的嚴謹性方面仍然出現(xiàn)疏漏.如∠B的表示應該寫為∠ABC,∠C的求解過程應寫為∠C=180°?∠A?∠ABC=180°?30°?110°=40°等.

在教學中,對于平面幾何剛入門的學生來講,估計會有相當一部分人會犯如上的錯誤.在平面幾何入門學習中,由于學生的身心發(fā)展、思維定勢、以及幾何本身的符號轉換、推理嚴謹?shù)纫蛩氐挠绊?我們發(fā)現(xiàn)學生在學習中會遇見較多的困難,會對數(shù)學的學習產生畏難情緒,甚至厭倦.作為教學工作者我們應該如何調整我們的教學策略,讓學生在平面幾何入門階段能順利開展學習,對數(shù)學的學習特別是幾何的學習保留濃厚的興趣呢?

一.平面幾何入門階段的學習困因分析

1.符號意識和抽象思維欠缺,不能準確對幾何圖形進行符號表述.

按照新課程標準要求,在小學階段,對于圖形的認識只需要能用口頭語言進行簡單描述.比如:這里有一條線段,它的長度是3cm.這種認識只需要文字表達和數(shù)量上的認識.在初中階段,對于線段、直線和射線的表示,要求用大寫字母和小寫字母進行表示,并且在表示方式中對于大小寫的運用,字母順序等方面都有嚴格的規(guī)定.符號的運用不僅代表了圖形,在一定程度上還體現(xiàn)了圖形的一般性質.這一方面是學習數(shù)學的規(guī)范要求,另一方面也是為了向更深層次的學習打下基礎,比如負數(shù)的意義、高中階段的向量等.

字母表示一方面要求學生掌握表示的方法,更重要的是要求學生能將圖形轉化為字母,這里有一個抽象和符號化的過程.是幾何入門的基礎,也是學生思維發(fā)展的需要.但我們應要認識到,學生的思維發(fā)展是有差異的,學生的接受水平也有差異,因此在教學中我們會發(fā)現(xiàn)各種各樣的表示錯誤.初學者中尤其表現(xiàn)在線段、直線、射線的表示,角的表示.

如線段表示中的幾種常見錯誤:線段ab,線段A等;另一中錯誤體現(xiàn)在幾何作圖中的不規(guī)范.如:如下圖,畫直線AC,射線BA,線段BC.

圖2

2.生活經驗缺乏,難以產生應有的幾何直觀.

希爾伯特(Hilbert)在其名著《直觀幾何》一書中所談到的,“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題;可以幫助我們尋求解決問題的思路;可以幫助我們理解和記憶得到的結果”.幾何直觀在學習數(shù)學中的價值由此可見一般.

圖3

圖4

在七年級《標準》中要求,通過圖形的抽象、性質探討,掌握圖形與幾何的基礎知識、基本技能,進一步發(fā)展空間概念,初步建立幾何直觀.但學生生活經驗的多少對于幾何直觀的建立有著較大的影響.

比如七年級上冊第四章第4節(jié)“做一做”中設計活動:如下圖,請估計∠AOB和∠DEF的大小.

學生可能比較容易比較兩個角度的大小關系,但對于其數(shù)量的估計會有一定難度.這要求學生要有一定的生活經驗和角度度量的實踐經驗作為基礎,有一定的幾何直觀感受,才能大致估計出該兩個角度的大小.

再比如,在七年級上第四章有這樣一道習題.

圖5

圖6

如圖5,∠AOC和∠DOB都是直角.

(1)如果∠DOC=28°,那么∠AOB的度數(shù)是多少?

(2)找出圖5中相等的角.如果∠DOC/=28°,他們還會相等嗎?

(3)若∠DOC越來越小,則∠AOB如何變化?若∠DOC越來越大,則∠AOB又如何變化?

(4)在圖6中利用能夠畫直角的工具再畫一個與∠FOE相等的角.

學生在解題過程中,對于該題圖形中角之間的關系模糊不清.∠AOC、∠DOB與∠DOC之間有何關系?∠AOB與∠DOC之間有何關系?學生缺少角度重疊的生活經驗或空間想象,所以對于角度的和差關系不能一目了然.不能建立角度之間的數(shù)量關系,第3問中∠DOC的變化對于∠AOB的影響就更加難以想象了.

就義務教育學生心理發(fā)展特征來看,借助直觀圖形支撐數(shù)學的抽象思維,逐步發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)是符合學生認知規(guī)律的.

3.幾何語言表達的符號意識欠缺.

受小學算術慣性思維影響,學生在初步接觸幾何推理或計算的時候,仍然只關注數(shù)字,缺少符號意識,不能將思維過程用符號表示出來,顯性化.

圖7

如:已知點c是線段AB上一點,D是AC的中點,BC= 4cm,DB=7cm,求AB的長度.學生常見解答為:AB= (7?4)×2+4=10答:AB的長度為10cm.

顯然,該學生是明白題意,了解中點的概念等知識點,也明白其中的線段和差關系和推理過程,但卻不能將推理用幾何語言表述.數(shù)學語言的學習對數(shù)學思維能力的培養(yǎng)具有十分重要的意義.數(shù)學語言及其使用,是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式.初學幾何的學生常常會受到小學圖形學習的初等要求影響,在幾何學習中,缺少文字語言、圖形語言和符號語言的轉換意識.

4.基本概念、公理和定理的學習缺少透徹理解;

在日常教學中,部分教師為了更加快速講授知識點,采取一些簡單直接的方式,如背誦、模仿等進行教學,沒有提供足夠的時間和空間讓學生去感受、實踐、理解知識,從而造成學生對知識的一知半解,不能有效遷移.

比如,學生在學習“同位角相等,兩直線平行”的時候,鑒于其逆定理也成立,因此在學生心目中容易形成“同位角相等”的錯覺,忽略“兩直線平行”的充要條件.

鑒于學生在平面幾何入門學習中可能會涉及到的一些困難和障礙,我們如何進行教學方式的調整和教學意識的轉變來幫助學生呢?

二.平面幾何入門的教學策略

1.選取盡量多的生活背景,培養(yǎng)學生從生活物體中抽象幾何圖形的能力,激發(fā)學生學習幾何的興趣,培養(yǎng)空間觀念;

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論指出,兒童發(fā)展的兩種水平:一種是已經達到的發(fā)展水平;另一種是兒童可能達到的發(fā)展水平,表現(xiàn)為“兒童還不能獨立地完成任務,但在成人的幫助下,在集體活動中,通過模仿,卻能夠完成這些任務”.這兩種水平之間的距離,就是“最近發(fā)展區(qū)”.把握“最近發(fā)展區(qū)”,能加速學生的發(fā)展.

選取學生比較熟悉的生活背景作為學習的基點,在此基礎上進行活動、探索、歸納,從而形成概念或幾何事實,這不僅能最大限度激發(fā)學生的學習積極性,也符合學生發(fā)展的認知規(guī)律.

如,在學習比較線段大小的時候,可以從比較兩棵樹木的高矮、兩支鉛筆的長短等入手;在學習角的概念時,可以出示靜態(tài)的角“剪紙”或動態(tài)的角“建筑的塔架”等.

2.加強識圖、讀圖、畫圖訓練,培養(yǎng)學生的幾何直觀;

幾何學習的難點不僅在于演繹推理,而且在于數(shù)學語言的三種形式(文字語言、圖形語言和符號語言)的轉換.在開始幾何學習的時候,教學中應該加強三種語言轉換的滲透,加強識圖、讀圖、畫圖訓練.

圖8

圖9

如圖8,AB//DE,AB=DE,BE=CF,請判斷△ABC與△DEF是否全等.

在教學中,教師可以引導學生將題目中的條件用適當?shù)姆绞綐俗⒃趫D中,如圖9.這樣不僅有效將數(shù)學語言轉化為圖形語言,也讓條件在圖中更加形象,便于學生進行分析.這是學習幾何的一種良好習慣.

3.加強幾何語言運用的示范教學;

學習除了需要探索體驗,思考歸納外,對于初學者來說,在一些特別注重規(guī)范的地方,模仿也特別的重要.因此,在日常幾何教學中,我們應該注重一些幾何事實的幾何表達示范和例題解答的表達示范.

比如,在學習相交線與平行線時,學生通過大量的實驗,在探索、測量、猜想、歸納的基礎上得出“兩直線平行,同位角相等”的幾何事實.該結論固然重要,但此時我們不能忽略它的幾何語言表達示范.

如圖10,因為AB//CD,所以∠1=∠2在比如,在學習全等三角形的時候,對于例題更加應該示范過程.如下題.

圖10

圖11

如圖11,AB與CD相交于點O,O是AB的中點,∠A=∠B,△AOC與△BOD全等嗎?為什么?

解:△AOC與△BOD全等.原因如下:因為O是AB的中點(已知)所以AO=BO(中點的性質)又因為∠AOC與∠BOD是對頂角所以∠AOC=∠BOD(對頂角相等)在△AOC與△BOD中

所以△AOC～=△BOD(角邊角)

長期的示范教學再輔以學生優(yōu)秀作業(yè)展示等方法,將潛移默化地促進學生的幾何表達意識的形成,提高學生的數(shù)學語運用能力.

示范的方式可以采取教師課堂板書示范、學生板演示范、學生優(yōu)秀作業(yè)展示等方式,要長期堅持,潛移默化地提高學生的意識,規(guī)范細節(jié).

4.在幾何推理中引入反例教學,引導學生注重邏輯的嚴謹性.

圖12

圖13

在幾何初學時,教師和學生都最頭痛的就是解題過程的表達.對于一些錯誤或不規(guī)范表達,學生不明就理,認為理所當然,思路清晰明了,但教師卻看到的是一塌糊涂,亂七八糟.

如圖12,AB//CD,HF和CG分別是∠EHB和∠HCD的平分線.求證:HF//CG.

如圖13,學生錯解為:

圖14

明顯的錯誤在第③步.學生在閱讀完題目后,理所當然認為,只要第②步成立,第③步就一定成立,不需要注明.我們在和學生講解時,可以引入反例,如果沒有注明角平分線,將會產生什么樣的不同結果.如圖14,當HF,CG有一條不是平分線時,角度的偏移就造成了,HF與CG的不平行.這樣的反例引入,不僅能更加形象的引導學生注重幾何表達的嚴謹性,還能夠逐漸形成學生的幾何直觀和空間思維.

5.重視課堂活動,為學生創(chuàng)造實踐探索的空間

幾何的學習是在文字語言、幾何語言和符號語言相互之間不斷轉換的過程.學生需要積累大量的活動經驗和生活經驗.在教學中,教師應該創(chuàng)造大量的動手操作的實驗,提供足夠的空間和時間,讓學生多從事觀察、測量、拼擺、折疊、畫圖等活動,讓他們獲得足夠的成功的體驗.比如,在學習平行線性質的時候,教科書提供了運用測量進行探索的活動.我們還可以鼓勵學生利用其他方法進行探索,比如剪下一個角看看是否與另一個角重合等.再比如,在驗證三角形內角和為180度的時,鼓勵學生嘗試不同方法進行驗證.可以測量、剪拼、折疊、作輔助線等.

數(shù)學是一切自然學科的基礎,其獨有的學科特性展示其獨有的魅力.嚴謹、科學、簡潔,人們也在學習數(shù)學的過程中發(fā)現(xiàn)自己的空間想像能力、邏輯思維能力、歸納總結能力等得到不斷的提升和發(fā)展.平面幾何的學習在初中階段能有效的提升這幾種能力.我們應該要把好入門關,度好入門關,幫助孩子們順利進入幾何之門,發(fā)現(xiàn)數(shù)學的奇幻之美.